132函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(上課)

1、1.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在在某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，如果如果f (x)0，則，則f(x)為增函數(shù)；為增函數(shù)；如果如果f (x)0f (x) =0 f (x) 0極大值極大值減減f (x) 0如何判斷如何判斷f (x0)是極大值或是極小值？是極大值或是極小值？左正右負(fù)為極大，右正左負(fù)為極小左正右負(fù)為極大，右正左負(fù)為極小v若尋找若尋找可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)極值點(diǎn),可否只由可否只由f (x)=0 0求得即可求得即可? ?思考思考探索探索: x =0是否為函數(shù)是否為函數(shù)f(x)=x3的極值點(diǎn)的極值點(diǎn)?x yOf

2、 ( (x) ) x3 3 f (x)=3x2 當(dāng)f (x)=0時(shí)，x =0，而x =0不是該函數(shù)的極值點(diǎn).f (x0) =0 =0 x0 是可導(dǎo)函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的極值點(diǎn) x0左右側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)左右側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào) x0 是函數(shù)是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的極值點(diǎn) f (x0) =0=0注意：注意：f /(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件是函數(shù)取得極值的必要不充分條件練習(xí)練習(xí)1 下圖是導(dǎo)函數(shù)下圖是導(dǎo)函數(shù) 的圖象的圖象, 試找出函數(shù)試找出函數(shù) 的極值點(diǎn)的極值點(diǎn), 并指出哪些是極大值點(diǎn)并指出哪些是極大值點(diǎn), 哪些是極小值點(diǎn)哪些是極小值點(diǎn).)(xfy)(xfy abxyx1Ox2x3x4x5x

3、6)(xfy因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以例例1 求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值.31( )443f xxx解解:, 4431)(3xxxf)2(2. 4)(2xxxxf）（令令 解得解得 或或, 0)( xf, 2x. 2x當(dāng)當(dāng) , 即即 , 或或 ;當(dāng)當(dāng) , 即即 .0)( xf0)( xf2x2x22x當(dāng)當(dāng) x 變化時(shí)變化時(shí), f (x) 的變化情況如下表的變化情況如下表:x(, 2)2(2, 2)2( 2, +)00f (x)極大值極大值極小值極小值 ( )fx+所以所以, 當(dāng)當(dāng) x = 2 時(shí)時(shí), f (x)有極大值有極大值 ;當(dāng)當(dāng) x = 2 時(shí)時(shí), f (x)有極小值有極小值 .例題選講例題選講

4、: :32834解解:).2)(2(42 xxxy令令 ,解得解得x1=-2,x2=2.0 y當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)變化時(shí), ,y的變化情況如下表的變化情況如下表:y x(-,-2) -2(-2,2) 2 (2,+) y + 0 - 0 + y 極大值極大值 極小值極小值 因此因此,當(dāng)當(dāng)x=-2時(shí)有極大值時(shí)有極大值,并且并且,y極大值極大值= ;而而,當(dāng)當(dāng)x=2時(shí)有極小值時(shí)有極小值,并且并且,y極小值極小值= .例例1 求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值.31( )443f xxx3283432834例題1的圖像-2oxy2+-+f(x)= x3-4x+43134328求可導(dǎo)函數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的極值的

5、步驟步驟：(2)求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)f (x)；(3)求方程求方程f (x）=0的根；的根； (4)把定義域劃分為把定義域劃分為部分區(qū)間，并列成表格部分區(qū)間，并列成表格檢查檢查f (x)在方程根左右的符號(hào)在方程根左右的符號(hào)如果如果左正右負(fù)左正右負(fù)（+ -），）， 那么那么f(x)在這個(gè)根處取得極在這個(gè)根處取得極大大值；值；如果如果左負(fù)右正左負(fù)右正（- +），）， 那么那么f(x)在這個(gè)根處取得極在這個(gè)根處取得極小小值；值；(1) 確定函數(shù)的確定函數(shù)的定義域定義域；注意注意：函數(shù)極值是在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間內(nèi)定義：函數(shù)極值是在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間內(nèi)定義的，是的，是局部性質(zhì)局部性質(zhì)。因此一個(gè)函數(shù)在其整個(gè)定義區(qū)

6、間。因此一個(gè)函數(shù)在其整個(gè)定義區(qū)間上可能有上可能有多個(gè)極大值或極小值多個(gè)極大值或極小值，并對(duì)同一個(gè)函數(shù)來，并對(duì)同一個(gè)函數(shù)來說，在某說，在某一點(diǎn)的極大值也可能小于另一點(diǎn)的極小值一點(diǎn)的極大值也可能小于另一點(diǎn)的極小值。練習(xí)練習(xí)1.判斷下面判斷下面4個(gè)命題，其中是真命題序號(hào)為個(gè)命題，其中是真命題序號(hào)為 ?？蓪?dǎo)函數(shù)必有極值；可導(dǎo)函數(shù)必有極值；可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)一定等于零；可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)一定等于零；函數(shù)的極小值一定小于極大值函數(shù)的極小值一定小于極大值（設(shè)極小值、極大值都存在）；（設(shè)極小值、極大值都存在）；函數(shù)的極小值（或極大值）不會(huì)多于一個(gè)。函數(shù)的極小值（或極大值）不會(huì)多于一個(gè)。3xy 如練習(xí)練

7、習(xí)2求下列函數(shù)的極值求下列函數(shù)的極值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 112)( ) 1 (xxf令令 解得解得 列表列表:, 0)( xf.121xx0f (x)(xf +遞增遞增遞減遞減 )121,(),121(1212449極大值所以所以, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), f (x)有極小值有極小值121x.2449)121(f練習(xí)練習(xí)2求下列函數(shù)的極值求下列函數(shù)的極值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 0

8、273)( )2(2xxf令解得解得 列表列表:. 3, 321xxx(, 3)3(3, 3)3( 3, +)00f (x) )(xf +單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞增5454所以所以, 當(dāng)當(dāng) x = 3 時(shí)時(shí), f (x)有極大值有極大值 54 ;當(dāng)當(dāng) x = 3 時(shí)時(shí), f (x)有極小值有極小值 54 .練習(xí)練習(xí)2求下列函數(shù)的極值求下列函數(shù)的極值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 0312)( )3(2xxf令解得解得 . 2, 221xx所以所以, 當(dāng)當(dāng) x = 2 時(shí)

9、時(shí), f (x)有極小值有極小值 10 ;當(dāng)當(dāng) x = 2 時(shí)時(shí), f (x)有極大值有極大值 22 ., 033)( )4(2xxf令解得解得 . 1, 121xx所以所以, 當(dāng)當(dāng) x = 1 時(shí)時(shí), f (x)有極小值有極小值 2 ;當(dāng)當(dāng) x = 1 時(shí)時(shí), f (x)有極大值有極大值 2 .32( )f xaxbxcx例題例題2 2.(.(2006年年北京卷北京卷) )已知函數(shù)已知函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn) 處取得極大值處取得極大值5,其導(dǎo)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù) 的圖像的圖像(如圖如圖)過點(diǎn)（過點(diǎn)（1,0）,（2,0）, 求：（求：（1） 的值；（的值；（2）a,b,c的值；的值；0 x( )yfx0 x2,9

10、,12abc .10 x5) 1 ( cbaf0412)2(023) 1 (/cbafcbaf(1)由圖像可知：由圖像可知：) 0(23(2/ acbxaxxf）(2)注意：數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用注意：數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用 2.（2006年天津卷年天津卷)函數(shù)函數(shù) 的定義域?yàn)殚_區(qū)間的定義域?yàn)殚_區(qū)間( )f x導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù) 在在 內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間在開區(qū)間 內(nèi)有（內(nèi)有（ ）個(gè)極小值點(diǎn)。）個(gè)極小值點(diǎn)。 ( )fx ( , )a b( , )a b( , )a b( )f x 課外練習(xí)課外練習(xí):1.函數(shù)函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3(a+

11、2)x+3既有極大值，又既有極大值，又有極小值，則有極小值，則a的取值范圍為的取值范圍為 .21aa 或或(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4 abxy)(xfyO abxy)(xfyO練習(xí)練習(xí)下圖是導(dǎo)函數(shù)下圖是導(dǎo)函數(shù) 的圖象的圖象, 在標(biāo)記的點(diǎn)中在標(biāo)記的點(diǎn)中, 在哪一點(diǎn)處在哪一點(diǎn)處(1)導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù) 有極大值有極大值?(2)導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù) 有極小值有極小值?(3)函數(shù)函數(shù) 有極大值有極大值?(4)函數(shù)函數(shù) 有極小值有極小值?)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy )(xfy 2xx 1xx 4 xx 或或3xx 5xx 2、函數(shù)、函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)y/與函數(shù)值和極值之間的關(guān)系為

12、與函數(shù)值和極值之間的關(guān)系為( )A、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)y/由負(fù)變正由負(fù)變正,則函數(shù)則函數(shù)y由減變?yōu)樵鲇蓽p變?yōu)樵?且有極大值且有極大值B、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)y/由負(fù)變正由負(fù)變正,則函數(shù)則函數(shù)y由增變?yōu)闇p由增變?yōu)闇p,且有極大值且有極大值C、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)y/由正變負(fù)由正變負(fù),則函數(shù)則函數(shù)y由增變?yōu)闇p由增變?yōu)闇p,且有極小值且有極小值D、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)y/由正變負(fù)由正變負(fù),則函數(shù)則函數(shù)y由增變?yōu)闇p由增變?yōu)闇p,且有極大值且有極大值D練習(xí)：練習(xí)： 函數(shù)函數(shù) 在在 時(shí)有極值時(shí)有極值1010，則，則a，b的值為（的值為（ ）A A、 或或 B B、 或或C C、 D D、 以上都不對(duì)以上都不對(duì) 223)(abxaxxxf 1 x3,