第4章剪切與扭轉

1、本章主要討論的幾個問題：本章主要討論的幾個問題：(1)剪切構件的受力和變形特點；剪切構件的受力和變形特點；(2)剪切和擠壓的近似計算；剪切和擠壓的近似計算；(3)扭轉變形的特點；扭轉變形的特點；(4)圓軸扭轉時的內力和應力計算；圓軸扭轉時的內力和應力計算；(5)剪切虎克定律；剪切虎克定律；(6)扭轉變形的強度和剛度條件。扭轉變形的強度和剛度條件。4.1剪切構件的受力與變形特點剪切構件的受力與變形特點受力特點：合力大小相等、方向相反、作用線距離很小。受力特點：合力大小相等、方向相反、作用線距離很小。變形特點：兩相鄰截面間發(fā)生錯動。變形特點：兩相鄰截面間發(fā)生錯動。發(fā)生相對錯動的面稱為發(fā)生相對錯動的

2、面稱為剪切面。剪切面。4.2 剪切和擠壓的近似計算剪切和擠壓的近似計算一、剪應力計算和剪切強度條件一、剪應力計算和剪切強度條件假設剪應力假設剪應力在截面上均勻分布在截面上均勻分布： =Q/A強度條件：強度條件： ， 其中：其中： = b/nb對塑性材料：對塑性材料：=(0.60.8)對脆性材料：對脆性材料：=(0.81.0)4.2 剪切和擠壓的近似計算剪切和擠壓的近似計算jyjy= F A二、擠壓應力計算和擠壓強度條件二、擠壓應力計算和擠壓強度條件假設擠壓應力假設擠壓應力jy在截面上均在截面上均勻分布勻分布：強度條件為：強度條件為：jyjyjyF=A jy= (1.7 -2.0) (注意擠壓面

3、面積的算法注意擠壓面面積的算法)jy為材料許用擠壓應力，為材料許用擠壓應力，其值由試驗確定。其值由試驗確定。對于塑性較好的低碳鋼材料：對于塑性較好的低碳鋼材料：4.2 剪切和擠壓的近似計算剪切和擠壓的近似計算例例4-1 如圖所示的起重吊鉤，起吊重物如圖所示的起重吊鉤，起吊重物F = 20kN, 鋼板厚度鋼板厚度= 8mm，銷釘的材料，銷釘的材料為為16Mn，其許用剪應力，其許用剪應力 = 140MPa，許用擠壓應力，許用擠壓應力jy = 230MPa，試設計銷，試設計銷釘直徑釘直徑d。FF/2F/24.2 剪切和擠壓的近似計算剪切和擠壓的近似計算Q = F 2 = 10kN(1)選取分離體，畫

4、出受力圖：選取分離體，畫出受力圖：(2)求剪切面的剪力：求剪切面的剪力：(3)應用強度條件：應用強度條件： 2 2Q10kNQ10kNA= 71.43mmA= 71.43mm140MPa140MPa經計算圓整，經計算圓整，d=10mm4.2 剪切和擠壓的近似計算剪切和擠壓的近似計算(4)校核擠壓強度：校核擠壓強度：jyjyjyjyjyjyFF / 210kNFF / 210kN= 125MPa = 125MPa AAd8mmd8mm10mm10mm所以銷釘安全。所以銷釘安全。4.2 剪切和擠壓的近似計算剪切和擠壓的近似計算沖床的最大沖力沖床的最大沖力F=400kN，沖頭材料的許用應力，沖頭材料

5、的許用應力 jy=440MPa，被剪切鋼板的剪，被剪切鋼板的剪切強度極限切強度極限 b=360MPa, 求圓孔最小直徑求圓孔最小直徑 和鋼板的最大厚度。和鋼板的最大厚度。解：根據擠壓條件：解：根據擠壓條件： jyjyjyjyjyjyF F=A A根據剪切條件：根據剪切條件：b bQ Q=A A2 2400kN400kN 440MPa 440MPad d4 4 d d3 34 4m mm m400kN400kN 360MPa 360MPadd 10.4mm10.4mm該沖床在最大載荷作用下所能沖剪的圓該沖床在最大載荷作用下所能沖剪的圓孔最小直徑為孔最小直徑為34mm，所能沖剪鋼板的最所能沖剪鋼板

6、的最大厚度為大厚度為10.4mm4.3 扭轉變形的概念扭轉變形的概念TT受力特點：在桿件的兩端作受力特點：在桿件的兩端作用著一對大小相等、方向相用著一對大小相等、方向相反的外力矩反的外力矩T。變形特點：兩個不同的橫截變形特點：兩個不同的橫截面產生相對的轉動。面產生相對的轉動。注意：在一般情況下注意：在一般情況下, 桿件扭轉時桿件扭轉時, 有一系列外力矩作用在桿件上有一系列外力矩作用在桿件上, 但但是當桿件處于等速轉動時是當桿件處于等速轉動時, 這些外力矩的代數和等于零。這些外力矩的代數和等于零。4.4 傳動軸外力矩的計算傳動軸外力矩的計算要研究圓軸受扭轉后的強度問題，首先要分析其外力。對于傳動

7、軸，通要研究圓軸受扭轉后的強度問題，首先要分析其外力。對于傳動軸，通常不直接給出外力矩的數值，而是給出軸的轉速常不直接給出外力矩的數值，而是給出軸的轉速n 和所傳遞的功率和所傳遞的功率P。根。根據功率據功率P 和轉速和轉速n 可以換算出外力矩可以換算出外力矩T。22n n角角速速度度： =rad s=rad s6060機機功功率率： P = Fv = FR P = Fv = FR又又因因： FR = T FR = T22n n所所以以： P = T P = T= =606060P60P所所以以： T = T =22n n P P T = 9. 5 T = 9. 5n n 5 5電為TT作用在圓

8、軸上的外力矩，作用在圓軸上的外力矩，kNm;P軸所傳遞的功率，軸所傳遞的功率，kW;n軸每分鐘的轉數，軸每分鐘的轉數，r/min。4.5 純剪切純剪切 剪切虎克定律剪切虎克定律變形特點：變形特點：(1) 縱向線變成螺旋線，原來的小矩形縱向線變成螺旋線，原來的小矩形abcd 變成斜平行四邊形。變成斜平行四邊形。(2) 周向線各自繞圓筒軸線轉過一定的角度周向線各自繞圓筒軸線轉過一定的角度, 不同的周向線轉過的角度大不同的周向線轉過的角度大小不一樣小不一樣, 但周向線的大小、形狀以及各周向線之間的距離均未改變。但周向線的大小、形狀以及各周向線之間的距離均未改變。4.5 純剪切純剪切 剪切虎克定律剪切

9、虎克定律T = 0 ，T = 0 ， 可 可以以得得出出： ( (yy)x =(x =(xx)y y由靜力平衡條件：由靜力平衡條件： 這說明這說明: 在相互垂直的兩個面上如同時存在著剪應力，則它們的大小相在相互垂直的兩個面上如同時存在著剪應力，則它們的大小相等，方向必須都是指向或都是背向兩面的交線。剪應力之間的這種關等，方向必須都是指向或都是背向兩面的交線。剪應力之間的這種關系稱為系稱為剪力互等定理剪力互等定理，又稱為，又稱為剪力雙生定律剪力雙生定律。這種在互相垂直的面上。這種在互相垂直的面上只有剪應力作用的受力情況稱為只有剪應力作用的受力情況稱為純剪切純剪切。4.5 純剪切純剪切 剪切虎克定

10、律剪切虎克定律剪切虎克定律：剪切虎克定律：薄壁圓筒扭轉實驗表明：當剪應力薄壁圓筒扭轉實驗表明：當剪應力不不超過材料的剪切比例極限超過材料的剪切比例極限p 時，時，剪應剪應力力與與剪應變剪應變成正比，即：成正比，即：= G= G剪切彈性模量剪切彈性模量G、拉壓彈性模量、拉壓彈性模量E 以及橫向變形系數以及橫向變形系數都是表示材料彈都是表示材料彈性性質的常數，這三個常數都可由實驗確定。同時性性質的常數，這三個常數都可由實驗確定。同時, 在它們之間有一定在它們之間有一定的關系，對于各向同性的材料，它們之間的關系是：的關系，對于各向同性的材料，它們之間的關系是：E EG =G =2(1+2(1+) )

11、4.6 圓軸扭轉時橫截面上的內力和應力圓軸扭轉時橫截面上的內力和應力根據平衡條件：根據平衡條件：nAnAT = 0 ，T = 0 ， 可 可以以得得出出： T = T T = T這個內力矩稱為這個內力矩稱為扭矩扭矩?？梢钥闯觯ぞ?。可以看出，扭矩Tn 在軸的全長是一個常數。在軸的全長是一個常數。一、橫截面上的內力一、橫截面上的內力4.6 圓軸扭轉時橫截面上的內力和應力圓軸扭轉時橫截面上的內力和應力maxmaxAA = = l ,BB = = l 二、扭轉時橫截面上的應力二、扭轉時橫截面上的應力縱線所傾斜的角度即縱線所傾斜的角度即剪應變剪應變，以，以表示。表示。maxmax=l4.6 圓軸扭轉時

12、橫截面上的內力和應力圓軸扭轉時橫截面上的內力和應力根據剪切虎克定律剪應力根據剪切虎克定律剪應力與剪應變與剪應變成正比這一關系：成正比這一關系：maxmax=maxmax=maxmax令：，極性矩，位是或；令，抗扭截面模量位是或；截面上任意一nAAA2maxmaxnAmaxmax244Amaxnmaxnmaxnmaxmax33maxT =dT =( dA)= dA = T = dAI = dA ImmmT T =I T =IIW =W,mm =mW稱稱為為慣慣單單稱 圓 為單點的剪力公式： nT =I應4.6 圓軸扭轉時橫截面上的內力和應力圓軸扭轉時橫截面上的內力和應力三、剪應力的計算公式三、剪

13、應力的計算公式4.6 圓軸扭轉時橫截面上的內力和應力圓軸扭轉時橫截面上的內力和應力四、四、極慣性矩和抗扭截面模量的計算極慣性矩和抗扭截面模量的計算4444)Ddddd心：空心：實實圓圓軸軸圓圓軸軸44334444I =D0.1D32 W =D0.2D16I =(D0.1(D32 W =(D0.2(D164.7 圓軸扭轉時的強度條件圓軸扭轉時的強度條件 nmaxmaxT=W圓軸扭轉時的強度條件為圓軸扭轉時的強度條件為: : 代入得：nx33ma1W =D166TD 將將為扭轉時的許用剪應力，為扭轉時的許用剪應力，的值可查閱有關手冊。的值可查閱有關手冊。一般在靜載荷作用下一般在靜載荷作用下: 于塑

14、性材料，可取：于脆性材料，可?。?= (0.50.6) = (0.81.0) 對對4.7 圓軸扭轉時的強度條件圓軸扭轉時的強度條件例例4-3 圖中有槳式的攪拌器圖中有槳式的攪拌器, 攪拌軸上共有上下兩層槳葉。已知電動機攪拌軸上共有上下兩層槳葉。已知電動機功率功率Pk=17kW，攪拌軸轉速，攪拌軸轉速n=60r/ min，機械效率是，機械效率是90%，上、下兩，上、下兩層攪拌槳葉因所受的阻力不同，故所消耗的功率各占總功率層攪拌槳葉因所受的阻力不同，故所消耗的功率各占總功率Pk的的35% 和和65%。此軸采用。此軸采用117mm6mm，不銹鋼管制成，其許用剪應力，不銹鋼管制成，其許用剪應力 =30

15、MPa。試校核此軸的強度。如將此軸改為實心軸，試確定其直徑，。試校核此軸的強度。如將此軸改為實心軸，試確定其直徑，并比較這兩種圓軸的用鋼量。并比較這兩種圓軸的用鋼量。4.8 圓軸的扭轉變形與剛度條件圓軸的扭轉變形與剛度條件工程上一般都用工程上一般都用l 為為1m 時的相對扭轉角時的相對扭轉角0表示扭轉變形的大小表示扭轉變形的大小,0 的單位為的單位為/m, 如果力矩的單位是如果力矩的單位是kNm , I 的單位是的單位是m4 , l 用用1m表示表示, 則上式可改寫為：則上式可改寫為：變幾幾何何形形：由由虎虎克克定定律律得得：又又代代入入得得：maxmaxmaxmaxnnmaxR = ll=

16、G=GRT RT l=,=IGIn0T180 =GI扭轉剛度條件：扭轉剛度條件：n00T180 =GIG I 稱為軸的抗扭剛度稱為軸的抗扭剛度, 決定于軸的材料與截面的形狀與尺寸。軸的決定于軸的材料與截面的形狀與尺寸。軸的G I 值越大值越大, 則扭轉角則扭轉角0 越小越小, 表明抗扭轉變形的能力越強。表明抗扭轉變形的能力越強。4.8 圓軸的扭轉變形與剛度條件圓軸的扭轉變形與剛度條件0 0n n4444-644444-643 300009-69-6T180T180 =GIGIT = 2.43kN T = 2.43kN m mI = 0.1(D - d )= 0.1(0.115 - 0.105

17、)= 5.33I = 0.1(D - d )= 0.1(0.115 - 0.105 )= 5.3310m10m2.432.4310 10 180180 = 0.33= 0.33/ m / m 808010 10 5.335.331010例例4-4 試校核例試校核例4-3的攪拌軸剛度的攪拌軸剛度, 已知已知G= 80103 MPa , 0 = 0.5/m。所以，剛度足夠。所以，剛度足夠。本章習題講解本章習題講解習題習題4-4 圖示為安裝鉸刀用的搖動套筒圖示為安裝鉸刀用的搖動套筒, 已知已知T =0.05kNm，銷釘的直徑為，銷釘的直徑為6mm，它的許用應力，它的許用應力 =80MPa，設搖動套筒

18、與鉸刀柄間的間隙很小，設搖動套筒與鉸刀柄間的間隙很小，試核算銷釘的剪切強度。試核算銷釘的剪切強度。 銷銷釘釘強強22222 22 2解解：T = FT = F25mm25mmT0.05kN T0.05kN m mF = 2kNF = 2kN25mm25mm25mm25mmQ = F = 2kNQ = F = 2kNdd6 6又又 A = 28.3mmA = 28.3mm4444Q2kNQ2kN= 70.7MPa = 70.7MPa A28.3mmA28.3mm所所以以的的剪剪切切度度符符合合要要求求。本章習題講解本章習題講解習題習題4-5 圖中鍵的尺寸為圖中鍵的尺寸為b hl=10mm8mm3

19、5mm，若鍵的許用應，若鍵的許用應力力 =60MPa，搖柄套的許用擠壓應力，搖柄套的許用擠壓應力jy =200MPa。問加在搖柄端部。問加在搖柄端部的力的力F 可以有多大可以有多大? 強強計計鍵鍵解解：1 根1 根據據剪剪切切度度算算：Q Q= ， A AQA QA = b= bll60MPa60MPa = 10mm = 10mm35mm35mm60MPa = 21kN60MPa = 21kN用用F 表F 表示示的的外外力力：F = Q21kNF = Q21kN根根據據杠杠桿桿平平衡衡原原理理：FF750mm = F 750mm = F 15mm15mmF F 15mm21kN 15mm21k

20、N 15mm15mmF = 0.42kNF = 0.42kN750mm750mm750mm750mm本章習題講解本章習題講解 擠擠壓壓強強計計綜綜jyjyjyjyjyjyjyjyjyjy2 根2 根據據度度算算：F F=A Ah hFAFA=ll200MPa = 4mm200MPa = 4mm3535200MPa = 28kN200MPa = 28kN2 2根根據據杠杠桿桿平平衡衡原原理理：FF750mm = F 750mm = F 15mm15mmF F 15mm28kN 15mm28kN 15mm15mmF = 0.56kNF = 0.56kN750mm750mm750mm750mm上上所所述述，力力F最F最大大值值是是0.42kN。0.42kN。本章習題講解本章習題講解習題習題4-12 階梯形圓軸如圖所示階梯形圓軸如圖所示, d1=40mm, d2=70mm。已知由輪。已知由輪3 輸入的輸入的功率功率P3=30kW，輪，輪1 輸出的功率為輸出的功率為P1=13kW，軸作勻速轉動，轉速，軸作勻速轉動，轉速n=200r/min，材料的許用剪應力，材料的許用剪應力=60MPa，G=8104MPa，許用單位，許用單位扭轉角扭轉角0 =2/m。試校核軸的強度和剛度。試校核軸的強度和剛度。為為軸軸勻勻轉轉動動數數畫畫圖圖123123123123解解：因因速速，所所以以：P PT +T