大學(xué)物理 圓周運動 曲線運動

1、1-2 圓周運動及其描述圓周運動及其描述1. 1. 切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 在一般在一般圓周運動圓周運動中，質(zhì)點速度的中，質(zhì)點速度的大小大小和和方向方向都都在改變，即在改變，即存在加速度存在加速度。采用。采用自然坐標系自然坐標系，可以更，可以更好地理解加速度的物理意義。好地理解加速度的物理意義。 在運動軌道上任一點建立在運動軌道上任一點建立正交正交坐標系坐標系,其一根坐標軸其一根坐標軸沿軌沿軌道切線方向道切線方向,正方向正方向為運動的為運動的前前進方向進方向；一根沿軌道法線方向，；一根沿軌道法線方向，正方向指向軌道內(nèi)凹的一側(cè)。正方向指向軌道內(nèi)凹的一側(cè)。tenetene切向

2、單位矢量切向單位矢量te法向單位矢量法向單位矢量ne顯然，軌跡上各點處，顯然，軌跡上各點處，自然坐標軸的方向不斷變化。自然坐標軸的方向不斷變化。1.1 1.1 自然坐標系自然坐標系A(chǔ)Bttv ev 由于由于質(zhì)點速度質(zhì)點速度的方向一定沿著軌跡的的方向一定沿著軌跡的切向切向，因，因此，自然坐標系中可將速度表示為：此，自然坐標系中可將速度表示為：tv ettsedd由加速度的定義有由加速度的定義有tvddattveddtvtdd e切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度1.2 1.2 自然坐標系下的加速度自然坐標系下的加速度teod dsnetePtePtetedd nttteedddd()1

3、nnd RdsRdtR dteenRve切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度以以圓周運動圓周運動為例討論上式中兩個分項的為例討論上式中兩個分項的物理意義物理意義： 如圖，質(zhì)點在如圖，質(zhì)點在dt 時間內(nèi)經(jīng)歷時間內(nèi)經(jīng)歷弧長弧長ds，對應(yīng)于角，對應(yīng)于角位移位移d ，切線的方向改變，切線的方向改變d 角度。角度。作出作出dt始末時刻的始末時刻的切向單位矢切向單位矢量量，由矢量三角形法則可求出，由矢量三角形法則可求出極限情況極限情況下切向單位矢下切向單位矢量量的增的增量為量為ted即即 與與P點的切向正交。因此點的切向正交。因此nded etteonetePanata 于是前面的加速度表達式可寫

4、為：于是前面的加速度表達式可寫為：attveddnRve2tvatddRvan2即圓周運動的加速度可分解為兩即圓周運動的加速度可分解為兩個正交分量：個正交分量：at稱稱切向加速度切向加速度，其大小表示質(zhì)點，其大小表示質(zhì)點速率變化速率變化的快慢；的快慢；an稱稱法向加速度法向加速度，其大小反映質(zhì)點，其大小反映質(zhì)點速度方向變化速度方向變化的的 快慢。快慢。切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 上述加速度表達式對上述加速度表達式對任何任何平面曲線運動都適用，平面曲線運動都適用，但但式中半徑式中半徑R 要用曲率半徑要用曲率半徑 代替代替。切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度attved

5、dnRve2由由22ntaaa222dd Rvtva的大小為的大小為圓周運動中加速度的方向圓周運動中加速度的方向tanaaarctantnaaat 等于等于0, an等于等于0, 質(zhì)點做什么運動？質(zhì)點做什么運動？at 等于等于0, an不等于不等于0 , 質(zhì)點做什么運動？質(zhì)點做什么運動？at 不等于不等于0, an等于等于0 , 質(zhì)點做什么運動？質(zhì)點做什么運動？at 不等于不等于0, an不等于不等于0 , 質(zhì)點做什么運動？質(zhì)點做什么運動？例題例題 討論下列情況時，質(zhì)點各作什么運動：討論下列情況時，質(zhì)點各作什么運動： 勻速直線運動勻速直線運動 勻速曲線運動勻速曲線運動 變速直線運動變速直線運動

6、 變速曲線運動變速曲線運動t2. 圓周運動的角量描述圓周運動的角量描述oxy 前述用位矢、速度、加速前述用位矢、速度、加速度描寫圓周運動的方法，稱度描寫圓周運動的方法，稱線線量描述法量描述法；由于做；由于做圓周運動的圓周運動的質(zhì)點與圓心的距離不變質(zhì)點與圓心的距離不變，因此，因此可用一個角度來確定其位置，可用一個角度來確定其位置，稱為稱為角量角量描述法。描述法。 A：tB：t+ t 設(shè)質(zhì)點在設(shè)質(zhì)點在oxy平面內(nèi)繞平面內(nèi)繞o點、沿半徑為點、沿半徑為R的軌道作的軌道作圓周運動，如圖。以圓周運動，如圖。以ox軸為參考方向軸為參考方向，則質(zhì)點的，則質(zhì)點的角位置為角位置為 角位移為角位移為 規(guī)定規(guī)定反時針

7、為正反時針為正平均角速度為平均角速度為t圓周運動的角量描述圓周運動的角量描述(瞬時瞬時)角速度為角速度為tt0limtdd角加速度角加速度為為22ddddtt角角 速速 度度 的的 單位：單位： 弧度弧度/秒秒(rad s-1) ；角加速度的單位：角加速度的單位： 弧度弧度/平方秒平方秒(rad s-2) 。討論討論： (1) 角加速度角加速度 對運動的影響：對運動的影響： 等于零，質(zhì)點作勻速等于零，質(zhì)點作勻速率率圓周運動；圓周運動； 不等于零但為常數(shù)，質(zhì)點作勻變速圓周運動不等于零但為常數(shù)，質(zhì)點作勻變速圓周運動； 隨時間變化，質(zhì)點作一般的圓周運動。隨時間變化，質(zhì)點作一般的圓周運動。圓周運動的角

8、量描述圓周運動的角量描述)(22/02022000ttt (2) 質(zhì)點作質(zhì)點作勻變速圓周運動勻變速圓周運動時時的角速度、角位移的角速度、角位移與角加速度的關(guān)系式為（與角加速度的關(guān)系式為（若為勻速圓周運動，則若為勻速圓周運動，則 0 0）)(22/02022000 xxavvattvxxatvv與與勻變速直線運動勻變速直線運動的幾個關(guān)系式的幾個關(guān)系式比較知：比較知：兩者數(shù)學(xué)形式完全相同兩者數(shù)學(xué)形式完全相同,說明用角量描述說明用角量描述,可把可把平面圓周運動轉(zhuǎn)化為一維運動形式，從而簡化問題平面圓周運動轉(zhuǎn)化為一維運動形式，從而簡化問題。圓周運動的角量描述圓周運動的角量描述ROx3. 線量與角量之間的

9、關(guān)系線量與角量之間的關(guān)系 圓周運動既可以用圓周運動既可以用速度速度、加速度加速度描述，也可以用描述，也可以用角速度角速度、角加速度角加速度描述，二者應(yīng)有一定的對應(yīng)關(guān)系。描述，二者應(yīng)有一定的對應(yīng)關(guān)系。 + 0 0+t+ tBtA 圖示圖示 一質(zhì)點作圓周運動：一質(zhì)點作圓周運動：在在 t 時間內(nèi)，質(zhì)點的角位時間內(nèi)，質(zhì)點的角位移為移為 ，則，則A、B間的間的有向有向線段線段與弧將滿足下面的關(guān)系與弧將滿足下面的關(guān)系00limlimttABABR 兩邊同除以兩邊同除以 t，得到速度與角速度之間的關(guān)系：，得到速度與角速度之間的關(guān)系：Rv 線量與角量之間的關(guān)系線量與角量之間的關(guān)系將上式兩端對時間求導(dǎo)，得到切向

10、加速度與角加速將上式兩端對時間求導(dǎo)，得到切向加速度與角加速度之間的關(guān)系：度之間的關(guān)系：Rat將速度與角速度的關(guān)系代入法向加速度的定義式，將速度與角速度的關(guān)系代入法向加速度的定義式，得到法向加速度與角速度之間的關(guān)系：得到法向加速度與角速度之間的關(guān)系：Rvan22R例例1例例2思考題思考題線量與角量之間的關(guān)系線量與角量之間的關(guān)系法向加速度也叫向心加速度。法向加速度也叫向心加速度。例題例題1 1 計算地球自轉(zhuǎn)時地面上各點的速度和加速度。計算地球自轉(zhuǎn)時地面上各點的速度和加速度。解：解：地球自轉(zhuǎn)周期地球自轉(zhuǎn)周期T=24 60 60 s，角速度大小為：，角速度大小為：T26060242151027. 7s

11、 如圖，地面上緯度為如圖，地面上緯度為 的的P點，在與赤道平行的平面內(nèi)點，在與赤道平行的平面內(nèi)作圓周運動作圓周運動, cosRr 線量與角量之間的關(guān)系線量與角量之間的關(guān)系R 赤道赤道rp 其軌道的半徑為其軌道的半徑為rvcosRcos1073. 61027. 765)/(cos1065. 42smran2cos2Rcos1073. 6)1027. 7(625P點速度的大小為點速度的大小為P點只有運動平面上的向心加速度，其大小為點只有運動平面上的向心加速度，其大小為P點速度的方向與過點速度的方向與過P點運動平面上半徑為點運動平面上半徑為R的圓相切。的圓相切。線量與角量之間的關(guān)系線量與角量之間的關(guān)

12、系)/(cos1037. 322smP點加速度的方向在運動平面上由點加速度的方向在運動平面上由P指向地軸。指向地軸。 例如例如:已知北京、上海和廣州三地的緯度分別已知北京、上海和廣州三地的緯度分別是北緯是北緯39 57 、31 12 和和 23 00 ，則，則三地的三地的v 和和 an分別為：分別為：北京：北京：),/(356smv )/(1058. 222sman上海：上海：),/(398smv )/(1089. 222sman廣州：廣州：),/(428smv )/(1010. 322sman線量與角量之間的關(guān)系線量與角量之間的關(guān)系線量與角量之間的關(guān)系線量與角量之間的關(guān)系 例如例如:上海的緯

13、度上海的緯度31 12 ，則其，則其v 和和 an分別為：分別為：上海：上海：),/(398smv )/(1089. 222smanRo 在在t 時刻，質(zhì)點運動到位時刻，質(zhì)點運動到位置置 s 處。處。s s解解：先作圖如右，先作圖如右，t = 0 時，時，質(zhì)點位于質(zhì)點位于s = 0 的的p點處。點處。線量與角量之間的關(guān)系線量與角量之間的關(guān)系P （1） t 時刻質(zhì)點的總加速度的大??；時刻質(zhì)點的總加速度的大小； （2） t 為何值時，總加速度的大小為為何值時，總加速度的大小為b ； （3）當(dāng)總加速度大小為）當(dāng)總加速度大小為b 時，質(zhì)點沿圓周運行時，質(zhì)點沿圓周運行了多少圈。了多少圈。例題例題2 一質(zhì)

14、點沿半徑為一質(zhì)點沿半徑為R的圓周按規(guī)律的圓周按規(guī)律 運動，運動，v0、b都是正的常量。求：都是正的常量。求：2/20bttvsnnaa （2）令）令a = b ，即，即240)()(aRos （1）t 時刻切向加速度、法向加速度及加速度大小時刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:tvddRv222ddtsbRbtv20)(線量與角量之間的關(guān)系線量與角量之間的關(guān)系n42022()()nvbtbRaaaR（3）當(dāng)當(dāng)a = b 時，時，t = v0/b ，由此可求得質(zhì)點歷經(jīng)，由此可求得質(zhì)點歷經(jīng) 的弧長為的弧長為 /220bttvs它與圓周長之比即為圈數(shù)：它與圓周長之比即為圈數(shù)：Rsn2Rosbvt/0bv /220Rbv420線量與角量之間的關(guān)系線量與角量之間的關(guān)系得得n判斷下列說法的正、誤：判斷下列說法的正、誤：a. 加速度恒定不變時，物體的運動方向必定不變。加速度恒定不變時，物體的運動方向必定不變。b. 平均速率等于平均速度的大小。平均速率等于平均速度的大小。