第11章 梁與結構的位移

1、第十一章第十一章 梁和結構的位移梁和結構的位移11-1 概述11-2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分11-3 疊加法11-4 單位荷載法11-5 圖乘法11-6 線彈性體的互等定理11-7 結構的剛度校核11-1 概述概述l1研究的對象：微小、彈性變形情況下，靜定梁和靜定結構的位移計算。l2計算位移的目的： （1）剛度驗算變形符合使用要求 （2）超靜定結構內力分析變形條件“鳥巢”-國家體育場整個卸載工作將拆除鳥巢鋼結構的78個臨時支撐鋼柱，鋼結構在獨立承擔重力后將出現不同程度的下沉，最大下沉距離不超過30厘米。根據設計要求，外圈的下降總量將控制在6770毫米，中圈161178毫米，內圈2082

2、86毫米。 l3位移結構桿件橫載面的位置發(fā)生的移動（1）撓曲線梁的變形曲線稱為撓曲線。（2）撓度梁橫截面沿與梁軸線垂直方向的線位移稱為梁的撓度。（3）轉角截面繞中性軸轉過一角度，稱為該點處橫截面的轉角。它等于撓曲線上這點處的斜率。如圖所示梁變形后的曲線稱為撓曲線，其曲線方程如圖所示梁變形后的曲線稱為撓曲線，其曲線方程( )f x稱為稱為撓曲線方程撓曲線方程。另截面撓度為截面位置的單值連續(xù)函。另截面撓度為截面位置的單值連續(xù)函數，且在小變形情況下，截面轉角：數，且在小變形情況下，截面轉角：dtg dfx小變形小變形即撓曲線上任意點的即撓曲線上任意點的斜率斜率為該點處橫截面的為該點處橫截面的轉角轉角

3、。l4求位移兩種方法（1）撓曲線方程：確定梁的位移梁的位移方便。（2）單位荷載法及圖乘法：確定結構的位移結構的位移方便，不但適用于荷載產生的位移，而且可求支座移動、溫度變化所引起的位移。11-2梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分純彎曲梁純彎曲梁 1ME Iz剪切彎曲，當梁的高跨比較?。羟袕澢?，當梁的高跨比較?。?h / l 00)( xffxM00)( xf( )( )MxfxEI 對于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：二、求撓曲線方程（彈性曲線）二、求撓曲線方程（彈性曲線）)()(xMxfEI 1( )( )d,( )( )EIfxM xxCxfx12

4、( )( ( )d )d,( )EIf xM xxxC xCf x 1.微分方程的積分2.位移邊界條件PABCPD討論：討論： 適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構件的平面彎曲。適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構件的平面彎曲。 可應用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移?？蓱糜谇蠼獬惺芨鞣N載荷的等截面或變截面梁的位移。 積分常數由撓曲線變形的幾何相容條件（積分常數由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條邊界條件、連續(xù)條 件件）確定。）確定。 優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確；優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確； 缺點：計算較繁。缺點：計算較繁。支點位移條件：支點位移條件：連續(xù)條

5、件：連續(xù)條件：光滑條件光滑條件：0Af0Bf0Df0DCCffCC右左或寫成CC右左或寫成CCffPABCPD例1 求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉角。及最大轉角。建立坐標系并寫出彎矩方程建立坐標系并寫出彎矩方程( )()M xP Lx 寫出寫出微分方程并積分微分方程并積分)()(xLPxMfEI 211()2EIEIfP LxC 213)(61CxCxLPEIf解：PLxf應用位移邊界條件應用位移邊界條件求積分常數求積分常數061)0(23CPLEIf021)0()0(12CPLfEIEI322161 ; 21PLCPLCxfPL寫出撓曲線

6、方程并畫出曲線寫出撓曲線方程并畫出曲線3233)(6)(LxLxLEIPxfEIPLLff3)(3maxEIPLL2)(2max端點處：端點處：最大撓度及最大轉角例例2簡支梁撓曲線簡支梁撓曲線解：解：建立坐標系并寫出彎矩方程建立坐標系并寫出彎矩方程231146EIwEIqlxqlxC 22121)(qxqlxxM34111224EIwqlxqlxCxD 211( )22EIwM xqlxqx 寫出寫出微分方程并積分微分方程并積分qABLx應用位移邊界條件應用位移邊界條件求積分常數求積分常數440,0,(0)01,0,( )0241,024ABxwEIwDxl wEIw lqlClDCqlD 寫

7、出彈性曲線方程并畫出曲線寫出彈性曲線方程并畫出曲線323433(46)24(2)24zzqwxlxlEIqwxlxl xEI4max3538424zBzqlwEIqlEI最大撓度及最大轉角最大撓度及最大轉角qABLx11-3疊加法疊加法一、載荷疊加：一、載荷疊加：多個載荷同時作用于結構而引起的變形多個載荷同時作用于結構而引起的變形 等于每個載荷單獨作用于結構而引起的等于每個載荷單獨作用于結構而引起的變形的代數和變形的代數和。)()()()(221121nnnPPPPPP )()()()(221121nnnPfPfPfPPPf 撓度：撓度：轉角：轉角：例1按疊加原理求按疊加原理求A C點轉角撓度

8、點轉角撓度PP=+AAABBBCaa解、解、載荷分解如圖載荷分解如圖由梁的簡單載荷變形表，由梁的簡單載荷變形表， 查簡單載荷引起的變形。查簡單載荷引起的變形。EIPafPC63EIPaPA424524qCqafE IEIqaqA33疊加疊加qAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqafC624534qPP=+AAABBBCaa例例2 如圖所示懸臂梁，其抗彎剛度如圖所示懸臂梁，其抗彎剛度EI為常數，求為常數，求B點位移及轉角。點位移及轉角。 3344( /2)648( /2)8128CqCqq lqlEIEIq lqlyEIEI查表Fl/2ql/2ABC2323BPBPFlFlyEIEI

9、，解：1)在F作用下2)在q作用下ABqABCyBqyCq Cq BFFyBFB查表：C3448B 72384BqCqBqCqCqqlEIlqlyyEI則在 點3) )在在q和和F共同作用下共同作用下BBPBqBBPBqyyy11-4單位荷載法單位荷載法&外力的功外力的功實功：例如：力在本身引起的位移上作的功。111W2P虛功:力在其它因素引起的位移上作的功。力與位移是彼此無關的量彼此無關的量，分別屬于同一體系的兩種彼此無關的狀態(tài)彼此無關的狀態(tài)。例如：W12=P12&變形體的虛功原理變形體的虛功原理 變形體平衡的必要和充分條件是：對任意微小虛位移，變形體平衡的必要和充分條件是：

10、對任意微小虛位移，外力所作的虛功外力所作的虛功總和等于此變形體各微段上總和等于此變形體各微段上內力所作的變形內力所作的變形虛功虛功總和。即總和。即 W外=W內W外外外力虛功 W內內內力虛功變力做功變力做功貯能貯能2001122WPdk dkP 外力緩慢做功外力緩慢做功W ，無損失地轉化為變形位能，無損失地轉化為變形位能U，貯存于彈性貯存于彈性體內部：體內部： U = W 進而計算可變形固體的位移、變形進而計算可變形固體的位移、變形和內力，稱為能量方法。和內力，稱為能量方法。 P 廣義力（力，力偶）廣義力（力，力偶） 廣義位移（線，角位移）廣義位移（線，角位移）Pd2001122WPdk dkP

11、 11-4-2線彈性桿件的變形位能線彈性桿件的變形位能1( )2dWN x d2( ) d2LNxUWxEAdNdxEEA1.1.軸向拉壓桿的變形能計算軸向拉壓桿的變形能計算 微元微元 dx dx 上軸力上軸力N(x)N(x)做功做功NdxdEA 1( )2dWN x d1( )2dWT x d( )pT x dxdGI( )pdxT x dxddxGGI 2.2.扭轉桿的變形能計算扭轉桿的變形能計算微元微元 dx dx 上扭矩上扭矩T(x)T(x)做功做功2( ) 2LPTxUWdxGI3.3.彎曲桿的變形能計算微元彎曲桿的變形能計算微元 dx dx 上彎矩上彎矩M(x)M(x)做功做功12

12、dWMd()y ddyMdEEI 1MEIdxMdxdEI2( ) d2LMxUWxEI四、變形能的普遍表達式四、變形能的普遍表達式1 1、軸力、扭矩和彎矩各自的變形垂直、軸力、扭矩和彎矩各自的變形垂直, ,相互不做功相互不做功2 2、變形能與加載次序無關，位能相互疊加（略掉剪力、變形能與加載次序無關，位能相互疊加（略掉剪力 的影響）的影響）222( )( )( )ddd222LLLPNxTxMxUxxxEAGIEI(例題：例題：11-6,7)11-4-3 單位荷載法單位荷載法1研究的對象：一般為研究的對象：一般為變形情況下靜定結變形情況下靜定結構的位移計算。構的位移計算。(包括梁、剛架、桁架

13、等各種結構包括梁、剛架、桁架等各種結構)2理論依據理論依據（1）變形位能在數值上等于外力在變形過程中所）變形位能在數值上等于外力在變形過程中所作的功。（適用于所有的變形體）作的功。（適用于所有的變形體）加載方式假定：外力由零逐漸增大，變形過程中動加載方式假定：外力由零逐漸增大，變形過程中動能始終為零。能始終為零。（2） （適用于線彈性的梁）（適用于線彈性的梁）2( )122PPLMxdxPEI對應一般結構對應一般結構kiP1P變形協調的位移狀態(tài)(P)平衡的力狀態(tài)(i)如圖示，求如圖示，求k點豎向位移點豎向位移.由變形體虛功方程由變形體虛功方程:We =Wi We =P iP， P=1Wi =N

14、iP +QiP +MiP ds iP =NiP +QiP +MiP ds -適用于各種桿件體系適用于各種桿件體系(線性線性,非線性非線性).線彈性時線彈性時PiipM MdsEIPiipF FdsEA對于由對于由線彈性線彈性直桿直桿組成的結構，有：組成的結構，有：EIMGAQkEANPPPPPP , ,dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 適用于線彈性適用于線彈性直桿體系直桿體系 桿件結構位移計算的一般公式 受彎梁：PiipM MdsEI 拉壓桿：注意事項注意事項注:1) 適用于靜定結構和超靜定結構; 2) 材料可以是彈性的也可是非彈性的; 3) 產生位移的原因可以是各種因素; 4)

15、 既考慮了彎曲變形也考慮了剪切變 形和軸向變形對位移的影響； 5) 一般公式右邊三項乘積,當力與變形的 方向一致時,乘積取正。 通過虛設單位廣義力作用的力狀態(tài)，利用虛功方程通過虛設單位廣義力作用的力狀態(tài)，利用虛功方程求位移的方法求位移的方法單位荷載法。單位荷載法。虛擬狀態(tài)的設置：在應用單位荷載法計算時，應據所求位移 不同，設置相應的虛擬單位力狀態(tài)相應的虛擬單位力狀態(tài)。 例例 1：已知圖示粱的：已知圖示粱的E 、G,求求A點的豎向位移。點的豎向位移。1PxlhbqAdsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 解：構造虛設單位力狀態(tài)解：構造虛設單位力狀態(tài).0)(, 0)(xNxNPi( )1,

16、( )()iPQ xQxq lx2( ),( )() / 2iPM xxl Mxq lx dxEIxlqGAkxlql2)()(03)(8242EIqlGAqkl)(5 . 2/,10/1/, 5/6,12/,3鋼砼GElhkbhIbhAGAqklEIqlQM2,8:24設24GAlEIkMQ1001MQ 對于細長桿對于細長桿,剪切變形剪切變形對位移的貢獻與彎曲變對位移的貢獻與彎曲變形相比可略去不計形相比可略去不計. 例2 求圖示剛架A點 的 豎 向位移Ay。E、A、I為常數。ABCqL LLAABC1解：1. 設置單位力狀態(tài)xx選取坐標如圖。則各桿彎矩方程為:AB段：xM BC段：LM2.

17、實際狀態(tài)中各桿彎矩方程為AB段：BC段：MP=MP=xx2qx22qL23. 可得：Ay=EI8qL54，()EIdsMMP=l0(-x)(-2qx2)EIdx+l0(-L)(-2qL2)EIdx1. 梁和剛架梁和剛架KP=EIdsMMP2.2.桁架桁架KP=EALNNdsEANNEAdsNNPPP3. 組合結構組合結構KP=EIdsMMPEALNNP 在實際計算時，根據結構的具體情況,位移計算公式可以簡化：11-5 圖乘法圖乘法MKP=EIdsMMP 1. 圖乘法: 計算梁和剛架在荷載作用下的位移時，要計算下面的積分 （1）桿軸為直線； （2）EI=常數； 和M兩個彎矩圖中 至少有一個是直線

18、圖形。（3）當結構符合下述條件時：上述 積分可以得到簡化，積分式可用 和M圖形互乘表示M 設等截面直桿AB段的兩個彎矩圖中， 為一段直線，MP圖為任意形狀，則上式中的ds可用dx代替。故 且tan=常數，則積分為：ta nMxMP圖圖xy面積面積 ABOABMPMdxd =MPdxx圖MMtantanPpMM dsxM dxxdEIEIEIMP圖xy形心形心C面積 ABOABMPMdxd=MPdxxxC圖MyCyC=xCtg 有而CxxdtanPMM dsxdEIEItan PcCMM dsxEIEIyEI 則積分運算化簡為一個彎矩圖的面積乘以其形心處所對應的另一個直線彎矩圖上的豎標 yC。

19、如果結構上所有各桿段均可圖乘則位移計算公式可寫成KP=CPyMM dsEIEI2. 圖乘法的注意事項（1）必須符合上述三個前提條件（2）豎標yC只能取自直線圖形（3）與yC若在桿件同側則乘積取正 號，反之取負號。3. 常用的幾種簡單圖形的面積和形心Lh2L/3L/32hL形心Lhab（L+a)/3(L+b)/32hL形心Lh二次拋物線頂點L/23hL2二次拋物線Lh3L/4L/43L/85L/8 1 21=2(hL) /32= (hL) /3頂點4 .圖乘的技巧： 當圖形的面積和形心位置不便確定時，將它分解成簡單圖形，之后分別與另一圖形相乘，然后把所得結果疊加。圖MMP圖abcd dL則)y2

20、bLy2aL(EI1baya=2/3c+1/3dyb=1/3c+2/3d圖MMP圖abcd dyayb此時ya=2/3c1/3dyb=2/3d1/3cybyadxMMEI1P當當yC所屬圖形是由若干段直線組成時，或各桿所屬圖形是由若干段直線組成時，或各桿段的截面不相等時，均應分段相乘，然后疊加。段的截面不相等時，均應分段相乘，然后疊加。123y1y2y3123y1y2y3=EI1 (1y1+ 2y2+ 3y3)I1I2I3=333222111EIyEIyEIy例 求下圖所示剛架C、D兩點間距離的改變。設EI=常數。ABCDLhqMP圖圖M11hhyC=h形心8qL2解： 1. 作實際狀態(tài)的MP

21、圖。2. 設置虛擬狀態(tài)并作圖M。3. （）CD=EI=EI1(328qL2L)h=12EIqhL3yC 例 求圖示剛架A點的豎向位移Ay 。ABCDEIEI2EIPLLL/2解： 1. 作MP圖、圖MP2PL2PLPLMP圖圖M1L；2. 圖乘計算。Ay=（）2PL4PLEIyC=EI1(2L L2PL(L 4=16EIPL2)-2EI123L)PL2EIEIEI 例 求圖示外伸梁C點的豎向位移Cy。 EI=常數。qABCL2L28qLM圖11y2y3+解：1. 作MP圖2. 作M圖3. 圖乘計算y1=8L3y2=3Ly3=4LCy=)(EI128qLEIy4Cy128qLMP圖28qL232

22、L11-6 線彈性體的互等定理線彈性體的互等定理&功的互等定理功的互等定理應用條件應用條件:1):1)P P ;2);2)小變形。即小變形。即: :線性變形體系。線性變形體系。1. 功的互等定理功的互等定理: :P1P2N N1 1 M M1 1 Q Q1 1GAkQEIMEAN1011111F1F2GAkQEIMEAN2022222N N2 2 M M2 2 Q Q2 22112PWdsGAkQQEIMMEANN2121211221PWdsGAkQQEIMMEANN1212121221PP 即即線彈性體上第一組外力（已達最終值）在由第二組外力引起的相應位移上所作的總虛功，等于第二組外

23、力（已達最終值）在由第一組外力引起的相應位移上所作的總虛功。功的互等定理2. 位移互等定理位移互等定理2112= PP212121若：P1=1，P2=1P2P12112 由單位荷載由單位荷載P P1 1=1=1所引起的與荷載所引起的與荷載P2相應的位移相應的位移2121等于由單等于由單位荷載位荷載P2=1所引起的與荷載所引起的與荷載P1相應的位移相應的位移12 。注意:1）這里荷載可以是廣義荷載,位移是相應的廣義位移。 2）12與21不僅數值相等，量綱也相同。3 反力互等定理反力互等定理k11k21k22k12kck221120ckk221110c1=1c2=11221kk 在任一線性變形體系

24、中，由單位位移在任一線性變形體系中，由單位位移C1 1=1=1所引起的與位移所引起的與位移C2 2相應的相應的反力反力r r2121等于由單位位移等于由單位位移C2 2=1=1所引起的與位移所引起的與位移C1 1相應的反力相應的反力r r1212 。 注意注意: :1）這里支座位移可以是廣義位移這里支座位移可以是廣義位移, ,反力是相應的廣義力。反力是相應的廣義力。 2）反力互等定理僅用與超靜定結構。反力互等定理僅用與超靜定結構。11-7 結構的剛度校核結構的剛度校核 對于產生彎曲變形的桿件，在滿足強度條件的同時，為保證其正常工作還需對彎曲位移加以限制，即還應該滿足剛度條件(stiffness condition)：以梁為例式中，l為跨長， 為許可的撓度與跨長之比(簡稱許可撓跨比