版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
1、微積分學(xué)(Calculus,拉丁語意為用來計(jì)數(shù)的小石頭)是研究極限、微分學(xué)、積分學(xué)和無窮級(jí)數(shù)等的一個(gè)數(shù)學(xué)分支,并成為了現(xiàn)代大學(xué)教育的重要組成部分。微積分學(xué)基本定理指出,微分和積分互為逆運(yùn)算,這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點(diǎn)來討論微積分學(xué),但是在教學(xué)中一般會(huì)先引入微分學(xué)。在更深的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中,高等微積分學(xué)通常被稱為分析學(xué),并被定義為研究函數(shù)的科學(xué),是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要分支之一。早在古代,人們就會(huì)積分思想,如阿基米德用積分法算出了球的表面積,中國古代數(shù)學(xué)家劉微運(yùn)用割元法求出圓周率3.1416,這也是用正多邊形逼近圓,任何求出近似圓周率。J割圓法也是積分思想。我們最偉大
2、的古代數(shù)學(xué)家(現(xiàn)在是華羅庚)祖沖之也是利用積分算出了圓周率后7位數(shù)。和球的體積。但是正正系統(tǒng)提出微積分的是牛頓和萊布尼茨,他們?yōu)檎l先發(fā)明微積分掙得頭破血流。牛頓是三大數(shù)學(xué)家之一,也是第一位劃時(shí)代的物理學(xué)家,晚年從事神學(xué)和煉金學(xué),它創(chuàng)立了整個(gè)經(jīng)典力學(xué)體系和幾何光學(xué),這幾乎成為了整個(gè)中學(xué)的必修部分,初中的力學(xué)和光學(xué)默認(rèn)為幾何光學(xué),力學(xué)默認(rèn)為簡單的經(jīng)典力學(xué)。高中開始正式學(xué)習(xí)經(jīng)典力學(xué)。這里有一個(gè)非常之大的錯(cuò)誤就是初中里為了方便或簡單,用平均速率來代替平均速度,也就是速度公式v=x/t在初中里用速率公式v=s/t代替。速度和速率一個(gè)是矢量,一個(gè)是標(biāo)量,這里差距巨大,不知道編寫初中課本(人教版是這樣)的編
3、者是學(xué)歷太低,還是別有用心?這里我們講微積分,之所以提起這個(gè)事情,就是為了突出一個(gè)名詞一一平均速度。牛頓發(fā)明微積分(暫且認(rèn)為是他和萊布尼茨共同發(fā)明的)的目的是為了研究物理學(xué),因?yàn)槲⒎e分能解決很多普通數(shù)學(xué)不能解決的物體,如求曲邊梯形面積。實(shí)際上,我們初中是速度公式是速率公式,即v=s/t高中的速度公式實(shí)際上是平均速度公式,即v=x/t這里的念德耳塔,表示變化率,這里當(dāng)然不是用去乘x了,*是一個(gè)整體,就像漢字一樣。實(shí)際上,每一個(gè)認(rèn)真觀察課本的人都會(huì)發(fā)現(xiàn),課本上說,在at很小的時(shí)候,也就是一瞬間,那么此時(shí)的速度叫瞬時(shí)速度。課本上并沒有給出瞬時(shí)速度的詳細(xì)公式,它應(yīng)該是這樣的:dr是d和r相乘。這里的d
4、和一樣,都是一個(gè)符號(hào),而不是一個(gè)代數(shù),千萬不要認(rèn)為上述方程也不能約分為v=r/t。不然的話,難倒一片人的薛定謂方程在小學(xué)生的眼里豈不是可以由i)=育中i)化簡為h=H?這里為什么是d,而不是,我們先來看一個(gè)微積分的概念一一導(dǎo)數(shù):首先是平均變化率,如果一個(gè)自變量x在x0上有增量*,則x的函數(shù)f(x)也有變化量f(x0+x)-f(xO)我們把函數(shù)的變換量簡記為y,則y=f(x0+x)-f(xO)牛頓(或萊布尼茨)把Ay與*的比值,即y/Ax=f(x0+x)-f(xO)/Ax叫做平均變化率,如果x表示時(shí)間,那么位移是時(shí)間的函數(shù),滿足x=vt,也就是一個(gè)正比例函數(shù)如果你知道正比例函數(shù),說明你讀了初二,
5、下面的內(nèi)容不會(huì)很難。但*無窮趨于0的時(shí)候,我們記做x-O那么我們得到平均變化率就變成了瞬時(shí)變化率,用公式表達(dá)是:liinxn=L這里我們用Xn表示平均變化率f(x0+Ax)-f(x0)/AxL用F(x)表示,叫做函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),或微分,也可以是瞬時(shí)變化率。但x-O,我們可以把換成d,那么dx=意我們把dx叫做Ax的微分。那么我們就能明白瞬時(shí)速度公式:drV=dt我們現(xiàn)在知道了什么是微分一一x在趨于無限小的時(shí)候,dx=X,dx就是*的微分。所謂微分,就是把一個(gè)東西放大。如一條曲線,放大后不那么陡峭,再放大就是近似于直線,再放大就是與直線沒什么兩樣了。但放大到無限小的時(shí)候,曲線就越
6、接近直線。那么就是當(dāng)變化量*無限小的時(shí)候,dx就叫它的微分。一個(gè)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率為limy/x其實(shí)lim下面有一個(gè)x-O表示*趨于無限小。這個(gè)瞬時(shí)變化率叫做函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)或微分。記做f(x),在關(guān)系f上加上一點(diǎn)。即f(x)=limf(x0+x)-f(x0)/Ax這就是導(dǎo)數(shù)的定義,求導(dǎo)數(shù)的過程叫求導(dǎo),即微分。函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)是一個(gè)常數(shù),那么,當(dāng)自變量x變化時(shí),導(dǎo)數(shù)f(x)也是x的一個(gè)函數(shù)。我們稱之為導(dǎo)函數(shù),簡稱導(dǎo)數(shù)。記做y'°即y'=f(x)導(dǎo)數(shù)f(x0)實(shí)際上就是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x
7、0)處的切線的斜率。即tana=k=f(x0)這里tan”叫傾斜角的正切值,k為切線(直線)的斜率也就是傾斜角的正切是這條直線的斜率。這里涉及到最基本的解析幾何。【一個(gè)直線與x軸交于一點(diǎn),那么x軸正方向與這條直線組成的向上的夾角,就是這條直線的傾斜角,而這條直線傾斜角的正切就是斜率,由于90度的角沒有正切值,所以直線與y軸平行,與x軸垂直時(shí),它沒有斜率,但是有傾斜角=90度。所以導(dǎo)數(shù)f(x0)實(shí)際上就是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0)處的切線的斜率。當(dāng)然,求導(dǎo)數(shù)不僅僅只有定義,還有以下求導(dǎo)公式:(c)'=0c為常數(shù),也就是常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0(xAn)'=nxA(n-1)(si
8、nx)'=cosx(cosx)'=-sinx(aAx)'=aAxlna(eAx)'=eAx|(logaX)'=1/xIna(inx)'=1/x這里sin叫正弦、cos叫余弦Ing是對(duì)數(shù)符號(hào)。如aAx=N那么X=logna這里N叫真數(shù),a叫對(duì)數(shù)的底數(shù),X叫對(duì)數(shù)。:當(dāng)a=10時(shí),就表示為lgN當(dāng)無理數(shù)e(歐拉常數(shù))為底的對(duì)數(shù),表示被lnN其中e=2.71828這里對(duì)數(shù)不多講,我們講的是微積分。導(dǎo)數(shù)再扯遠(yuǎn)了就和物理關(guān)系不大了。由于這里是物理吧,而不是數(shù)學(xué)吧,我們先拋開導(dǎo)數(shù)和微分。來看看微分的逆運(yùn)算一一積分。積分中最基本的是定積分。假設(shè)說有一個(gè)曲線f(x
9、)和兩條直線*=2和*=屋這兩條直線與x軸交于點(diǎn)a、b我們把這兩點(diǎn)a、b組成一個(gè)閉區(qū)間【a、b】就是這個(gè)區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)是a<x<b我們把閉區(qū)間【a,b等分為n個(gè)小區(qū)間。即a=x0<x1<<x(i-1)vXiv<Xn=b那么每一個(gè)小區(qū)間的長度是(b-a)/n在每個(gè)小區(qū)間【X(i-1),Xi上取一點(diǎn)(其實(shí)就是自變量x的一個(gè)取值)3i其中(i=1.2.3n)求和n52g其中Ax是每個(gè)小區(qū)間的長度,就是(b-a)/n(b-a)/nf)用通俗點(diǎn)的話說,就是一個(gè)曲線f(x)和三個(gè)直線x=ax=bx軸組成了一個(gè)曲邊梯形。把曲邊梯形的腰一一區(qū)間【a.b1分成n部分。然后每一部分
10、上某一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)就是從這條腰作一條垂線,交于曲線上一點(diǎn),然后以這個(gè)小區(qū)間為寬,做一個(gè)長方形。然后(b-a)/n和f(x)的乘積就是這個(gè)長方形的面積。而這樣的長方形有n個(gè),于是n個(gè)長方形的面積近似于梯形的面積。如下圖:當(dāng)n一無限大的時(shí)候,長方形就會(huì)越來越細(xì),也會(huì)越來越接近梯形的面積。于是表示為:nlim"Ifx)dx.這個(gè)和式我們用一個(gè)新的符號(hào):Ja表示。這就是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分其中,a與b分別叫做積分下限和積分上限,區(qū)間【a,b叫做積分區(qū)間,函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù),x叫積分變量,f(x)dx叫被積式。我們可以利用定積分做很多普通數(shù)學(xué)不能完成的事情,如計(jì)算
11、曲邊梯形的面積:由y=f(x),x=a,x=b和x軸圍成的曲邊梯形的面積為f(x)dw.其實(shí)微分算符位后的f(x)dx應(yīng)該打上絕對(duì)彳1號(hào),就是1f(x)dx1因?yàn)樘菪蔚拿娣e是正數(shù),但如果曲線在X軸下面,定積分算出來的結(jié)果是負(fù)的。另外,我們還可以用定積分求出變速(注意,沒有勻!)直線運(yùn)動(dòng)的位移或路程。f/(x)dx.位移X='其中f(x)中的自變量x應(yīng)該是t,關(guān)系式f應(yīng)該是速度滿足的函數(shù)關(guān)系式v那么從手打出來是:X=/v(t)dt同樣,路程是:S=/1v(t)dt1(這里v是速率,而1是絕對(duì)值號(hào),請?jiān)徫?如果是做功呢?我們知道做功的定義式是作用在物體上面的力使物體在力的方向上移動(dòng)一段距
12、離。初中的表達(dá)式是:W=Fs(這里s還是指路程,實(shí)際上應(yīng)該是位移)高中學(xué)了三角函數(shù)就是:W=Flcosa而這里F默認(rèn)為一個(gè)常數(shù),但是如果是變力做功呢?那么請定積分來幫忙:W=fF(x)dx其中F(x)是表示變力。復(fù)習(xí)一下,我們用微積分做了些什么:dr瞬時(shí)速度公式.a.瞬時(shí)加速度公式變速直線運(yùn)動(dòng)位移公式X=/v(t)dt路程公式S=/1v(t)dt1變力做功W=fF(x)dx順帶一提的是,定積分也可以求曲線的長度,在曲線可以很長無限個(gè)線段,我們知道畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)那么其中一個(gè)線段的長度是:V(Ax)2+(Ay)2求和,有匯U(Ax)2+(Ay)2當(dāng)x-O時(shí),結(jié)果就是/EMdx)2+(d
13、y)2】dx實(shí)際上,稍微變形就可以得到/E11+(dy/dx)2dx/(x)dx.如果改變定積分Ja的上限b時(shí),每對(duì)應(yīng)一個(gè)b就有一個(gè)積分值。f/(z)dx.也就是說,Ja決定于b,把它表示為一個(gè)一元函數(shù)【PS:本貼討論的函數(shù)默認(rèn)為一元函數(shù)】就是/(x)dx.Ja=F(b)那么久有了一個(gè)新的函數(shù)關(guān)系F。_|由于b的定義域是R(暫時(shí)不考慮復(fù)數(shù)),所以b可以換成自變量x,這函數(shù)F(b)就是F(x)/(x)dx.函數(shù)F(b)就是省略了積分上限和下限的定積分Ja寫為:/fx)dx=F(x)那么從函數(shù)f(x)求F(x)的這種計(jì)算叫不定積分”想想也是,省去積分下限的定積分命名為不定積分”設(shè)在x與x+x之間,
14、函數(shù)f(x)的最大值為兀,最小值為e。(兀和e僅僅表示紀(jì)念)那么兀xvF(x+x)<ex除*得到兀vF(x+Ax)-F(x/Ax<e曲x的微分即當(dāng)x-O的時(shí)候,兀和e趨于f(x),表示為:dF(x)/dx=f(x)而F(x)是不定積分,即/f(x)dx=F(x)所以d/f(x)dx/dx=f(x)所以,由/f(x)dx=F(x)得dF(b)/dx=f(x)或/f(x)dx=F(b)于是我們得到結(jié)論:不定積分與微分是互為逆運(yùn)算,即所以不定積分和微分是可以轉(zhuǎn)換的。于是牛頓和萊布尼茨有話說了:如果f(x)是區(qū)間a.b上連續(xù)的函數(shù),并且F'(x)=f(x)那么roI/(x)dz=F
15、(6)F(a)這就是牛頓-萊布尼茨公式,也叫微積分基本定理。它說明了不定積分和微分是可以轉(zhuǎn)換的。什么是矩陣?把數(shù)字列在一個(gè)矩形的表里,如19-13205-6這是一個(gè)3x2的矩陣(橫著的叫行,豎著的叫列)只有一行或一列的矩陣叫向量。如15或231是一個(gè)向量。如xy是一不三維向量xyz是一個(gè)三維向量矩陣允許存在很高維度的向量。18世紀(jì)中葉,隨著自然科學(xué)的極大發(fā)展,原有的數(shù)學(xué)模式作為一種工具,無疑已經(jīng)落后了。自萊布尼茨從形式邏輯中發(fā)展出數(shù)理邏輯,數(shù)學(xué)符號(hào)和公式便成為了微積分誕生的有力土壤。微積分可分為微分學(xué)和積分學(xué)兩類。微分學(xué)始于牛頓對(duì)勻變速直線運(yùn)動(dòng)和他的第二定律的研究,一個(gè)重要的問題就是如何把握當(dāng)
16、一個(gè)變量隨自變量變化而呈現(xiàn)出復(fù)雜甚至是無序變化時(shí)的狀態(tài)。所以,唯一行之有效的方法就是先使自變量取很小值,計(jì)算出當(dāng)下因變量所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)值,然后將這些點(diǎn)值加起來。當(dāng)然,加起來的工作是屬于積分學(xué)范疇的。微分的最初形式是牛頓和萊布尼茨分別各自研究出的導(dǎo)數(shù)形式,即f(x+x)-f(x)/*形式,但是這一形式誕生之初就遭到了經(jīng)驗(yàn)主義哲學(xué)家貝克萊主教的詰難,他無法忍受一個(gè)概念上的偷換,即:假設(shè)有y=sinx,對(duì)兩邊求導(dǎo)有y'=sin(x+Ax)-sinx/Ax=2cos(x+x/2)sin(x/2)/Ax=cosx令貝克萊不解的是牛頓開始說一*明明是一個(gè)小增量,但是為什么在結(jié)論中又突然等于一0了呢?對(duì)
17、于這個(gè)問題的解釋,牛頓本人也是無從厘清。最終在主教神學(xué)角度”的猛烈攻擊下,釀成了數(shù)學(xué)的第二次危機(jī)(第一次危機(jī)是負(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn),第三次危機(jī)是集h論悖論),這一危機(jī)最終在萊布尼茨提出極限理論和洛必達(dá)寫出第一部微積分教程后才得以解決。所以,我們必須要從極限來探討微積分的意義。(一)極限、兩個(gè)重要極限之一與高階無窮小:1 .極限首先是一種函數(shù)關(guān)系在某一點(diǎn)上的反應(yīng),因此必須要用變量的語言來描述極限的含義,即:設(shè)f(x)在x0|a-n<x0<a+n)(領(lǐng)域)內(nèi)有定義,當(dāng)A為某個(gè)常數(shù)時(shí),如果對(duì)于任意給定正數(shù)m,都存在一個(gè)正數(shù)n,使得一切屬于0<|x-x0|<n的自變量x,都有|f(x)-
18、A|<m,這時(shí),稱A為f(x)的極限。(這是最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬚Z言)以上,n-m'語言可以簡化為:當(dāng)自變量x趨于某一定值時(shí),因變量y也無限接近某個(gè)定值,則稱這一定值為y的極限。我們有了極限的定義,那么我們終于可以寫出導(dǎo)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式了,以上式為例:y'=sin(x+Ax)-sinx/Ax應(yīng)改為y'=dy/dx=lim(Ax0)sin(x+Ax)-sinx/x2 .兩個(gè)重要極限之一:lim(x一0)sinx/x=1,這是一個(gè),0/0循式的極限,可用洛必達(dá)法則(1)證明:lim(x一0)sinx/x=lim(x0)(sinx)'/(x)'=lim(x-0)cosx/1=1從而,我們終于可以毫無漏洞地寫出sinx的導(dǎo)數(shù)公式:y'=dy/dx=lim(*一0)sin(x+Ax)-sinx/Ax=lim(Ax0)cos(x+x/2)sin(x/2)/(x/2)因?yàn)閘im(Ax0)(Ax/2)=0所以,原式=lim(x/2)<0cos(x+Ax/2)sin(x/2)/(Ax/2)=lim(x/2)0cosxsin(x/2)/(x/2)
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2024年度年福建省高校教師資格證之高等教育心理學(xué)題庫檢測試卷A卷附答案
- 2024年度山西省高校教師資格證之高等教育法規(guī)能力提升試卷A卷附答案
- 2024年度年福建省高校教師資格證之高等教育學(xué)練習(xí)題及答案
- 全國職業(yè)院校技能大賽中職組(母嬰照護(hù)賽項(xiàng))考試題及答案
- 四年級(jí)數(shù)學(xué)(小數(shù)加減運(yùn)算)計(jì)算題專項(xiàng)練習(xí)與答案
- 建筑會(huì)議紀(jì)要
- 內(nèi)蒙古英語高二上學(xué)期期末試卷及解答參考(2024年)
- 高溫?zé)峁軗Q熱器的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化
- 2024房產(chǎn)領(lǐng)域聯(lián)合投資建設(shè)協(xié)議
- 吊車租賃業(yè)務(wù)協(xié)議2024詳細(xì)條款
- 小學(xué)科學(xué)教育科學(xué)三年級(jí)上冊天氣《認(rèn)識(shí)氣溫計(jì)》教學(xué)設(shè)計(jì)
- 液化氣站氣質(zhì)分析報(bào)告管理制度
- 砍伐工程方案35963
- 《大醫(yī)精誠》說課(新)
- 牛羊屠宰管理辦法
- 《微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)》課程思政教學(xué)案例(一等獎(jiǎng))
- DBJ50T-232-2016 建設(shè)工程監(jiān)理工作規(guī)程
- 國際人力資源管理課程教學(xué)大綱
- 深信服園區(qū)級(jí)雙活數(shù)據(jù)中心
- T-CSCS 016-2021 鋼結(jié)構(gòu)制造技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)
- 回彈強(qiáng)度對(duì)應(yīng)表
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論