將軍飲馬系列最值問題

1、1 .兩點(diǎn)之間，線段最短.2 .點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短.3 .三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小魚第三邊.4 .AB分別為同一圓心O半徑不等的兩個(gè)圓上的一點(diǎn)，RrABRr當(dāng)且僅當(dāng)A、B、O三點(diǎn)共線時(shí)能取等號.古希臘亞里山大里亞城有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫.有一天，有位將軍不遠(yuǎn)千里專程前來向海倫求教一個(gè)百思不得其解的問題：如圖，將軍從A出發(fā)到河邊飲馬，然后再到B地軍營視察，顯然有許多走法.問怎樣走路線最短呢？精通數(shù)理的海倫稍加思索，便作了完善的回答.這個(gè)問題后來被人們稱作“將軍飲馬”問題.下面我們來看看數(shù)學(xué)家是怎樣解決的.海倫發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)求折線和最短的數(shù)學(xué)問題.根據(jù)公理：連接兩點(diǎn)的所有

2、線中，線段最短.若A、B在河流的異側(cè)，直接連接AB,AB與l的交點(diǎn)即為所求.若A、B在河流的同側(cè)，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，那么顯然要把折線變成直線再解.，河流;海倫解決本問題時(shí)，是利用作對稱點(diǎn)把折線問題轉(zhuǎn)化成直線現(xiàn)在人們把凡是用對稱點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)解題的思想方法叫對稱原理，即軸對稱思想軸對稱及其性質(zhì):那么這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖（或軸）對稱.如等腰ABC是軸對把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合,形.這條直線就是它的對稱軸.這時(shí)我們就說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線稱圖形.那么就是說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合,直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重

3、合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn).如下圖，ABC與ABC關(guān)于直線l對稱，l叫做對稱軸.A和A,B和B,C和C是對稱點(diǎn).li軸對稱的兩個(gè)圖形有如下性質(zhì):關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形是全等形;對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線的垂直平分線;兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，如果他們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對稱軸上.線段垂直平分線:垂直平分線上點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.通?？紤]作軸當(dāng)已知條件出現(xiàn)了等腰三角形、角平分線、高，或者求幾條折線段的最小值等情況,對稱變換，以“補(bǔ)齊”圖形，集中條件。所有的軸對稱圖形(角、線、等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、等腰

4、梯形、圓、坐標(biāo)軸)，都可以考察“將軍飲馬”問題?？疾熘R點(diǎn)：“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，“點(diǎn)關(guān)于線對稱”，“線段的平移”。解題總思路：找點(diǎn)關(guān)于線的對稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，近兩年出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問題考查。構(gòu)建“對稱模型”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化PAPB-BC常見模型：(1)PAPB最小同側(cè)B異側(cè)lA圖2(2)PAPB最小A1JPAPB同側(cè)AB/lP【變形】異側(cè)時(shí)，也可以問：1(3)周k取短口一ABPA(4)“過河”最短距離口一A(5)線段和最小圖5圖6異側(cè)APA1,B生直線1上是否存在一點(diǎn)P使的直線1為APB的角平分線類型二類型三AJi=IBCN-7AB自二BbMNA1MNBE(6)在直

5、角坐標(biāo)系里的運(yùn)用同步練習(xí)【例1】尺規(guī)作圖，作線段AB的垂直平分線，作COD的角平分線.【變式練習(xí)】已知：如圖，ABC及兩點(diǎn)M、N.求作：點(diǎn)P,使得PMPN,且P點(diǎn)到ABC兩邊所在的直線的距離相等.【例2】已知點(diǎn)A在直線l外，點(diǎn)P為直線l上的一個(gè)動點(diǎn)，探究是否存在一個(gè)定點(diǎn)B,當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)的距離總相等，如果存在，請作出定點(diǎn)B；若不存在，請說明理由.A、B兩倉庫的距【例3】如圖，在公路a的同旁有兩個(gè)倉庫A、B,現(xiàn)需要建一貨物中轉(zhuǎn)站，要求到離和最短，這個(gè)中轉(zhuǎn)站M應(yīng)建在公路旁的哪個(gè)位置比較合理?A.【變式練習(xí)】如圖，M、N為ABC的邊AC、BC上的兩個(gè)定點(diǎn)，在AB上求一點(diǎn)P,

6、使PMN的周長最短.MCN【例4】如圖，AOB45,角內(nèi)有點(diǎn)P,在角的兩邊有兩點(diǎn)Q、R（均不同于O點(diǎn)），求作Q、R,使得PQR的周長的最小.【例5】如圖，在POQ內(nèi)部有M點(diǎn)和N點(diǎn)，同時(shí)能使MOPNOQ,這時(shí)在直線OP上再取A點(diǎn),使從A點(diǎn)到M點(diǎn)及N點(diǎn)的距離和為最?。辉谥本€OQ上也取B點(diǎn)，使從B點(diǎn)到M點(diǎn)和N點(diǎn)的距離和也最小.證明:AMANBMBN.【例6】已知如圖，點(diǎn)M在銳角AOB的內(nèi)部，在OB邊上求作一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與點(diǎn)P到OA的邊的距離和最小.【例7】已知：A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，在l上求作一點(diǎn)M,使得|AMBM|最小值和最大值.【變式練習(xí)】（07年三帆中學(xué)期中試題）如圖，正方形A

7、BCD中，AB8,M是DC上的一點(diǎn)，且DM2,N是AC上的一動點(diǎn).求（1）DNMN的最小值與最大值.（2）DNMN的最小值與最大值.例8如圖4ABC,D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的點(diǎn)（均不與點(diǎn)A、B、C重合），記4DEF的周長為P，請作出周長最小的4DEF.【習(xí)題1】如圖，在等腰RtABC中，CACB3,E的BC上一點(diǎn)，滿足BE2,在斜邊AB上求作一點(diǎn)P使得PCPE長度之和最小.CEB【習(xí)題2】如圖，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8,點(diǎn)M、N分別是變AB、BC的中點(diǎn)，在對角線AC求作一點(diǎn)P使彳導(dǎo)PMPN的值最小.【習(xí)題3】如圖，在銳角4ABC中，AB4姓,BAC45?0,BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,M、N分另1J是AD和AB上的動點(diǎn)，則BMMN的最小值是【習(xí)題4】已知。O的直徑CD為4,AOD的度數(shù)為60,點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P,使BPAP的值最小，并求BPAP的最小值.【習(xí)題5】如圖所示，正方形ABCD的面積為12,ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點(diǎn)P,使PDPE的和最小，則這個(gè)最小值為（B.2而AC【習(xí)題6】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l是第一、三象限的角平分線.實(shí)驗(yàn)與探究:(1)由圖觀察易知A2,0關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,0,請?jiān)趫D中分別標(biāo)B5,3、C2,5關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B、C的位置，并寫出它們的坐