時(shí)間序列-1-2

1、1一、時(shí)序分析的應(yīng)用一、時(shí)序分析的應(yīng)用二、時(shí)間序列的概率特性二、時(shí)間序列的概率特性三、平穩(wěn)時(shí)間序列三、平穩(wěn)時(shí)間序列四、時(shí)間序列的運(yùn)算四、時(shí)間序列的運(yùn)算2 一般來說一般來說, 采用參數(shù)模型（特別是采用參數(shù)模型（特別是ARMA模型），對(duì)所觀測(cè)到的有序的隨模型），對(duì)所觀測(cè)到的有序的隨機(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析的一種數(shù)據(jù)處理機(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析的一種數(shù)據(jù)處理的統(tǒng)計(jì)方法，稱為的統(tǒng)計(jì)方法，稱為時(shí)間序列分析時(shí)間序列分析，亦稱，亦稱時(shí)間序列方法時(shí)間序列方法，或時(shí)序分析，或時(shí)序方，或時(shí)序分析，或時(shí)序方法。法。時(shí)間序列方法時(shí)間序列方法3常見的時(shí)間序列模型有常見的時(shí)間序列模型有 研究、分析和處理時(shí)間序列，就是為了從研究、

2、分析和處理時(shí)間序列，就是為了從中提取有關(guān)的信息，揭示時(shí)間序列本身的結(jié)構(gòu)中提取有關(guān)的信息，揭示時(shí)間序列本身的結(jié)構(gòu)與規(guī)律，從而認(rèn)識(shí)產(chǎn)生時(shí)間序列系統(tǒng)的固有特與規(guī)律，從而認(rèn)識(shí)產(chǎn)生時(shí)間序列系統(tǒng)的固有特性，掌握系統(tǒng)與外界的聯(lián)系規(guī)律，從系統(tǒng)的過性，掌握系統(tǒng)與外界的聯(lián)系規(guī)律，從系統(tǒng)的過去值去預(yù)測(cè)其將來值。去值去預(yù)測(cè)其將來值。4、非平穩(wěn)、非平穩(wěn)ARIMA模型。模型。3、季節(jié)性模型；、季節(jié)性模型；2、滑動(dòng)平均（、滑動(dòng)平均（Moving Average）模型；）模型；1、自回歸（、自回歸（Autoregressive）模型；）模型；4 1. 預(yù)報(bào)分析預(yù)報(bào)分析一、時(shí)序分析的應(yīng)用一、時(shí)序分析的應(yīng)用 時(shí)間序列分析的目的可

3、以概括為四個(gè)方面時(shí)間序列分析的目的可以概括為四個(gè)方面:描述描述,推斷推斷,預(yù)報(bào)與控制預(yù)報(bào)與控制.故究其應(yīng)用方面可分為故究其應(yīng)用方面可分為以下四部分內(nèi)容以下四部分內(nèi)容: 根據(jù)對(duì)某個(gè)變化量的一般觀測(cè)數(shù)據(jù)，建立根據(jù)對(duì)某個(gè)變化量的一般觀測(cè)數(shù)據(jù)，建立統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)模型，從而預(yù)報(bào)該量在未來時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)模型，從而預(yù)報(bào)該量在未來時(shí)刻的取值問題，此即為時(shí)間序列的預(yù)報(bào)問題。取值問題，此即為時(shí)間序列的預(yù)報(bào)問題。5例如例如,根據(jù)歷史數(shù)據(jù)與動(dòng)態(tài)模型作出預(yù)報(bào)根據(jù)歷史數(shù)據(jù)與動(dòng)態(tài)模型作出預(yù)報(bào):預(yù)報(bào)明日、下周某支股票股價(jià)預(yù)報(bào)明日、下周某支股票股價(jià);預(yù)報(bào)上海、深圳股價(jià)；預(yù)報(bào)上海、深圳股價(jià)； 預(yù)報(bào)下年水產(chǎn)品總產(chǎn)量預(yù)報(bào)下年水產(chǎn)品總產(chǎn)量;

4、預(yù)報(bào)下一時(shí)段化工生產(chǎn)的濃度讀數(shù)預(yù)報(bào)下一時(shí)段化工生產(chǎn)的濃度讀數(shù);預(yù)報(bào)下日的日平均氣溫預(yù)報(bào)下日的日平均氣溫;預(yù)報(bào)下月臭氧每小時(shí)讀數(shù)月平均值。預(yù)報(bào)下月臭氧每小時(shí)讀數(shù)月平均值。6 2. 控制分析控制分析根據(jù)若干量的觀測(cè)結(jié)果的分析，建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)根據(jù)若干量的觀測(cè)結(jié)果的分析，建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)控制模型，尋求對(duì)某些量進(jìn)行優(yōu)化控制，屬計(jì)控制模型，尋求對(duì)某些量進(jìn)行優(yōu)化控制，屬于控制分析內(nèi)容，或最佳控制設(shè)計(jì)內(nèi)容。于控制分析內(nèi)容，或最佳控制設(shè)計(jì)內(nèi)容。 例如，由記錄的過去若干小時(shí)用電負(fù)荷量數(shù)據(jù)，例如，由記錄的過去若干小時(shí)用電負(fù)荷量數(shù)據(jù)，可以分析得出供電系統(tǒng)和發(fā)電系統(tǒng)的某種最優(yōu)可以分析得出供電系統(tǒng)和發(fā)電系統(tǒng)的某種最優(yōu)控制方法

5、?？刂品椒?。 7又如下圖給出一個(gè)與動(dòng)態(tài)系統(tǒng)有關(guān)的輸入和輸又如下圖給出一個(gè)與動(dòng)態(tài)系統(tǒng)有關(guān)的輸入和輸出時(shí)間序列：出時(shí)間序列： 可以尋求某種控制方法，使輸出函數(shù)可以尋求某種控制方法，使輸出函數(shù)近似為正弦函數(shù)。近似為正弦函數(shù)。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)輸入輸入(空氣供應(yīng)速度空氣供應(yīng)速度)輸出(CO2濃度)83. 診斷分析診斷分析 根據(jù)兩個(gè)時(shí)間序列的記錄值，建立統(tǒng)計(jì)模根據(jù)兩個(gè)時(shí)間序列的記錄值，建立統(tǒng)計(jì)模型，分析判斷它們是否具有相同屬性；或根據(jù)型，分析判斷它們是否具有相同屬性；或根據(jù)一個(gè)時(shí)間序列的記錄值，分析判斷它是否具有一個(gè)時(shí)間序列的記錄值，分析判斷它是否具有某些指定的屬性，謂之診斷分析，亦稱為識(shí)別某些指定的屬性

6、，謂之診斷分析，亦稱為識(shí)別診斷。診斷。 例如：分析地下水位的變化量，為了預(yù)報(bào)例如：分析地下水位的變化量，為了預(yù)報(bào)地震的發(fā)生情況，則需從地下水位時(shí)間序列數(shù)地震的發(fā)生情況，則需從地下水位時(shí)間序列數(shù)據(jù)中分析，是否存在異?，F(xiàn)象，是否處于正常據(jù)中分析，是否存在異?，F(xiàn)象，是否處于正常狀態(tài)。狀態(tài)。 9又如又如: 了解人的兩次脈博之間時(shí)間間隔的了解人的兩次脈博之間時(shí)間間隔的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，是為了診斷該人員心跳是時(shí)間序列數(shù)據(jù)，是為了診斷該人員心跳是否正?；虍惓?，對(duì)身體有無損害。否正?；虍惓?，對(duì)身體有無損害。104. 頻譜分析頻譜分析 對(duì)時(shí)間序列的周期諧波分量，或頻率特性對(duì)時(shí)間序列的周期諧波分量，或頻率特性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)

7、分析，稱之頻譜分析。進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，稱之頻譜分析。例如，某機(jī)械的振動(dòng)中會(huì)有周期分量，就需要例如，某機(jī)械的振動(dòng)中會(huì)有周期分量，就需要對(duì)其進(jìn)行頻譜分析。對(duì)其進(jìn)行頻譜分析。在實(shí)際應(yīng)用中，涉及一個(gè)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)分析，在實(shí)際應(yīng)用中，涉及一個(gè)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)分析，稱之一元時(shí)間序列分析，涉及各個(gè)時(shí)間序列的稱之一元時(shí)間序列分析，涉及各個(gè)時(shí)間序列的聯(lián)合統(tǒng)計(jì)分析，則謂之多元時(shí)間序列分析。聯(lián)合統(tǒng)計(jì)分析，則謂之多元時(shí)間序列分析。11二、時(shí)間序列的概率特性二、時(shí)間序列的概率特性 時(shí)間序列是一列依時(shí)間順序記錄下的隨機(jī)時(shí)間序列是一列依時(shí)間順序記錄下的隨機(jī)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)，x1,x2,，實(shí)際上可視為一列隨機(jī)變量，實(shí)際上可視為一列隨機(jī)變

8、量X(t1),X(t2),的一個(gè)觀測(cè)值，即的一個(gè)觀測(cè)值，即X(t),tT為一隨機(jī)過程，為一隨機(jī)過程，T為時(shí)間集，若為時(shí)間集，若t取值為取值為T=0,1, 2，則則X(t),t= 0,1, 2， 即為隨機(jī)時(shí)間序列。即為隨機(jī)時(shí)間序列。 對(duì)一個(gè)連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過程對(duì)一個(gè)連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過程,若進(jìn)行等間若進(jìn)行等間隔的觀察采樣隔的觀察采樣,這樣獲得的數(shù)據(jù)序列，即為一這樣獲得的數(shù)據(jù)序列，即為一個(gè)隨機(jī)序列。個(gè)隨機(jī)序列。12因此，時(shí)間序列分析的任務(wù)實(shí)際上是對(duì)上述一因此，時(shí)間序列分析的任務(wù)實(shí)際上是對(duì)上述一部分特殊隨機(jī)序列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)部分特殊隨機(jī)序列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)序列的統(tǒng)計(jì)分析是時(shí)間序列分析的主

9、要內(nèi)容。序列的統(tǒng)計(jì)分析是時(shí)間序列分析的主要內(nèi)容。13 1. 時(shí)間序列的有限維分布族時(shí)間序列的有限維分布族 設(shè)一個(gè)時(shí)間序列為設(shè)一個(gè)時(shí)間序列為X(t),tT ， T=0,1, 2，,由隨機(jī)過程理論知識(shí)，由隨機(jī)過程理論知識(shí)，一個(gè)隨機(jī)過程的概率特性由其有限維分布函一個(gè)隨機(jī)過程的概率特性由其有限維分布函數(shù)族唯一決定：數(shù)族唯一決定：),(2121nntttxxxFF)(,)(,)(221nnXtXxtXxtXP,2121TtttRxxxnn142. 時(shí)間序列的數(shù)字特征時(shí)間序列的數(shù)字特征（1）均值函數(shù)）均值函數(shù)設(shè)設(shè)X(t),tT=0,1, 2，為一個(gè)時(shí)為一個(gè)時(shí)間序列間序列 ),()()(tXtxxdFtEX

10、tm（2）均方值函數(shù)）均方值函數(shù) 222),()()(txdFxtXEtX15（3）自相關(guān)函數(shù)）自相關(guān)函數(shù) )()(),(tXsXEtsRX（4）自協(xié)方差函數(shù)）自協(xié)方差函數(shù))()()(),(tsXtXsXEtsC（5）方差函數(shù)）方差函數(shù)2)()()(tXtXEtXVartD22)(),()(tXXXtttCtD易見16 在時(shí)間序列中在時(shí)間序列中,其數(shù)字特征一如隨機(jī)過程其數(shù)字特征一如隨機(jī)過程的數(shù)字特征的數(shù)字特征,亦可分別按隨機(jī)變量為離散型與亦可分別按隨機(jī)變量為離散型與連續(xù)型分別計(jì)算。連續(xù)型分別計(jì)算。 在時(shí)間序列分析理論中在時(shí)間序列分析理論中,平穩(wěn)線性序列是平穩(wěn)線性序列是研究的主體內(nèi)容研究的主體內(nèi)

11、容,因此下面介紹平穩(wěn)線性序列因此下面介紹平穩(wěn)線性序列的概念。的概念。17三、平穩(wěn)時(shí)間序列三、平穩(wěn)時(shí)間序列 在隨機(jī)過程論中，定義了寬平穩(wěn)與嚴(yán)穩(wěn)兩種在隨機(jī)過程論中，定義了寬平穩(wěn)與嚴(yán)穩(wěn)兩種平穩(wěn)過程。對(duì)于隨機(jī)序列，相應(yīng)的有兩種平穩(wěn)平穩(wěn)過程。對(duì)于隨機(jī)序列，相應(yīng)的有兩種平穩(wěn)的時(shí)間序列：的時(shí)間序列： 1. 嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列定義定義1.1 設(shè)設(shè)X(t),t=0,1, 2，為時(shí)間為時(shí)間序列，若對(duì)于任意正整數(shù)序列，若對(duì)于任意正整數(shù)n和和n個(gè)整數(shù)個(gè)整數(shù)t1,t2,tn, s，隨機(jī)變量，隨機(jī)變量)( , ),( ),(21stXstXstXn18),(2121nntttxxxF),(2121stststx

12、xxFnn的聯(lián)合分布函數(shù)與的聯(lián)合分布函數(shù)與s無關(guān)，即無關(guān)，即 易見，嚴(yán)平穩(wěn)序列的分布特性隨時(shí)間的平移而易見，嚴(yán)平穩(wěn)序列的分布特性隨時(shí)間的平移而保持不變。保持不變。 例例2.1 由定義可知由定義可知,獨(dú)立同分布時(shí)間序列獨(dú)立同分布時(shí)間序列是一種最簡(jiǎn)單的嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列。是一種最簡(jiǎn)單的嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列。19 嚴(yán)平穩(wěn)序列具有以下性質(zhì)嚴(yán)平穩(wěn)序列具有以下性質(zhì): i) 一維分布函數(shù)與時(shí)間一維分布函數(shù)與時(shí)間t無關(guān)，即無關(guān)，即)(),(xFtxFXX因此嚴(yán)平穩(wěn)序列的均值函數(shù)為常數(shù)。因此嚴(yán)平穩(wěn)序列的均值函數(shù)為常數(shù)。 ii) 二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，只與時(shí)二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，只與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，即對(duì)任意間

13、起點(diǎn)無關(guān)，即對(duì)任意 sttxx,2121),(),(12212121ttxxFttxxFXX20因此其自相關(guān)函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)均與時(shí)間起因此其自相關(guān)函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)均與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，而只與時(shí)間間隔有關(guān)，即點(diǎn)無關(guān)，而只與時(shí)間間隔有關(guān)，即 )(),(1221ttRttRXX)(),(1221ttCttCXX 2. 寬平穩(wěn)時(shí)間序列寬平穩(wěn)時(shí)間序列定義定義2.2 設(shè)設(shè) X(t), t= 0,1, 2，為時(shí)為時(shí)間序列，若其具有性質(zhì)間序列，若其具有性質(zhì))()(122tEXtX常數(shù))(2tXEt)(),(31221ttRttRXX則稱此則稱此X(t) 為寬平穩(wěn)時(shí)間為寬平穩(wěn)時(shí)間序列。序列。21 例例2.2 白

14、噪聲序列是一種寬平穩(wěn)時(shí)間序列。白噪聲序列是一種寬平穩(wěn)時(shí)間序列。因?yàn)榘自肼曅蛄幸驗(yàn)榘自肼曅蛄?X(t),t=0,1, 2，具具有性質(zhì)有性質(zhì)0)(1tXE)()()(22stsXtXEstst 0 2 若白噪聲序列為相互獨(dú)立同正態(tài)分布序若白噪聲序列為相互獨(dú)立同正態(tài)分布序列時(shí)，稱之為正態(tài)白噪聲序列，這個(gè)序列列時(shí)，稱之為正態(tài)白噪聲序列，這個(gè)序列在時(shí)序分析中起著重要作用。在時(shí)序分析中起著重要作用。22 3. 平穩(wěn)線性序列平穩(wěn)線性序列定義定義2.3 設(shè)設(shè)j為白噪聲序列，序列為白噪聲序列，序列 jjtjtaX稱為稱為j的無窮滑動(dòng)平均序列的無窮滑動(dòng)平均序列,又稱為又稱為平穩(wěn)線平穩(wěn)線性序列性序列。 jja2其其

15、中中式中的無窮求和是在均方意義下收斂的，即式中的無窮求和是在均方意義下收斂的，即230lim2jjtjnnjjtjnaaE平穩(wěn)線性序列有下列性質(zhì)：平穩(wěn)線性序列有下列性質(zhì)： 01tEX）0) (lim)(lim2kttkXkXXEkR）為簡(jiǎn)單起見為簡(jiǎn)單起見,以后我們用以后我們用xt既表示時(shí)間序列既表示時(shí)間序列,又表示其相應(yīng)的樣本函數(shù)又表示其相應(yīng)的樣本函數(shù).24四、時(shí)間序列的運(yùn)算四、時(shí)間序列的運(yùn)算 1. 時(shí)間序列的線性運(yùn)算時(shí)間序列的線性運(yùn)算設(shè)設(shè)xt與與yt為兩個(gè)時(shí)間序列，為兩個(gè)時(shí)間序列，a、b為任意常數(shù)，為任意常數(shù)，則則 2, 1, , 0 tbyaxzttt稱為時(shí)間序列稱為時(shí)間序列xt與與yt的

16、線性運(yùn)算序列。的線性運(yùn)算序列。易見，易見， 當(dāng)當(dāng)xt與與yt的均值函數(shù)為的均值函數(shù)為mx (t)與與my (t)時(shí)，時(shí)，zt的均值函數(shù)為的均值函數(shù)為 )()()(tbmtamtmyxz0)(0)()(tmtmtmzyx有時(shí)，特別，當(dāng)252. 時(shí)間序列的延遲運(yùn)算時(shí)間序列的延遲運(yùn)算設(shè)設(shè)xt為一時(shí)間序列，為一時(shí)間序列，k為一正整數(shù)，其為一正整數(shù)，其k步步延遲延遲運(yùn)算序列運(yùn)算序列即為即為, 2, 1, 0txyktt 1）若）若xt為嚴(yán)平穩(wěn)序列，則為嚴(yán)平穩(wěn)序列，則yt亦為嚴(yán)平穩(wěn)的序列；亦為嚴(yán)平穩(wěn)的序列；延遲運(yùn)算序列有如下性質(zhì)延遲運(yùn)算序列有如下性質(zhì) 2）若）若xt為寬平穩(wěn)序列，則為寬平穩(wěn)序列，則yt亦為

17、寬平穩(wěn)的序列；亦為寬平穩(wěn)的序列； 3）若）若xt為正態(tài)序列，則為正態(tài)序列，則yt亦為正態(tài)序列。亦為正態(tài)序列。問題問題: 若若xt為白噪聲序列，是否為白噪聲序列，是否yt也為白噪聲序列也為白噪聲序列?26 3. 時(shí)間序列的線性與延遲的聯(lián)合運(yùn)算時(shí)間序列的線性與延遲的聯(lián)合運(yùn)算 設(shè)設(shè)xt為一時(shí)間序列，為為一時(shí)間序列，為xt-i 其其i步延遲序列，則步延遲序列，則 ktktttxaxaxay110 2, 1, , 0t 2, 1, , 0 ，其中i為常數(shù)kaaaak , , , , ,210為為xt的延遲與線性聯(lián)合運(yùn)算，其中的延遲與線性聯(lián)合運(yùn)算，其中yt稱為對(duì)序稱為對(duì)序列列xt的滑動(dòng)（加權(quán)）平均序列。的滑動(dòng)（加權(quán)）平均序列。27特別地，特別地，時(shí)取kaaaak1 , 0210, 2, 1, 0,21tkxxxyktttt為為xt的滑動(dòng)平均序列。的滑動(dòng)平均序列?；瑒?dòng)平均滑動(dòng)平均是將動(dòng)態(tài)數(shù)列進(jìn)行修勻的一個(gè)重要是將動(dòng)態(tài)數(shù)列進(jìn)行修勻的一個(gè)重要方法，它從第一項(xiàng)開始，逐項(xiàng)遞增，分別計(jì)方法，它從第一項(xiàng)開始，逐項(xiàng)遞增，分別計(jì)算序時(shí)平均數(shù)，形成一個(gè)新的平均數(shù)動(dòng)態(tài)序算序時(shí)平均數(shù)，形成一個(gè)新的平均數(shù)動(dòng)態(tài)序列。列