【課件】必修4第二章《2.5.1向量在平面幾何中的應(yīng)用》課件

1、2.5.1 向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用平面幾何中的向量方法平面幾何中的向量方法 向量的概念和運(yùn)算，都有明確的物理背景和向量的概念和運(yùn)算，都有明確的物理背景和幾何背景。當(dāng)向量與平面坐標(biāo)系結(jié)合以后，向幾何背景。當(dāng)向量與平面坐標(biāo)系結(jié)合以后，向量的運(yùn)算就可以完全轉(zhuǎn)化為量的運(yùn)算就可以完全轉(zhuǎn)化為“代數(shù)代數(shù)”的計(jì)算，的計(jì)算，這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來極大這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來極大的方便。的方便。 由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾

2、角都可以由向量的移、全等、相似、長度、夾角都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，因此，利用向量線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問題。方法可以解決平面幾何中的一些問題。例例1.如圖，已知平行四邊形如圖，已知平行四邊形ABCD中，中，E、F在在對(duì)角線對(duì)角線BD上，并且上，并且BE=FD，求證，求證AECF是平是平行四邊形。行四邊形。 證明：由已知設(shè)證明：由已知設(shè),ABDCa BEFDb AEABBEab FCFDDCba AEFC 即邊即邊AE、FC平行且相等，平行且相等，AECF是平行四邊形是平行四邊形（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表）建立平面幾何與

3、向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；系，如距離、夾角等問題；（3）把運(yùn)算結(jié)果）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成幾何元素。成幾何元素。用向量方法解決平面幾何問題的用向量方法解決平面幾何問題的“三步三步曲曲”：簡(jiǎn)述：簡(jiǎn)述：形到向量形到向量 向量的運(yùn)算向量的運(yùn)算 向量和數(shù)到形向量和數(shù)到形練練1. 求證平行四邊形對(duì)角線互相平分求證平行四邊形對(duì)角線互相平分 M D C B A證明：如圖，已知平行四邊形證明：如圖，已知平行四

4、邊形ABCD的兩條的兩條對(duì)角線相交于對(duì)角線相交于M，設(shè)，設(shè),AMxAC BMyBD 則則,AMxACxAB xAD () (1)AMABBMAByBDABy ADABy AByAD 根據(jù)平面向量基本定理知，這兩個(gè)分解根據(jù)平面向量基本定理知，這兩個(gè)分解式是相同的，所以式是相同的，所以1xyxy 解得解得1212xy 所以點(diǎn)所以點(diǎn)M是是AC、BD的中點(diǎn)，即兩條對(duì)的中點(diǎn)，即兩條對(duì)角線互相平分角線互相平分.練練2.2. 已知非零向量已知非零向量 , , 和和 滿足滿足 則則ABCABC為（為（ ）（A A）等邊三角形）等邊三角形 （B B）等腰非直角三角形）等腰非直角三角形（C C）非等腰三角形）非等

5、腰三角形 （D D）等腰直角三角形）等腰直角三角形BC AC AB 練習(xí)練習(xí)1、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對(duì)角線平方和、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對(duì)角線平方和ABDC已知：平行四邊形ABCD。求證：222222BDACDACDBCABbADaAB ,解：解：設(shè) ，則 baDBbaACaDAbBC;,分析：分析：因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)邊平行且相等，故設(shè) 其它線段對(duì)應(yīng)向量用它們表示。bADaAB ,)( 2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa222222BDACDACDBCABOAOC OB OC OB 3 3. .若若O O為

6、為ABCABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足( - )( ( - )( + -2 )=0,+ -2 )=0,則則ABCABC的形狀為的形狀為_._.【解析】【解析】由已知由已知ABCABC為等腰三角形為等腰三角形. .答案答案: :等腰三角形等腰三角形練習(xí)練習(xí)1.已知正方形已知正方形ABCD，P為對(duì)角線為對(duì)角線AC上任上任意一點(diǎn)，意一點(diǎn)，PEAB于點(diǎn)于點(diǎn)E，PFBC于點(diǎn)于點(diǎn)F，連，連接接DP、EF，求證，求證DP EF。 PFEDCBA證明：選擇正交基底證明：選擇正交基底 ,AB AD 在這個(gè)基底下在這個(gè)基底下(1,0),(0,1)ABAD 設(shè)設(shè)( , )APa a (1,0),(0, )EBaBFa P