121任意角的三角函數(shù)2016

1、1.2.11.2.1任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？sincostancacbba復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧OabMPcOabMPyx在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入22:OMxMPyOPrxy其中yx在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？cosOMxOPrsinMPyOPrtanMPyOMx,P x yMo如果改變點(diǎn)在終邊上的位置，這三個(gè)比值會(huì)改如果改變點(diǎn)在終邊上的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？變嗎？PMOPMPsinOP

2、OMcosOMMPtanOMPPMOPOPMPOOMMOPM誘思探究誘思探究MOyxP(x,y)OPMPsinOPOMcosOMMPtan，則若1 rOPyxyxyOP( , )x yx1M任意角的三角函數(shù)定義任意角的三角函數(shù)定義 設(shè)設(shè) 是一個(gè)任意角是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)它的終邊與單位圓交于點(diǎn)),(yxP 正弦正弦,余弦余弦,正切都是以正切都是以角為自角為自變量變量,以以單位圓單位圓上點(diǎn)的上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)為函數(shù)值的函數(shù),我們將他們稱為我們將他們稱為三角函數(shù)三角函數(shù).(1) 叫做叫做 的正弦的正弦,記作記作 ,即即 ；ysinysin那么那么:(

3、2) 叫做叫做 的余弦的余弦,記作記作 ,即即 ；xcosxcos(3) 叫做叫做 的正切的正切,記作記作 ,即即 xytan)0(tanxxyy),(yxPyx)0 , 1 (AO),(yxP 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ry 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos設(shè)角設(shè)角 是一個(gè)任意角，是一個(gè)任意角， 是終邊上異于原點(diǎn)是終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn) 與原點(diǎn)的距離與原點(diǎn)的距離 022yxrP定義推廣定義推廣那么那么: : 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即xy0tanxxy任意角任意角 的三角函數(shù)的三角函數(shù)值僅與值僅與 有關(guān)，而

4、與有關(guān)，而與點(diǎn)點(diǎn) 在角的終邊上的在角的終邊上的位置無關(guān)位置無關(guān).P),(yxPyxOr任意角的三角函數(shù)的定義過程：任意角的三角函數(shù)的定義過程：直角三角形中定義銳角三角函數(shù)直角三角形中定義銳角三角函數(shù) 直角坐標(biāo)系中定義銳角三角函數(shù)直角坐標(biāo)系中定義銳角三角函數(shù) 單位圓中定義銳角三角函數(shù)單位圓中定義銳角三角函數(shù) 單位圓中定義任意角的三角函數(shù)單位圓中定義任意角的三角函數(shù) 一般圓中定義銳角三角函數(shù)一般圓中定義銳角三角函數(shù) 例例1.求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：解：在直角坐標(biāo)系中，作在直角坐標(biāo)系中，作 AOB，易知，易知 的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐

5、標(biāo)為 13( ,).22所以所以 53sin,32 51cos,325tan3.3 xyoAB355) 4() 3(220OP解解:由已知可得由已知可得設(shè)角設(shè)角 的終邊與單位圓交于的終邊與單位圓交于 ，),(yxP分別過點(diǎn)分別過點(diǎn) 、 作作 軸的垂線軸的垂線 、0PMPP00PMx400PM 于是，于是， ;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxx34cossintanxy4, 30P0MOyxMyxP ,的正弦、余弦、正切值求角的終邊經(jīng)過點(diǎn)已知角例),4, 3(. 2PP 3 ,4aa aa變式.已知角 的終邊上一點(diǎn)R

6、且0 ，sin,cos,tan求角 的的值.3 ,4 ,xa ya解：由于223450raaa a所以 105 ,ara若則于是334433sin,cos,tan555544aaaaaa 205 ,ara 若則于是32sin ,cos ,tan.yx、已知角 的終邊在直線上，求角 的的值 1解： 當(dāng)角 的終邊在第一象限時(shí)，221,2125在角 的終邊上取點(diǎn)，則r=22 5152sin,cos,tan255155 2當(dāng)角 的終邊在第三象限時(shí)，221, 2125r 在角 的終邊上取點(diǎn)，則22 5152sin,cos,tan255155 變式1.根據(jù)三角函數(shù)的定義根據(jù)三角函數(shù)的定義,確定它們的定義域

7、確定它們的定義域 （弧度制）（弧度制）三角函數(shù)三角函數(shù)定義域定義域sincostanR)(2Zkk2.確定三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)yxosinyxocosyxotan+（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）R+-+-+-+-三角函數(shù)定義域與取值符號(hào)三角函數(shù)定義域與取值符號(hào) 例例3 求證：當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí)，求證：當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí)， 角角 為第三象限角為第三象限角. 證明：證明： 因?yàn)橐驗(yàn)槭绞?成立成立,所以所以 角的終邊可能位于第三角的終邊可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 軸的非正半軸上；軸的

8、非正半軸上；0sin 又因?yàn)橛忠驗(yàn)槭绞?成立，所以角成立，所以角 的終邊可能位于的終邊可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因?yàn)橐驗(yàn)槭蕉汲闪?，所以角式都成立，所以?的終邊只能位于第三象限的終邊只能位于第三象限.于是角于是角 為第三象限角為第三象限角.反過來請(qǐng)同學(xué)們自己證明反過來請(qǐng)同學(xué)們自己證明.如果兩個(gè)角的終邊相同，那么這兩個(gè)角的如果兩個(gè)角的終邊相同，那么這兩個(gè)角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？ 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）其中其中 例例4 確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)： （1） （2） （3）解：解：（1）因?yàn)椋┮驗(yàn)?是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos（2）因?yàn)椋┮驗(yàn)?= ， 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 ；)672tan(48tan)360248tan(0)672tan(48 （3）因?yàn)椋┮驗(yàn)?是第四象限角，所以是第四象限角，所以 .404sin例例5 求下列三角函數(shù)值：求下列三角函數(shù)值： （1） （2） 解：（解：（1） （2）1. 內(nèi)容總結(jié)：內(nèi)容總結(jié)： 三角函數(shù)的概念三角函數(shù)的概念.三角函數(shù)的定義域及三角函數(shù)值在各象限的