直接證明與間接證明導(dǎo)學(xué)案

1、課題直接證明與間接證明課標(biāo)考綱要求考占P八、四要了解直接證明的兩種基了解直接證明的兩種基本直接法證本方法-分析法和綜合方法-分析法和綜合法，了解明數(shù)學(xué)問(wèn)題素法，了解分析法和綜合法的分析法和綜合法的思考過(guò)程、特研思考過(guò)程、特點(diǎn)；占；八、反證法證1了解間接證明的一種方了解間接證明的一種方法明數(shù)學(xué)問(wèn)題究法-反證法，了解反證法-反證法，了解反證法的思考的思考過(guò)程、特點(diǎn)過(guò)程、特點(diǎn)山東卷全國(guó)卷高已知a,b,cR ab c 1,求證：(2003全國(guó))考111c9如果:回a b c3si nsin (2 + ),回已知a, b ,m都是正數(shù)，并且ab.求求證：放、十 a matan()2 tan證：.b m

2、b0.2直接證明和間接證明預(yù)習(xí)案考綱解讀：了解直接證明的兩種基本方法-分析法和綜合法，了解分析法和綜合法的思考 過(guò)程、特點(diǎn)；了解間接證明的一種方法-反證法，了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn).學(xué)習(xí)目標(biāo)：1 能用直接法證明一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題2 會(huì)用反證法證明一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題學(xué)習(xí)重點(diǎn)：直接法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題學(xué)習(xí)難點(diǎn)：反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題 預(yù)習(xí)要求：請(qǐng)同學(xué)們自己預(yù)習(xí)課本 63-67頁(yè)內(nèi)容，有困難或疑問(wèn)請(qǐng)用紅筆標(biāo)注，并獨(dú)立完 成下面的問(wèn)題教材助讀：1 直接證明-綜合法、分析法(1) 綜合法用綜合法解題的邏輯關(guān)系是：P Q(Q1Q2)Q2 Q3.QnQ綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，禾U用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)

3、和公式，推出結(jié)論的一種證明方法+(2) 分析法用分析法解題的邏輯關(guān)系是：Q p (PF2). (Pn 1P.)PnP分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因分析法的書(shū)寫(xiě)格式：要證明命題B為真，只需要證明命題B1為真，從而有這只需要證明命題 B2為真，從而又有這只需要證明命題 A為真.而已知A為真，故命題B必為真2.直接證明-反證法小故事：中國(guó)古代有一個(gè)叫路邊苦李的故事。王戎7歲時(shí)，與小伙伴們外出游玩，看到路邊的李樹(shù)上結(jié)滿(mǎn)了果子。小伙伴們紛紛去摘果子，只有王戎站在原地不動(dòng)。 有人問(wèn)王戎為什么？王戎回答說(shuō)：“樹(shù)在道邊而多子，此必苦李?！毙』锇檎∫粋€(gè)嘗了一下，果然是 苦李。一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的

4、推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從 而證明了原命題成立。證明步驟： 反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立。 歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的推理證明，得出矛盾。 結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。思維方法：正難則反關(guān)鍵在與：從假設(shè)出發(fā)，在正確的推理下得出矛盾 (與已知矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、 定理、公理矛盾，與事實(shí)矛盾等)。預(yù)習(xí)自測(cè)：1 .設(shè)在四面體 P ABC 中,ABC 90 , PA PB PC, D 是 AC 的中點(diǎn)求證:PD垂直于 ABC所在的平面.2.在四面體 S ABC中，SA 面ABC, AB BC ,過(guò)A作SB的垂線(xiàn)，垂足為E,過(guò)E作SC的垂

5、 線(xiàn),垂足為F,求證AF SC.證明：要證貝afffi5C丄平曲AE&只爲(wèi)證AE丄SC （闊溝AE丄平師RMiiEAE AC調(diào)為疲丄平山'SAH.RhE戌:丄助納為ftl SA丄平上式威立.所訂AF丄豹3.用反證法證明：過(guò)一點(diǎn)與一平面垂直的直線(xiàn)只有證期，贄證預(yù)習(xí)疑惑:探究案探究點(diǎn)1：綜合法111c 例1.已知a,b,c R，a b c 1，求證：9.a b c已知a, b, m都是正數(shù)，并且ab.求證:變式練習(xí)：已知 a, b R ,求證 aabb abba.探究點(diǎn)2 :分析法例 2.求證.3,72 . 5變式練習(xí)：證明：通過(guò)水管放水， 當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面的周長(zhǎng)相等，那

6、么截面是圓的水管比 截面是正方形的水管流量大探究點(diǎn)3 :反證法例3證明,2不是有理數(shù)變式練習(xí):已知數(shù)列bn的通項(xiàng)公式bn1 24 3 '證明：數(shù)列b"中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列證明：1，,2，. 3不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)當(dāng)堂檢測(cè)：)2ta n1.如果 3sinsin(2 + )，求證：tan(標(biāo)題數(shù)學(xué)歸納法四課標(biāo)考綱要求考點(diǎn)P八、12.設(shè)a為實(shí)數(shù)，f(x) x2 ax a .求證：f與f (2)中至少有一個(gè)不小于了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn) 單的數(shù)學(xué)命題。 使學(xué)生進(jìn)一步了解歸納 法，理解數(shù)學(xué)歸納法的原理 與實(shí)質(zhì)。 理解數(shù)學(xué)歸納法原理并 能用數(shù)學(xué)歸納法證明

7、一些與 自然數(shù)n有關(guān)問(wèn)題。 數(shù)學(xué)歸納法證明與自 然數(shù)有關(guān)的命題步驟； 數(shù)學(xué)歸納法第二步如 何利用歸納假設(shè)證明n k 1時(shí)命題成立山東卷全國(guó)卷(山東01模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明(全國(guó)02模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式高2 2 2 2135(2n1)n(4n21)1 11113(n 2)3n 1 n 2n 32n 24過(guò)程中，由n=k遞推到n=k+1時(shí)，不等式左的過(guò)程中，由n=k遞推到n=k+1時(shí)，不等式考邊增加的項(xiàng)為()左邊()2 2A.(2k)B.(2k3)A. 增 加1了一項(xiàng)|回2(k 1)2C.(2k 1)D.(2k2)2放B.增加了一項(xiàng)-1 12k 12(k1)C.增加了“ 一1111”，又

8、減少了2k12(k1)“ 1 ”k 1D.增加了 “一1 1一 ”，又減少了”2(k 1)k 1§231數(shù)學(xué)歸納法預(yù)習(xí)案考綱解讀：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。學(xué)習(xí)目標(biāo)：1使學(xué)生進(jìn)一步了解歸納法,理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與實(shí)質(zhì)。2、理解數(shù)學(xué)歸納法原理并能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些與自然數(shù)n有關(guān)問(wèn)題。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題步驟；學(xué)習(xí)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法第二步如何利用歸納假設(shè)證明n k 1時(shí)命題成立預(yù)習(xí)要求：請(qǐng)同學(xué)們自己預(yù)習(xí)課本內(nèi)容，有困難或疑問(wèn)請(qǐng)用紅筆標(biāo)注，并獨(dú)立完成下面的 問(wèn)題.教材助讀:1. 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù) n有關(guān)的命題，可按下列步驟

9、進(jìn)行（1）（歸納奠基）證明當(dāng) n取第一個(gè)值n = n0時(shí)命題成立；（2） （歸納遞推）假設(shè) 時(shí)命題成立，證明 時(shí)命題也成立.只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n。開(kāi)始的所有正整數(shù) n都成立。上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。注：（1），（2）兩步各司其職，缺一不可，特別指出的是，第二步不是判斷命題的真?zhèn)?，而是證明命題是否具有傳遞性，如果沒(méi)有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題。2運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)易犯的錯(cuò)誤（1）對(duì)項(xiàng)數(shù)估算的錯(cuò)誤，特別是尋找n= k與n= k+1的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯(cuò)。（2 ）沒(méi)有利用歸納假設(shè)：歸納假設(shè)是必須要用的，假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不 過(guò)去了。（3

10、） 關(guān)鍵步驟含糊不清，“假設(shè)n = k時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明n = k+1時(shí)結(jié)論也成立”， 是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問(wèn)題最重要的環(huán)節(jié)， 對(duì)推導(dǎo)的過(guò)程要把步驟寫(xiě)完整， 注 意證明過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性。預(yù)習(xí)自測(cè)1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1111n ( n*N，且n1）時(shí)，第一步即證下232n 1)列哪個(gè)不等式成立（,12C. 11 12,1CA. 12B.1 -D. 1 222 332.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1111N且n 1），第二步證明從“ K到n(n232n1K+1”，左端增加的項(xiàng)數(shù)是()k 1kkkA. 2 B. 2 C. 2 -1 D. 2 +13.用數(shù)學(xué)歸納法證明2n 1n2 n

11、2 （n N）時(shí)，第一步證明n4.用數(shù)學(xué)歸納法證明：2 + 4+ 6+-+ 2n= n2 n預(yù)習(xí)疑惑:探究案探究點(diǎn)1:利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：n N*時(shí)，1 2 2 3 3 4 n(n 1) n(n 1)(n 2)變式練習(xí)：2 2 2 2 2用數(shù)學(xué)歸納法證明：246(2n)§n(n 1)(2 n 1)探究點(diǎn)2 :由“ K到K+1 ”左端增加的項(xiàng)數(shù)1 21) n(4n1)過(guò)程中，由n=k遞推到3( )2D. (2k2)例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明12 32 52(2nn=k+1時(shí)，不等式左邊增加的項(xiàng)為2 2 2A. (2k) B. (2k3)C. (2k 1)變式練習(xí)

12、：1 1 11.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式n 1 n 2 n 3推到n=k+1時(shí)，不等式左邊()1A.增加了一項(xiàng)2(k 1)1 12k 12(k1)(n 2)的過(guò)程中，由n=k遞 2n 24B.增加了一項(xiàng)1C.增加了“12k11”，又減少了“112(k1)k 11少了“”k 12.用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(n n)“ n k 到 nk 1”，左邊需增乘的代數(shù)式是(2k1A. 2k 1B. k1C. 2(2k 1)' D.增加了“ 一!一 ”，又減2(k 1)n*2 13 5(2n 1) (n N )時(shí)，從)2k 3D. k 1當(dāng)堂檢測(cè)：1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“ 1 2 222n 1

13、2nA.12222k 22k 12k 1 1-2亠k_k 1k4_k 1122222 12C.1 2222 k 12k 1 1-2亠k 1亠kk4亠k122222 12成立，則當(dāng)n k 1時(shí)應(yīng)證明()2空間中有n個(gè)平面，它們中任何兩個(gè)不平行,1(n N )”的過(guò)程中，第二步n k時(shí)B.D.不共線(xiàn)，設(shè)k個(gè)這樣的平面把空間分成f(k)個(gè)區(qū)域，則k 1個(gè)平面把空間分成的區(qū)域數(shù)f(k 1) f(k)()數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例四課標(biāo)考綱要求考點(diǎn)P八、A. k 1 B. k C. k 1 D. 2k12n 112n1113.用數(shù)學(xué)歸納法證明某命題時(shí)，左式為1-234時(shí)應(yīng)將左邊加上（）A.B.2k2k 112k

14、 4C.2k 2D.2k 112k 24若 f(k) 111123412k 112k則f(k1)= f(k) +了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù) 學(xué)歸納法證明一些 簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題。 理解數(shù)學(xué)歸納法原理； 掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明 步驟；會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法表達(dá)證 明過(guò)程 數(shù)學(xué)歸納法證明與自然 數(shù)有關(guān)的命題步驟； 數(shù)學(xué)歸納法第二步如何利用歸納假設(shè)證明n k 1時(shí)命題成立高 考回放山東卷全國(guó)卷（山東02模擬）已知數(shù)列an, Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)a1和,且Sn 豈丄1 ,且2anan 0 （n N ）.寫(xiě)出數(shù)列an的前三項(xiàng)；猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明（全國(guó)00模擬）3.根據(jù)下列不等式：1 _,1

15、一 _ 1,1一一 一 _,1 一 一 一 2,，2 2 32 3 川 7 2 2 3 " 15 川能否猜想一個(gè)一般的不等式.并證明你的 結(jié)論.數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例預(yù)習(xí)案考綱解讀：理解數(shù)學(xué)歸納法原理，并能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些與自然數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 理解數(shù)學(xué)歸納法原理；2. 掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟；3. 會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法表達(dá)證明過(guò)程學(xué)習(xí)重點(diǎn)：會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法第二步中，如何利用假設(shè)證明n k 1時(shí)命題成立.預(yù)習(xí)要求：請(qǐng)同學(xué)們自己預(yù)習(xí)課本 71-72頁(yè)內(nèi)容，有困難或疑問(wèn)請(qǐng)用紅筆標(biāo)注，并獨(dú)立完成下面的問(wèn)題.教材助讀：一般地，證明一個(gè)與正整數(shù) n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)

16、行：證明當(dāng)n取時(shí)，命題成立；假設(shè)時(shí)命題成立，證明當(dāng) 時(shí)命題也成立.只要完成這兩個(gè)步驟， 就可以斷定命題對(duì)從no開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫 做數(shù)學(xué)歸納法注：、兩步各司其職，缺一不可，特別指出的是，第二步不是判斷命題的真?zhèn)?，而是證 明命題是否具有傳遞性，如果沒(méi)有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題預(yù)習(xí)自測(cè):1.若命題P(n)對(duì)n k成立，則它對(duì)2時(shí)也成立,并且已知命題 P(2)成立,則下列結(jié)論正確的是()A. P(n)對(duì)每一個(gè)自然數(shù)n都成立B.P(n)對(duì)每一個(gè)正偶數(shù)n都成立C. P(n)對(duì)每一個(gè)正奇數(shù)n都成立D.P(n)對(duì)所有大于1的自然數(shù)n都成立2.對(duì)于不等式 n2 n n

17、1 (nN*),某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò)程如下：當(dāng)n 1時(shí), 12111,顯然命題是正確的;假設(shè)n k(k N*)時(shí)，有k2 k k 1,那么當(dāng)n k 1 時(shí)，,(k 1)2 (k 1).k2 3k 2x(k2 3k 2) (k 2) (k 1) 1, a n k 1 時(shí)命題是正確的，由、可知對(duì)于n N * ,命題都是正確的以上證法()A.正確B.當(dāng)n 1時(shí),證明過(guò)程不正確C.歸納假設(shè)的過(guò)程不正確D.從n k到n k 1的推理不正確3.用數(shù)學(xué)歸納法證明1 aa2(nN,a 1)中，證明n 1時(shí),左邊式子應(yīng)為.預(yù)習(xí)疑惑：.探究案探究點(diǎn)1:證明等式問(wèn)題1例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：12 22n2丄n(

18、n 1)(2n 1).6變式練習(xí)：a 1已知數(shù)列an,Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn 1,且an 0 (nN ).寫(xiě)2 an出數(shù)列an的前三項(xiàng)；猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明探究點(diǎn)2 :證明不等式問(wèn)題1 1例2.求證:當(dāng)n N ,n 2時(shí),1-2232變式練習(xí):證明不等式： ，n ii i、2.32 ： n (nN*).探究點(diǎn)3:證明整除問(wèn)題例3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：x2ny2n (n N*)能被x y整除.變式練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明：x2n 1 y2n 1(n N*)能被x y整除.探究點(diǎn)4:證明幾何問(wèn)題1例4.求證：n棱柱中過(guò)側(cè)棱的對(duì)角面的個(gè)數(shù)f(n) n(n 3) (n 4).變式練習(xí):平面內(nèi)有n(n 2)條直線(xiàn),其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn).證明直線(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(n) n(n 1).2課后檢測(cè):1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1 cos2cos3cos(2 n 1)1. 2n 1sinsin22n 1 “ cos