小學(xué)數(shù)學(xué)論文：小學(xué)數(shù)學(xué)空間與圖形錯例成因分析及教學(xué)對策

1、小學(xué)數(shù)學(xué)“空間與圖形”錯例成因分析及教學(xué)對策【摘要】“空間與圖形”這部分內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中占有重要的地位，對培養(yǎng)小學(xué)生初步的空間觀念起著不可替代的作用。但由于小學(xué)生特殊的認(rèn)知、心理、思維等方面的原因，給他們學(xué)習(xí)“空間與圖形”帶來了許多障礙。本文擷取了小學(xué)數(shù)學(xué)“空間與圖形”方面常見的錯例，從“幾何概念”、“生活經(jīng)驗(yàn)”、“空間觀念”等五方面探討了小學(xué)生學(xué)習(xí)“空間與圖形”時存在的學(xué)習(xí)和認(rèn)知障礙，以及針對這些障礙提出了相應(yīng)的對策，在此與同行商榷，共同提高?！娟P(guān)鍵詞】空間觀念概念感知直觀現(xiàn)實(shí)生活中，兒童最先感知的是我們生活的空間、周圍的事物，即“空間與圖形”?！翱臻g與圖形”主要研究現(xiàn)實(shí)世界中的物體和幾

2、何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換，它們是人們認(rèn)識和描述生活空間、進(jìn)行交流的重要工具。2學(xué)習(xí)"空間與圖形”有助于培養(yǎng)兒童的空間觀念及形象思維能力，有助于兒童智力的發(fā)展和創(chuàng)新精神的形成。但是小學(xué)生的思維方式正處于以具體形象思維為主逐步向抽象邏輯思維過渡的階段，這一階段恰恰也是兒童空間知覺，即形體直觀認(rèn)知能力形成的重要階段。所以在學(xué)習(xí)“空間與圖形”知識的過程中，學(xué)生往往受認(rèn)知結(jié)構(gòu)、心理特征以及思維水平發(fā)展等因素影響，出現(xiàn)一系列學(xué)習(xí)和認(rèn)知障礙。本文列舉了學(xué)生在空間概念學(xué)習(xí)上的障礙及空間應(yīng)用中存在的障礙，并提出了一些教學(xué)對策，與同行商榷學(xué)習(xí)。例回放一一“亂花漸欲迷人眼”一、“幾何感覺”一一

3、并非“幾何概念”幾何概念是空間形式的本質(zhì)屬性在人們頭腦中的反映，它是用數(shù)學(xué)語言和符號揭示事物共同屬性的思維形式，是構(gòu)建幾何知識大廈的基石，是幾何基礎(chǔ)知識，同時也是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分。幾何概念學(xué)習(xí)過程，就是對客觀事物中一類有關(guān)空間形式的本質(zhì)屬性進(jìn)行抽象概括的過程，也是舍去該類對象非本質(zhì)屬性的過程。根據(jù)奧蘇伯爾有意義學(xué)習(xí)理論，小學(xué)生主要是通過概念形成和概念同化兩種認(rèn)知方式學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)概念的。而影響小學(xué)生幾何概念學(xué)習(xí)的因素有很多，如學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和認(rèn)知方式，教師教學(xué)時材料的表現(xiàn)形式等。4【錯例回放一】j.顯夕卜，久.服已.丸ngmi甲弧i髡，ukZiHnc£>&

4、gt;弛C-3熱口.充毗人.工【成因聚焦】教師往往認(rèn)為這樣的錯誤屬于審題不仔細(xì)或考慮不全面，只是因?yàn)閷W(xué)生的粗心而已。其實(shí)真正的原因是對平行線的概念不夠明確。由于學(xué)生在學(xué)習(xí)直線的認(rèn)識時，教師經(jīng)常會出這樣的題：過一點(diǎn)可以作多少條直線？在學(xué)生動手操作和教師課件演示下，得出可以畫無數(shù)條直線。這一結(jié)論學(xué)生印象非常深刻，導(dǎo)致學(xué)生看到“過一點(diǎn)畫線”，就認(rèn)為可以畫無數(shù)條。如果教師在課堂教學(xué)過程中強(qiáng)調(diào)平行是兩直線之間的相互關(guān)系而不是一條直線的話，這樣的錯誤應(yīng)該會減少?！惧e例回放二】丁【成因聚焦】學(xué)生對軸對稱圖形的定義不清晰，只是憑感覺判斷平行四邊形是軸對稱圖形；對梯形的定義里的“只有”與“有”的意義也沒有理解透

5、，以為兩個字的意思一樣，而判斷失誤。上面第二個圖形是由三個圓形相切而成的一個組合圖形，學(xué)生沒有把它看作一個整體，對“軸對稱圖形”和“對稱軸”這兩個幾何概念不是很明確。二、“生活經(jīng)驗(yàn)”一一并非“學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)”只有當(dāng)經(jīng)驗(yàn)向?qū)W習(xí)過程轉(zhuǎn)變時，我們才能依靠經(jīng)驗(yàn)來學(xué)習(xí)。但是也可以有一種阻止進(jìn)一步經(jīng)驗(yàn)的造成強(qiáng)烈印象的作用。因此，生活經(jīng)驗(yàn)對學(xué)生的幾何概念學(xué)習(xí)來說，有積極的促進(jìn)作用，也有消極的阻礙作用?！境梢蚓劢埂慨?dāng)幾何概念與生活經(jīng)驗(yàn)在語匯上相近時，經(jīng)驗(yàn)會阻礙概念學(xué)習(xí)。2例如，幾何概念中的“垂直”，與日常經(jīng)驗(yàn)中的“豎直”在語匯上較為接近，學(xué)生就往往會將“垂直”理解為是“豎直”的狀態(tài)。如圖4,學(xué)生認(rèn)為選項(xiàng)A是垂直狀態(tài)

6、，而選項(xiàng)C不是，究其原因，也就在于此。三“眼見為實(shí)”一一并非“眼見為真”俗話說“眼見為實(shí)”，但數(shù)學(xué)卻只是在一定程度上認(rèn)可眼見為實(shí)，它并不認(rèn)可“眼見為真”【錯例回放】rt鉗卜；TI中性改和黯叮rH惶.（邑A-樓理悅*£的小般坦CDKC.«K心JCW,工【成因聚焦】圖5-1圖5-1是兩條相互垂直的線段，學(xué)生觀察后認(rèn)為線段CD比線段AB要長，這也許是實(shí)際的感覺，但真實(shí)的結(jié)論是兩條線段一樣長，所以實(shí)際的感覺不一定就是真理。與此類似的案例還有以下幾組：圖5-2圖5-5在圖5-2和圖5-3中，有的學(xué)生認(rèn)為線段（2）比線段（1）長，線段（4）比線段（3）長，其實(shí)包括思維水平發(fā)展完善的我們

7、也會這樣認(rèn)為。圖5-4中，矩形外邊的線是同一條直線，但我們看上去卻好像是來自不同的線。圖5-5和圖5-6中間都是正方形，但我們卻把圖5-5中的看成是一個受擠壓的正方形，圖5-6則看成是受拉張的正方形。其實(shí)這些是由于人的視覺誤差所引起的，也就是心理學(xué)上說的錯覺，即對客觀事物的不正確、歪曲的知覺，錯覺產(chǎn)生的原因很復(fù)雜，往往由生理和心理等多種因素引起。四、“空間知覺”并非“空間觀念”空間觀念是指在空間知覺的基礎(chǔ)上，形成的關(guān)于物體形狀、大小、位置關(guān)系的表象，它是在合同一類事物的多次感知的基礎(chǔ)上形成的，是記憶的重要形式，是想象的必要材料，是形成空間想象力的基礎(chǔ)。4由于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)、思維水平等

8、的不同，因此在發(fā)展空間觀念時的進(jìn)程不同，學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)豐富、認(rèn)知結(jié)構(gòu)完善、思維水平較高，則有利于空間觀念的發(fā)展，反之則阻礙其發(fā)展,也會對學(xué)生的解題造成困難?！惧e例回放一】個仲的衣加松是鮑平是戲（郵FIBL情"正好分成網(wǎng)個相同的寸方印舟個。力棒的央山朋生多少？凝干上:小氣?方用孔,j一口想自曲伴妁&“極IIP圖6L【成因聚焦】學(xué)生常常會出現(xiàn)80攵=40（平方厘米）。這是一種非常直接的思維，不具有抽象性，不是我們需要的數(shù)學(xué)思維。學(xué)生只是簡單得理解為“一分為二”。沒有經(jīng)過實(shí)際操作，學(xué)生很難想象分割后兩個立方體的表面積之和會比長方體的表面積大，至于增加了哪幾個面，是什么形狀，更是難以

9、想象?！惧e例回放二】“長方體的表面積計(jì)算”圖7（圖7）的學(xué)生沒弄【成因聚焦】以上錯例都是屬于求長方體的四個面（前、后、左、右面）的面積和。錯例清求哪幾個面的面積；錯例（圖8）的學(xué)生雖然知道求幾個面的面積，但列式時條件找錯了，應(yīng)求左、右面面積卻當(dāng)求上、下面面積。由此可見學(xué)生的空間觀念比較弱，無法在頭腦中形成一個空間圖形?！惧e例回放三】剪去陰影部分，可拼成什么圖形?同中*+:內(nèi)塞的星”國.吊弁跳內(nèi)*1、'"落咨標(biāo)否用班“例iJHIi尊好.叫可/成仕也酣%F圖10圖9圖11圖124【成因聚焦】有的學(xué)生對此圖的識別比較困難，而有的學(xué)生能夠識別并構(gòu)造出小長方形表象（如圖9）,其實(shí)抽掉陰

10、影部分拼成的圖形是圖12,為什么有學(xué)生會構(gòu)造出圖10呢？首先，當(dāng)學(xué)生觀察圖11時，在空間知覺（即人腦對物體空間特征的反映）的基礎(chǔ)上，有的學(xué)生便會在頭腦里形成小長方形的表象（如圖9）,接著對表象進(jìn)行改造，由于一部分學(xué)生表象儲備不足，空間觀念和空間想象力弱，對于表象的重新組合或再造而產(chǎn)生新表象的過程將會比較困難，從而進(jìn)行錯誤的改造。有的學(xué)生在辨認(rèn)方位、位置時比較困難。例如，讓小學(xué)生舉起右手來，他們幾乎都會很快舉起；如果問他們某個物體在他們的什么位置時，他們經(jīng)過思考也能答出，但如果讓他們說出某A物體在某B物體的什么位置時，有的學(xué)生就感到困難，這也是因?yàn)樗麄兊目臻g方位感、空間觀念弱，空間想象力差，不能

11、正確形成表象和改造表象，特別這部分學(xué)生在學(xué)習(xí)三維立體圖形時，如觀察物體、作簡單的三視圖，對于他們就比較困難。五、“顯著特征”一一并非“本質(zhì)特征”數(shù)學(xué)知識的攝取是在多種心理成分共同作用下進(jìn)行的，其中起主要作用的核心心理因素是感知。感知是感覺與知覺的合稱，感覺和知覺都是直接作用于人感官的客觀事物在大腦中的反映。4感知是大腦對事物直接、具體的認(rèn)識過程，即感性認(rèn)識。也正因?yàn)楦兄菍κ挛锏耐獗硖卣鞯母行哉J(rèn)識，而非本質(zhì)認(rèn)識，所以學(xué)生在觀察、認(rèn)識事物時會存在偏差，給學(xué)習(xí)空間與圖形帶來困難?！惧e例回放一】3F國所示.同切器AHCD網(wǎng)內(nèi)地*ETFH1E明牛不同的”內(nèi)度，修中例或蒯分理41幺閨電節(jié)（A，C,無懼硼

12、立圖134【成因聚焦】學(xué)生認(rèn)為陰影部分是一個平行四邊形，但它卻是一個梯形。我們在認(rèn)識區(qū)分圖形時，要抓住圖形的本質(zhì)屬性，而不僅僅是感覺圖形的“形狀”，在這里還得用感知規(guī)律中的強(qiáng)度律來解釋。強(qiáng)度律是指被感知的對象必須達(dá)到一定的刺激強(qiáng)度，主體才能獲得清晰的感性認(rèn)識，這里說的強(qiáng)度具有相對意義。4在圖13中，線段EH與BC平行是強(qiáng)刺激部分，而線段EH與BC的長度不等、EB與HC不平行是弱刺激部分。由于學(xué)生感受數(shù)學(xué)信息刺激的強(qiáng)弱具有特殊性，強(qiáng)刺激部分往往又會掩蓋弱刺激部分，他們往往更容易注意到事物的顯著特征即強(qiáng)刺激部分，而忽視被掩蓋的不太明顯的特征即弱刺激部分。所以，他們從整體感知上就誤認(rèn)為是平行四邊形。

13、【錯例回放二】比較F列圖中松方需利平行四邊愚的闌粗，電、M長方尼大a平行匹邊他大C.一樣大無蹌痛定圖14【成因聚焦】學(xué)生在比較兩個圖形的面積時，容易被強(qiáng)刺激部分即平行四邊形較長的邊這個非本質(zhì)特征所迷惑，而往往掩蓋了弱刺激部分即等底等高這個本質(zhì)屬性，誤認(rèn)為平行四邊形的面積比長方形的大。這就要求教師在教學(xué)時要有意識的強(qiáng)化重要的弱刺激。對策鏈接一一“撥開云霧見月明”一、明確幾何概念一一注重“變式”與“反例”數(shù)學(xué)概念是小學(xué)數(shù)學(xué)知識的基本要素。對于“空間與圖形”數(shù)學(xué)概念引入時，教師可從學(xué)生的生活實(shí)際入手，充分運(yùn)用實(shí)物、教具、圖表等直觀教具，以及動手操作等直觀手段，幫助學(xué)生獲得正確、完整、豐富的表象，訓(xùn)練

14、學(xué)生的形象思維。例如“面積”的概念，可通過引導(dǎo)學(xué)生觀察黑板、桌子、課本等實(shí)物的面引入，還可以引導(dǎo)學(xué)生用小刀剖開蘿卜觀察它的截面，讓學(xué)生親眼看一看，親手摸一摸引入。通過多種感官的協(xié)同活動，使面積的具體形象在學(xué)生頭腦中得到全面的反映。對于錯仞（圖2）,首先引導(dǎo)學(xué)生正確理解軸對稱圖形的定義：“如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個圖形叫做軸對稱圖形?！比缓笞寣W(xué)生動手操作：將一個平行四邊形沿著某一條直線對折，反復(fù)操作，看看得到的圖形能否完全重合。通過操作，使學(xué)生明白平行四邊形不是軸對稱圖形。對于梯形定義的理解，教師可以舉例說明“只有”和“有”的含義是不一樣的。在四邊形里，如果說只有

15、一組對邊平行，那意味著另一組對邊是不平行的。而在四邊形里，如果說有一組對邊平行，那另一組對邊有可能也是平行的。在教學(xué)梯形的概念時，教師可以先向?qū)W生呈現(xiàn)“標(biāo)準(zhǔn)圖形”，接著再展示“變式圖形”和反例,如圖15。15-415-5圖15-1、15-2、15-3是梯形的變式圖形，通過變換梯形擺放的位置、方向、角的性質(zhì)等非本質(zhì)屬性，突出梯形“只有一組對邊平行的四邊形”這一本質(zhì)屬性，學(xué)生認(rèn)識了梯形的各種表現(xiàn)形式，留在腦中的梯形表象將更加鮮明，理解更加深刻。圖15-4、15-5是梯形的反例，圖15-4故意變換“只有一組對邊平行”為兩組對邊分別平行，從梯形變質(zhì)為平行四邊形，從而突出了梯形“只有一組對邊平行”的本質(zhì)

16、屬性。圖15-5故意變換“四邊形”為“五邊形”，從而突出了梯形是四邊形的本質(zhì)屬性。、巧用生活經(jīng)驗(yàn)一一注重“區(qū)分”與“辨別”對兒童來說，尤其是對低年級的兒童來說，經(jīng)驗(yàn)是學(xué)習(xí)空間與圖形的起點(diǎn)，是發(fā)展他們空間觀念的基礎(chǔ)。在兒童生活的現(xiàn)實(shí)空間中有著許多的幾何圖形，兒童在自己的現(xiàn)實(shí)活動如游戲活動等的過程中，可能已經(jīng)積累了一定的幾何經(jīng)驗(yàn)。雖說兒童的生活經(jīng)驗(yàn)在一定程度上會給概念學(xué)習(xí)帶來困難，但它在教學(xué)中所起的作用也是不容忽視的。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)課程教學(xué)要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)”，同時強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動必須建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上”。學(xué)生積累了一定的生活經(jīng)驗(yàn)，豐富了原認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這對學(xué)

17、生的學(xué)習(xí)和教師的教學(xué)都是非常寶貴的資源。教師要充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)教學(xué)，當(dāng)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與幾何概念不同時，要及時的引導(dǎo)學(xué)生識別、認(rèn)清幾何圖形的本質(zhì)屬性，擺脫生活經(jīng)驗(yàn)的負(fù)面影響。5例如，在學(xué)習(xí)“圓的認(rèn)識”時，教師可以問學(xué)生：“你們見過車輪嗎？車輪是什么形狀的？”由于他們已有較豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生便還會列舉出鐘面、圓桌等實(shí)物，這對學(xué)生認(rèn)識圓是很有幫助的，教師在這時要及時的引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到圓是指一條特殊的封閉曲線，而不是生活中的圓面。三、感知學(xué)習(xí)材料一一注重“數(shù)學(xué)表象”與“直觀感知”小學(xué)生認(rèn)識事物帶有很大的具體性和直觀形象性，根據(jù)理解與感知的關(guān)系，在教學(xué)中要高度重視學(xué)生的感知活動。3一方面在理解前引

18、導(dǎo)學(xué)生充分利用操作和觀察等活動全面感知學(xué)習(xí)材料，讓他們在頭腦里建立起所學(xué)數(shù)學(xué)知識的豐富表象，以此為理解過程中的思維加工提供材料和依據(jù)。另一方面在理解過程中，特別是在對那些內(nèi)容非常抽象的數(shù)學(xué)知識理解過程中，教師要注意適時地給學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)母行圆牧希源藶閷W(xué)生的抽象邏輯思維的順利進(jìn)行提供必要的支持，保證他們的思維過程得以順利進(jìn)行。學(xué)生觀察圖5等幾個圖形時，往往被眼睛所欺騙，其實(shí)這也是缺乏直觀學(xué)習(xí)的一種表現(xiàn)。重視直觀感知，使學(xué)生獲得充分的感性認(rèn)識，更有利于學(xué)生從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，從而正確理解掌握事物的本質(zhì)屬性。四、培養(yǎng)空間觀念注重“實(shí)踐操作”與“題組訓(xùn)練”心理學(xué)研究證明：視覺、觸覺、聽覺等多種

19、感官共同參與幾何材料的操作，有利于空間觀念的形成和鞏固。教學(xué)中讓學(xué)生通過看一看、摸一摸、比一比、量一量、想一想、畫一畫、折一折、剪一剪、擺一擺等實(shí)踐活動，逐步建立圖形的表象，對于建立空間觀念是很重要的。例如解決“找對稱軸”錯例，明確定義以后，要通過動手操作加深體驗(yàn)。為了幫助學(xué)生準(zhǔn)確找出對稱軸，讓學(xué)生把題中的圖形畫出來，并剪下來，折一折，看看是否為軸對稱圖形。注意指導(dǎo)學(xué)生從不同方向折一折，看各有幾條對稱軸。為了讓學(xué)生進(jìn)一步熟練找對稱軸，多出一些類似的練習(xí)題，逐步過度到不用動手操作，憑空間想象來找軸對稱圖形的對稱軸。又例如解決“長方體的表面積計(jì)算”：可訓(xùn)練學(xué)生根據(jù)題意畫出圖形，并標(biāo)出已知數(shù)據(jù)。（如

20、下圖）利用畫圖幫助解題應(yīng)該是學(xué)生要形成的一個良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，我們要在平時的學(xué)習(xí)當(dāng)中就要不斷向?qū)W生滲透這種觀念，逐步培養(yǎng)。例如在一個長方體里剪出一個最大的圓，或者在一個長方體里削出一個最大的圓柱體，只要一畫圖學(xué)生就會馬上理解為什么要以最短的邊為半徑。又如繞圓形花壇周圍鋪小路，通過畫圖學(xué)生解題算直徑就不會只加一邊的小路寬，大大降低錯誤率。讓題組訓(xùn)練使學(xué)生意識到畫圖對自己解題的幫助和重要性，學(xué)生就會自覺畫圖，長期堅(jiān)持下來，就可以逐步形成習(xí)慣。五、選用典型材料一一注重“強(qiáng)度律”與“弱刺激”概念的本質(zhì)屬性越明顯、越突出，就越利于學(xué)生對概念的理解和掌握；而概念的非本質(zhì)屬性越多、越不明顯，就越不利于學(xué)生對概念本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性的辨別，學(xué)生就難以理解和掌握概念。4因此，在教學(xué)中要選用那些能反映概念本質(zhì)屬性的典型材料來說明概念。例如，在教學(xué)“平行四邊形”時，教師展示的平行四邊