經(jīng)典數(shù)學(xué)選修1-1?？碱}1951

1、經(jīng)典數(shù)學(xué)選修1-1常考題單選題（共5道）1、已知雙曲線b>0的一條漸近線的斜率為返，且右焦點b與拋物線的焦點重合，貝U該雙曲線的離心率等于（）A習(xí)BC2D22、過雙曲線=】的左焦點F作。Ox2+y2=a2的兩條切線，記切點為A,b-B,雙曲線左頂點為C,若/ACB=120，則雙曲線的漸近線方程為（）A丄$'BC1.'D八3、函數(shù)y=x5ax(1>a>0)的導(dǎo)數(shù)是A5x4axlnaB5x4ax+x5axlnaC5x4ax+x5axD5x4ax+x5axlogax4、物體運動的位移s與時間t的關(guān)系為則t=5時瞬時速度為（）A5B25C125D6255、給出以下四個

2、命題： 如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行； 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面； 如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線互相平行； 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直；其中真命題的個數(shù)是A4B3C2D1簡答題（共5道）&（本小題滿分12分）求與雙曲線有公共漸近線，且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。7、已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-2bx(a,bR),g(x)=-clnx.(1) 當(dāng)a=-,b<1時，f(x)與g(x)在定義域上單調(diào)性相反，求的|b|+c的最小值.(

3、2) 當(dāng)b>a|>0時，求證：存在mR,使f(x)=m有三個不同的實數(shù)解t1,t2,t3，且對任意i,j1,2,3且i乞都有丄v2b-a(ti+tj).8、已知函數(shù)f(x)=x2Inx(1) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 證明：對任意的t>0,方程f(x)-t=0關(guān)于x在(1,+x)上有唯一解s，使t=f(s)；(3) 設(shè)(2)中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為s=g(t)，證明：當(dāng)t>e2時,有219、(本小題滿分12分)求與雙曲線有公共漸近線，且過點.一的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。10、（本小題滿分12分）求與雙曲線-有公共漸近線，且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。填空題（共5道）11

4、、設(shè)-為雙曲線n的左右焦點，點p在雙曲線的左支上，且上廠的最小值為二，貝U雙曲線的離心率的取值范圍是.12、函數(shù)f（x）=x3-3x，過點A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，則此切線方程為.13、曲線y=ex在點P（0，1）處的切線的方程為.14、設(shè)一：為雙曲線芻辛的左右焦點，點P在雙曲線的左支上，且卑的最小值為二，貝U雙曲線的離心率的取值范圍是.15設(shè)為雙曲線-的左右焦點，點P在雙曲線的左支上，且的最小值為二，貝U雙曲線的離心率的取值范圍是.1- 答案：tc解：拋物線f二4鳥的焦點坐標(biāo)為（30】.雙曲線的右焦點為（C,0），則卜上.漸近線為y=±T，因為一條漸近線的斜率為衛(wèi)&#

5、39;，所以=P，即所以b2=2a2=c2-a2，即c2=3a2，即_'，故選B.2- 答案：tc解：由題意可得：雙曲線的方程為一-，所以雙曲線的漸近線方程為bACB=120，所以根據(jù)圖象的特征可得:/AFO=30，所以c=2a，又因為b2=c2-a2，所以，所以雙曲線的漸近線方a程為|.故選A.3- 答案：B4- 答案：tc解：由=vf4-3,得s'=t3,所以t=5時瞬時速度為：小二弓=點=12亍故斗選C.5- 答案：B1- 答案：設(shè)所求雙曲線的方程為-，將點-代入得】-.，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-略匚42- 答案：解析：(1)Vf'(X)M乜°,g

6、9;(x)r.當(dāng)庵x(x+I)1Ia=時，f'(x)=;當(dāng)b<1時，x2-2bx+1>0對x(0,+x)恒成立，f'(x)0對x(0，+x)恒成立，f(%)在(0，+x)上為增函數(shù).根據(jù)f(X)和g(x)在定義域上單調(diào)性相反得，g(x)在(0，+x)上為減函數(shù),1.-g(x)w0對x(0，+x)恒成立,即：4x<c(x+1)2，c4.ta-+ir4.t巴下F=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時,c>1,此時|b|+c的最小值是(2).f(x)=,當(dāng)b>二0時，a>0,且一元二次方程2ax2-2bx+仁0的厶=4(b2-2a)>0,二2ax2-2bx+

7、1=0有兩個不相等的實根b+rj=*b2iJ2a,當(dāng)x(0,x1)時，f(x)為增函數(shù)；f(x)(-8,f(x1),當(dāng)x(x1,x2)時，f(x)為減函數(shù)；f(x)(f(x2),f(x1),當(dāng)x(x2,+8)時，f當(dāng)m(f(x2),f(x1)時，f(x)為增函數(shù)；f(x)(f(x2),+8),(x)=m定有3個不相等的實根t1,t2,t3，分別在(-8,x1)、(x1,x2)、(x2,+8)內(nèi)，不妨設(shè)tivtj,則f(ti)=mf(tj)=m,f(ti)=f(tj),即Inti+af/-2bti=lntj+a屮-2btj,即(ti+tj)=-In1.7*_7)+2b(ti-tj),即.InIn

8、ti-lntj=-a(廠-a(ti+tj)+2b,注曲=丄申9Pi-In-2b-a2(-I)=t，則一,由(1)知g(x)=一在(0,+8)上為減函數(shù)，又g(1)I=0，當(dāng)Ovtv1,-2b-a(ti+tj)v0,即丁v2b-a(ti+tj).s丄廠/八/、2oA-2h:v+l解析：(1).f'(x)=,g'當(dāng)f'(x)=；當(dāng)b<1時，x2-2bx+1>0對x(0,+8)恒成立，f(x)0對x(0,+8)恒成立,和g(x)在定義域上單調(diào)性相反得,f(x)在(0,+8)上為增函數(shù).根據(jù)f(x)g(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，g'(x)W0對x(0,+

9、8)恒成立，即:4x4x<c(x+1)2,.°.c(.<+14.tb+iF4蠱ix1)-,、.,、2a.r-2/?.r+1(2)vf'(x)=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時,取最大值1.二c>1,此時|b|+c的最小值是1.,當(dāng)b>J二>0時，a>0,且一元二次方程2ax2-2bx+1=0的厶=4(b2-2a)>0,二2ax2-2bx+1=0有兩個不相等的實根當(dāng)x(0,x1)時，f(x)為增函數(shù)；f(x)(-8,f(x1),當(dāng)x(x1,x2)時，f(x)為減函數(shù)；f(x)(f(x2),f(x1),當(dāng)x(x2,+x)時，f(x)為增函數(shù)；f(x)

10、(f(x2),+),當(dāng)m(f(x2),f(x1)時，f(x)=m定有3個不相等的實根t1,t2,t3，分別在(-x,x1)、(x1,x2)、(x2,+x)內(nèi)，不妨設(shè)tivtj，則f(ti)=m,f(tj)=m,f(ti)=f(tj),即Inti+ap,-2bti=lntj+a護(hù)-2btj，即Inti-lntj=-a(ti+tj)i；r-l1-In-皿，由(1)知g(x)=一心在(0,+x)上為減函數(shù)，又g(1)I+1bir-1I=0,.當(dāng)ovtv1,->0,又.v0,J-2b-a(ti+tj)v0,即二v2b-a(ti+tj)3- 答案：(1)解：由題意可知函數(shù)的定義域為(0,+x),求

11、導(dǎo)數(shù)可得f'(x)=2xInx+x2?-=2x1nx+x=x(2Inx+1)，令f'(x)=0,可解得x=-，當(dāng)xX1r(0-0+fCO單調(diào)遍減極小值單調(diào)遮増變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表：所以函數(shù)f(x，的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,),單調(diào)遞增區(qū)間為(，+x)；(2) 證明：當(dāng)Ovx<1時，f(x)<0,設(shè)t>0,令h(x)=f(x)-t,x1,+x),由(1)可知，h(x，在區(qū)間(1,+x)單調(diào)遞增，h(1)=-tv0,h(et)=e2tInet-t=t(e2t-1)>0,故存在唯一的s(1,+x),使得t=f(s)成立；(3) 證明

12、：因為s=g(t),由(2)知，t=f(s),且s>1,從而=其中u=lns,要使vv成立，只需vv,即2vv,即2v2+v,只需0vv,變形可得只需0vlnuv,當(dāng)t>e2時，若s=g(t)<e,則由f(s，的單調(diào)性，有t=f(s)<f(e)=e2,矛盾，所以s>e,即u>1,從而Inu>0成立，另一方面，令F(u)=1nu-,u>1,F'(u)=-，令F'(u)=0,可解得u=2,當(dāng)1vuv2時，F(xiàn)'(u)>0,當(dāng)u>2時，F(xiàn)'(u)v0,故函數(shù)F(u)在u=2處取到極大值，也是最大值F(2)=ln

13、2-1v0,故有F(u)=lnu-v0,即Inuv,綜上可證：當(dāng)t>e2時，有vv成立.(1) 解：由題意可知函數(shù)的定義域為(0,+x),求導(dǎo)數(shù)可得f'(x)=2xlnx+x2?丄=2x1nx+x=x(2lnx+1)，令f'(x)=0,可解得x卡,當(dāng)x變化時，f'(x),f(x)的變化情況如下表：X<0'護(hù)1嗆7r(00+單調(diào)說減極小值單調(diào)詭增所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,),單調(diào)遞增區(qū)間為(，+x)；(2) 證明：當(dāng)0vx<1時，f(x)<0,設(shè)t>0,令h(x)=f(x)-t,x1,+x),由(1)可知，h(x)在區(qū)間(

14、1,+x)單調(diào)遞增，h(1)=-tv0,h(et)=e2tlnet-t=t(e2t-1)>0,故存在唯一的s(1,+),使得t=f(s)成立；(3) 證明：因為s=g(t),由(2)知，t=f(s),且s>1,從而=,其中u=lns，要使vv成立，只需vv,即卩2vv,即卩2v2+v，只需0vv,變形可得只需0vlnuv,當(dāng)t>e2時，若s=g(t)<e,則由f(s)的單調(diào)性，有t=f(s)<f(e)=e2,矛盾，所以s>e,即u>1,從而lnu>0成立，另一方面，令F(u)=1nu-,u>1,F'(u)=-，令F'(u)=

15、0,可解得u=2,當(dāng)1vuv2時，F(xiàn)'(u)>0,當(dāng)u>2時，F(xiàn)'(u)v0,故函數(shù)F(u)在u=2處取到極大值，也是最大值F(2)=ln2-1v0,故有F(u)=lnu-v0,即Inuv,綜上可證：當(dāng)t>e2時，有vv成立.4- 答案：設(shè)所求雙曲線的方程為-，將點-代入得】-,所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為略&4所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-略三41- 答案：0引試題分析：雙曲線一(a>0,b>0)的左右焦點分別為F1,F2,P為雙曲線左支上的任意一點，二|PF2|-|PF1|=2a,|PF2|=2a+|PF1|,'一-門-(當(dāng)且僅當(dāng)八時取等號

16、)，所以|PF2|=2a+|PF1|=4a,v|PF2|-|PF1|=2av2c,|PF1|+|PF2|=6a>2c,所以e(1,3。點評：本題把雙曲線的定義和基本不等式相結(jié)合，考查知識點的靈活應(yīng)用。解題時要認(rèn)真審題，注意基本不等式的合理運用。2- 答案：vf'(x)=3x2-3，設(shè)切點坐標(biāo)為(t,t3-3t),則切線方程為y-(t3-3t)=3(t2-1)(x-t),v切線過點A(0,16),a1&(t3-3t)=3(t2-1)(0-t),at=-2.切線方程為9x-y+16=0故答案為：9x-y+16=0.3- 答案：vy=ex,ay'=ex,a曲線y=ex在點P(0,1)處的切線的斜率為：k=e0=1,a曲線y=ex在點P(0,1)處的切線的方程為：y=x+1,故答案為:X-y+1=0.4- 答案：試題分析：雙曲線一一-(a>0,b>0)的左右焦點分a*y別為F1,F2,P為雙曲線左支上的任意一點，二|PF2|-|PF1|=2a,|PF2|=2a+|PF1|,-|(當(dāng)且僅當(dāng)-一時取等號)，所以|PF2|=2a+|PF1|=4a,v|PF2|-|PF1|=2av2c,|PF1|+|PF2|=6a>2c,所以e(1,3。點評：本題把雙曲線的定義和基本不等式