青島版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)專題突破講練剖析等腰三角形性質(zhì)與判定及多解的應(yīng)用

1、年 級(jí)八年級(jí)學(xué) 科數(shù)學(xué)版 本通用版課程標(biāo)題剖析等腰三角形性質(zhì)與判定及多解的應(yīng)用編稿老師董志臣一校黃楠二校林卉 審核隋冬梅一、等腰三角形的性質(zhì)1. 性質(zhì)：等邊對(duì)等角等腰三角形的兩個(gè)底角相等注意：是兩底角相等而不是兩個(gè)角相等。三線合一等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。注意：說(shuō)清三條線的位置，不是任意的三線都重合。2. 拓展推論：（1）等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半，如圖：A=21；（2）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，只有一條對(duì)稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸，如圖：AD是三角形ABC的對(duì)稱軸。二、等腰三角形的判定1. 兩邊相等的三角形；2. 如果一個(gè)三角形有

2、兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”）。注意：“等角對(duì)等邊”必須在同一個(gè)三角形中使用。等腰三角形的性質(zhì)與判定有區(qū)別：性質(zhì)是：等邊 等角；判定是：等角 等邊。三、關(guān)于等腰三角形的多解問(wèn)題角的多解等腰三角形中至少有兩個(gè)角是相等的，已知一角求另兩個(gè)角時(shí)，多解。如：等腰三角形一個(gè)角為30度，求另兩個(gè)角的度數(shù)。邊的多解已知邊求周長(zhǎng)的問(wèn)題，或求面積的問(wèn)題時(shí)，多解。如：等腰三角形兩條邊分別為3和5，求周長(zhǎng)。例題1 在等腰三角形中，馬彪同學(xué)做了如下研究：已知一個(gè)角是60°，則另兩個(gè)角是唯一確定的（60°，60°），已知一個(gè)角是90°，則另兩個(gè)角也

3、是唯一確定的（45°，45°），已知一個(gè)角是120°，則另兩個(gè)角也是唯一確定的（30°，30°）。由此馬彪同學(xué)得出結(jié)論：在等腰三角形中，已知一個(gè)角的度數(shù)，則另兩個(gè)角的度數(shù)也是唯一確定的。馬彪同學(xué)的結(jié)論是_的。（填“正確”或“錯(cuò)誤”）解析：分別把已知角看做等腰三角形的頂角和底角，分兩種情況考慮，利用三角形內(nèi)角和是180度計(jì)算即可。如已知一個(gè)角是70°，當(dāng)70°為頂角時(shí)，另外兩個(gè)角是底角，它們的度數(shù)是相等的，為（180°70°）÷2=55°，當(dāng)70°為底角時(shí)，另外一個(gè)底角也是70

4、°，頂角是180°140°=40°。答案：錯(cuò)誤點(diǎn)撥：主要考查了等腰三角形的性質(zhì)。要注意分兩種情況考慮，不要漏掉任何一種情況。例題2 如圖，已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，OA=OB=OC，ABC=ADC=70°，則DAO+DCO的大小是（ ）A. 70° B. 110° C. 140° D. 150°解析：由已知及四邊形內(nèi)角和知DAB+DCB=220°，由等腰三角形的性質(zhì)知OAB+OCB=70°，所以即可求得DAO+DCO的度數(shù)。根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可得：DAB+DCB=220

5、6;，OA=OB=OC，ABC=ADC=70°，OAB=OBA，OCB=OBC，OAB+OCB=70°，DAO+DCO=220°70°=150°。故選D。答案：D點(diǎn)撥：利用四邊形內(nèi)角和的定理及等腰三角形的性質(zhì)求解，解題時(shí)要將二者有機(jī)地結(jié)合在一起。1. 多點(diǎn)共存用幾何作圖的方法尋找滿足條件的多個(gè)點(diǎn)是基本找點(diǎn)方法，可以保證不重不漏。但要注意是否符合題目要求，注意理解題目中所要求的點(diǎn)，進(jìn)而有所取舍。拓展 如圖，在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，已知A（4，3），P是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，若以O(shè)，A，P三點(diǎn)組成的三角形為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P共有 個(gè)，寫(xiě)出其中

6、一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是 。解析：如圖所示，滿足條件的點(diǎn)P有8個(gè)，目前我們可求的分別為（5，0），（8，0），（0，5），（0，6），（5，0），（0，5），（0，），（，0）。答案：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，畫(huà)圖可知，點(diǎn)P有8個(gè)，可求的分別為（5，0），（8，0），（0，5），（0，6），（5，0），（0，5），（0，），（，0）。故答案為：8；（5，0）（答案不唯一，寫(xiě)出8個(gè)中的一個(gè)即可）。2. 運(yùn)動(dòng)中形成等腰三角形在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)中尋找滿足條件的等腰三角形，應(yīng)充分理解運(yùn)動(dòng)變化對(duì)于圖形形狀的影響，同時(shí)對(duì)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)相關(guān)線段、圖形大小的變化情況要清楚，這些對(duì)于今后學(xué)習(xí)函數(shù)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題非常有幫助。拓展 如圖，AO

7、B=60°，C是BO延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OC=10cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CB以2cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OA以1cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)t= 時(shí)，POQ是等腰三角形。解析：根據(jù)等腰三角形的判定，分兩種情況討論：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長(zhǎng)線上時(shí)。分別列式計(jì)算即可求。（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，設(shè)t時(shí)后POQ是等腰三角形，有OP=OCCP=OQ，即102x=x，解得，x=s；（2）當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)經(jīng)過(guò)CO時(shí)的時(shí)間已用了5s，有OQ=OP，即2（x5）=x，解得，x=10s，故填s或10s。答

8、案：s或10s（答題時(shí)間：45分鐘）一、選擇題1. 如圖所示，ABC中，ABC=50°，ACB=80°，延長(zhǎng)CB至D，使DB=BA，延長(zhǎng)BC至E使CE=CA。連接AD，AE，則DAE=（ ）A. 100°B. 105°C. 115°D. 125°2. 等腰三角形ABC的周長(zhǎng)為18cm，BC=8cm，若ABCABC，則ABC中一定有一條邊等于（ ）A. 7cm B. 2cm或7cmC. 5cm D. 2cm或5cm*3. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角為25°，則該三角形的一個(gè)底角為（ ）A. 32.5°B.

9、57.5°C. 65°或57.5°D. 32.5°或57.5°*4. 如圖，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E在BC上，連接AD、AE，如果只添加一個(gè)條件使DAB=EAC，則添加的條件不能為（ ）A. BD=CE B. AD=AE C. DA=DE D. BE=CD*5. 如圖，在ABC中，D、E兩點(diǎn)分別在AC、BC上，則AB=AC，CD=DE。若A=40°，ABD：DBC=3：4，則BDE=（ ）A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°*6. 如圖，在ABC中，BAC=120°

10、，B=40°，若將ABC分割成兩個(gè)等腰三角形，則這兩個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)分別是（ ）A. 100°、140°或100°、20°B. 100°、140°C. 100°、20°D. 140°、20°二、填空題*7. 如圖，做如下操作：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分BAC，交BC于點(diǎn)D。將ABD做關(guān)于直線AD的軸對(duì)稱變換，所得的像與ACD重合。對(duì)于下列結(jié)論：在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊；在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合。由上述操作

11、可得出的正確結(jié)論是 （將正確結(jié)論的序號(hào)都填上）。*8. 如圖鋼架中，焊上等長(zhǎng)的13根鋼條來(lái)加固鋼架，若AP1=P1P2=P2P3=P13P14=P14A，則A的度數(shù)是 。*9. 如圖，已知BAD=DAC=9°，ADAE，且AB+AC=BE。則B= 。三、解答題*10. 已知：如圖，在ABC中，AB=AC，D為BC上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DPBC，分別交BA，CA或它們的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，Q。求證：DP+DQ是定值。*11. 如圖，在ABC中，AB=AC=2，B=40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（D不與B、C重合），連接AD，作ADE=40°，DE交線段AC于E。（1）當(dāng)BDA

12、=115°時(shí)，BAD= °；點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，BDA逐漸變 （填“大”或“小”）；（2）當(dāng)DC等于多少時(shí)，ABDDCE，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，ADE的形狀也在改變，判斷當(dāng)BDA等于多少度時(shí)，ADE是等腰三角形。*12. 如圖（1），在ABC中，AB=AC，A=36°。（1）直接寫(xiě)出ABC的度數(shù)；（2）如圖（2），BD是ABC中ABC的平分線。找出圖中所有等腰三角形（等腰三角形ABC除外），并選其中一個(gè)寫(xiě)出推理過(guò)程；在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使CDP是以CD為一腰的等腰三角形？如果存在，請(qǐng)?jiān)趫D（3）中畫(huà)出滿足條件的所有的點(diǎn)P，并直接寫(xiě)出相應(yīng)的CPD

13、的度數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。*13. 已知：在銳角ABC中，AB=AC。D為底邊BC上一點(diǎn)，E為線段AD上一點(diǎn)，且BED=BAC=2DEC，連接CE。（1）求證：ABE=DAC；（2）若BAC=60°，試判斷BD與CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若BAC=，那么（2）中的結(jié)論是否還成立。若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。1. C 解析：DB=BA，ABC=50°，D=DAB=25°，DB=BA，ACB=80°，E=EAC=40°，BAC=180°50°80°=50°，DAE=DAB

14、+EAC+BAC=25° +40°+50°=115°。故選C。2. D 解析：（1）在等腰ABC中，若BC=8cm為底邊，根據(jù)三角形周長(zhǎng)計(jì)算公式可得腰長(zhǎng)=5cm；（2）在等腰ABC中，若BC=8cm為腰，根據(jù)三角形周長(zhǎng)計(jì)算公式可得底邊長(zhǎng)182×8=2cm，ABCABC，ABC與ABC的邊長(zhǎng)及腰長(zhǎng)相等，即ABC中一定有一條邊等于2cm或5cm。故選D。3. D 解析：當(dāng)高在三角形內(nèi)部時(shí)底角是57.5°，當(dāng)高在三角形外部時(shí)底角是32.5°，故選D。4. C 解析：A. 添加BD=CE，可以利用“邊角邊”證明ABD和ACE全等，再

15、根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到DAB=EAC，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B. 添加AD=AE，根據(jù)等邊對(duì)等角可得ADE=AED，然后利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出DAB=EAC，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C. 添加DA=DE無(wú)法求出DAB=EAC，故本選項(xiàng)正確；D. 添加BE=CD可以利用“邊角邊”證明ABE和ACD全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到DAB=EAC，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤。故選C。5. B 解析：AB=AC，CD=DE，C=DEC=ABC，ABDE，A=40°，C= DEC=ABC=70°，ABD：DBC=3：4，設(shè)ABD為3x，DBC為4x，3x+4x=70°

16、;，x=10°，ABDE，BDE=ABD=30°。故選B。6. A 解析：分兩種情況：如圖1，把120°的角分為100°和20°，則ABD與ACD都是等腰三角形，其頂角的度數(shù)分別是100°，140°；如圖2，把120°的角分為40°和80°，則ABD與ACD都是等腰三角形，其頂角的度數(shù)分別是100°，20°。故選A。7. 解析：操作過(guò)程中沒(méi)有體現(xiàn)角相等，邊就相等，故不符合；因?yàn)锳B=AC，操作之后得到B與C重合，即等邊對(duì)等角，故符合；根據(jù)所得的圖像與ACD重合，所以ADBC，

17、BD=CD，又AD平分BAC，所以符合。故操作可以得出的正確結(jié)論是。8. 12° 解析：設(shè)A=x，AP1=P1P2=P2P3=P13P14=P14A，A=AP2P1=AP13P14=x，P2P1P3=P13P14P12=2x，P3P2P4=P12P13P11=3x，P7P6P8=P8P9P7=7x，AP7P8=7x，AP8P7=7x，在AP7P8中，A+AP7P8+AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°，解得x=12°，即A=12°。9. 48° 解析：延長(zhǎng)BA到F，使AF=AC，連接EF，如圖所示：AB+AC=BE，AB+

18、AF=BF，即BF=BE，F(xiàn)=BEF=180°，BAD=DAC=9°，ADAE，即DAE=90°，F(xiàn)AE=180°（BAD+DAE）=180°（9°+90°）=81°，CAE=DAEDAC=90°9°=81°，F(xiàn)AE=CAE，在AFE和ACE中，AFAC，F(xiàn)AECAE，AEAE，AFEACE（SAS），F(xiàn)=ACE，又ACE為ABC的外角，ACE=B+BAC=B+18°，F(xiàn)=B+18°，B+18°=180°，則B=48°。10. 證明：如

19、圖，過(guò)點(diǎn)A作AMBC于點(diǎn)M，作ANDQ于點(diǎn)N，四邊形AMDN為矩形。AM=DN。DPBC，B+P=90°。C+DQC=90°。又C=B，DQC=PQA，AQM=P。AQP為等腰三角形。PN=QN。DP+DQ=DN+NP+DQ=DN+NQ+DQ=2AM，即DP+DQ是定值。11. 解：（1）BAD=180°ABDBDA=180°40°115°=25°；從圖中可以得知，點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，BDA逐漸變??；故答案為：25°；小。（2）當(dāng)ABDDCE時(shí)。DC=AB，AB=2，DC=2，當(dāng)DC等于2時(shí)，ABDDCE；（3）A

20、B=AC，B=C=40°，當(dāng)AD=AE時(shí)，ADE=AED=40°，AEDC，此時(shí)不符合；當(dāng)DA=DE時(shí)，即DAE=DEA=（180°40°）=70°，BAC=180°40°40°=100°，BAD=100°70°=30°；BDA=180°30°40°=110°；當(dāng)EA=ED時(shí)，ADE=DAE=40°，BAD=100°40°=60°，BDA=180°60°40°=80°；當(dāng)ADB=110°或80°時(shí)，ADE是等腰三角形。 12. 解：（1）AB=AC，A=36°，ABC=72°；（2）如圖（2），ADB、BCD是等腰三角形。說(shuō)明ADB是等腰三角形，理由如下：由（1）得ABC=72°，又BD是ABC的平分線，ABD=ABC=36°，又A=36°，A=ABD，AD=BD，即ADB是等腰三角形。若說(shuō)明BCD是等腰三角形，理由為：A=36&