利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

1、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型題型一構(gòu)造函數(shù)法把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值的問題，從而證明不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵例1.(人教版選修2-2第32頁B組1題)利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式.(1) sinjc<x7xe(0,乃)；(2) x-x2>0,xc(0J):(3) ex>l+x,x±0;(4)Inx<x<ex>0.這四道題比較簡單，證明過程略.概括而言，這四道題證明的過程分三個步驟：一是構(gòu)造函數(shù)；二是對函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；三是求此函數(shù)的最值，得出結(jié)論例工當(dāng)kA

2、1時，求證，1:Mtn(x+l)Wx.工+1【證明工令/(*)工+1)”,1jc貝IJ，'Cx)=-1=一一.JT+1JT+1一當(dāng)-IvxvO時，/'CO>O,當(dāng)KAO時，/<X)VO,八X)在(-1,2)上的最大值為=/(。)=0二/O)MZ(o)=。，即Ii(x+1)XMO,ln(x+I)£xC右面得證).再證左面，令號J)=ln(_r+1)+11,工+1貝坦3=',白、工=/士0-X+1(X+1)*當(dāng),w(一k。)時，g'(x)<0，當(dāng)工e(05+qo)時，sx)>。,二函數(shù)g(4)在(1,48)上的最小值gCOg=g(G

3、)=0，1二W(Xg(0)=。H即111(JCd-1)H1>0,x+1/.hi(X+1)>1(左面得證).X+1綜匕r當(dāng)I工>一1時.毛fl-<in(S：x.x+1【啟示】證明分三個步驟：一是構(gòu)造函數(shù)；二是對函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；三是求此函數(shù)的最值，得出結(jié)論。題型二通過對函數(shù)的變形，利用分析法，證明不等式例3.A(%)=Inx+方式有兩個不同的零點Xi，%。(1)求b的取值范圍；(2)求證：號>1.e，(1)【解】h(x)=nxbx,其定義域為(0,+oo).令砥v)=0,得6=-史，Xt己p(x)=叱，貝(J/(X)="二，XX所以)=一叱在(0

4、,e)單調(diào)遞減，在3+8)單調(diào)遞增,X所以當(dāng)x=e時，0(幻=一.取得最小值一工.xe又0=0,所以當(dāng)xe(0,l)時，(px>0,而當(dāng)X£(l,+O0)時*,夕(幻<0,所以6的取值范圍是(-！,0).2)【證明】由題意得In王十bx=0,Lnx2十bx2=0>所以Inxxx.2+b(xi+x2)=0,lnx3Inxx+b(x?x,)=0,所以一如勺、2一lnx2lux.x+x2W一再不妨設(shè)x,<x7,要證XjX?>e2，只需證InX*2=E+&(In。一加巧)>2,W一千即證In/一EM>2(C.*2十*1設(shè)f=至。>）,令

5、尸Q）=Inx-=ln+±-2,再f+1f+1所以尸=二、=華槳>0，£q+i>w+iy所以函數(shù)F”）在（1,+8）上單調(diào)遞增，而F（D=0,所以FQ）>0,即1he>絲二D,Z4-1所以王%>/.【啟示】解答第一問用的是分離參數(shù)法，解答第二問用的是分析法、構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)的變形能力要求較高，大家應(yīng)記住下面的變形:lux1與x1+x2lnx2-InX七一看=>加/_111甚>2(殳*)七十工112("1),八=Ini>-Q>If+1題型三求最值解決任意、存在性變量問題解決此類問題，關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值

6、問題，常見的有下面四種形式:VX,VX23/()<g(X2)<>f(X1K以為).；Vxt93x25/(xL)<g(x2)<>fxx&g(w)3x；3x,VX2,fx)<g®)=/(Xl)min工g(2)nun；初,玉2，/(西)&(*2)0/(七篇4g(*2)3x只要分別求左右兩邊函數(shù)的最值就可以了.例4.已知函數(shù)/(X)=,公2一(2+l)x+2Inx(aeR).212(1)當(dāng)。=/時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間：(2)當(dāng)時，設(shè)名(4)=(工2一2幻",求證：對任2意Xw(0,2，均存在x26(0,2，使得/(%)

7、vg(2)成立.33(1)【解】增區(qū)間為(0,；),(2,+oo),減區(qū)間為(1,2).(2)【證明】若要命題成立，只需當(dāng)xe(0,2時，/(x)g<g)E由/(%)=(2)e”可知，當(dāng)xe(0,2時，g(x)在區(qū)間(0,a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(行,2上單調(diào)遞增，g(0)=g(2)=0,故g(x)1mx=0,所以只需證明/(x)皿<0即可對函數(shù)/(%)來說，/r(x)=ax-(2a+1)+-=.xx當(dāng)時，即0<1<2時，函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)2aa上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,2上單調(diào)遞減，a/a)E=/(1)=21na；2a2a當(dāng)aNl時，顯然f(x)小于0,滿足題意

8、；當(dāng)時，令()=一21!1-!-2,22a貝與學(xué)，2a2可知該函數(shù)在-<a<l時單調(diào)遞減，2滿足題意.故(a)v力(g)=21n2-3<O,綜上，原命題得證.題型四分拆成兩個函數(shù)研究要證明/W>g(x)，如果能證明>g(x)皿，便可證/(X)>g(x),大家可以看到此處不等號左右兩邊都是相同的工，而上一種題型中不等號兩邊分別為不，,由/(X)inn>g(X)n=>/(X)>g(X)，但由f)>g(x)推不出/(%>g(x)皿比如21+x,推不出(/)W之(X+l)gK,因為x+l沒有最大值I所以/(冷向n之g(x)皿比/W>

9、;雙工)更嚴(yán)格，例5.(2014新課標(biāo)I理)設(shè)函數(shù)/(工)=a/lnx+,x曲線y=/(x)在點(1,/(1)處的切線方程為y=e(x-1)+2,(1)求見6；(2)證明：/(x)>l.(1)【解】a=l,b=2.【注意】(2)如果按題型一的方法構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，會發(fā)現(xiàn)做不下去，只好半途而廢，所以我們在做題時需要及時調(diào)整思路，改變思考方向（2）【證明】7（工）>1等價于工比式>元"重一一，設(shè)g（x）=xln4j則£（另=1+Inx,當(dāng)兀三（。）時，gx）<0,e當(dāng)天£d,+oo）時,g"（jc）>0,e故g（勸在（0）單調(diào)遞減，

10、在d,y）單調(diào)遞增,ee從而g（x）在（。,沙8）的最小值為氟1）=ee2設(shè)人（%）=加7t則”（刈=e"（11）.e當(dāng)X£（O,1）時,hf（x）>0,當(dāng)#e（1,收）時,hr（x）<0,從而h（x）在（0,刈）上的最大值為秋1）=-Le因為g&）與九（燈極值點不相同，所以恒有g(shù)（x）>h（x）綜上，當(dāng)了>0時.8|>）依燈，即/（工）>1.【啟示】掌握下列八個函數(shù)的圖像和性質(zhì)，對我們解決不等式的證明問題很有幫助，這八個函數(shù)分別為Cl）y=,（2）y=xinxf,、e.、hi-x（3）y=，（4）y=,jrxC5）y=三,（6）

11、y=*exhix2*%Inx八、*一C7）y.（8）y=xhix要求會畫它們的圖像，以后見到這種類型的函數(shù)，就能想到它們的性質(zhì)題型五設(shè)而不求當(dāng)函數(shù)的極值點(最值點)不確定時，可以先設(shè)出來，只設(shè)不解，把極值點代入,求出最值的表達式而證明.例&(2015新課標(biāo)I卷文)設(shè)函數(shù)/(»=/一口歷葭(1)討論“力的導(dǎo)函數(shù)/'(X)的零點的個數(shù),2(2)證明：當(dāng)i0時，/(x)>2a+aln-.(1)【解】/(工)的定義域為(0*+8),/jc)=2e'1-(x>0),x當(dāng)時，八工)>0,故/'(刈沒有零點；當(dāng)a>0時，因為夕二一工單調(diào)遞增，

12、了=一單調(diào)遞增，x所以尸(工)在(0,+8)單調(diào)遞增.又，(。)>0,當(dāng)b滿足。<方<9且萬時，442e2h-<2e2-=2（/-2）<0,ba4所以/'S）VO.故當(dāng)a>0時，/'（x）存在唯一零點.（解此間的關(guān)鍵是利用放縮技巧，對兀范圍的限制）（2）【證明】由（1）知，可設(shè)/'（x）在（0,y）的唯一零點為工。，當(dāng)xw（0,*0）時，fx）<0,當(dāng)X6Oo,+OO）時,fx）>0,故/（X）在（0,x0）單調(diào)遞減，在（/，e）單調(diào)遞增，所以當(dāng)工=與時，/O）取得最小值，最小值為/（X。）.由于2e認(rèn)一£-=0

13、,得22%=_£_,X。2工0所以2x0=InaIn2jc0,2ax0=aIna-aIn2x0=a2aInalnxa=-aInalnx。，2a-c-2amx0=2ax0+aIn,anr所以/(人0)H2oa0+aln>2a+aln,2x0aa2故當(dāng)a>0時，/(x)>2a+aIn.a.在本例第【啟示】設(shè)而不求，整體代換是一種常用的方法，在解析幾何中體現(xiàn)很多(2)問中，只設(shè)出了零點而沒有求出零點，這是一種非常好的方法，同學(xué)們一定要認(rèn)真體會，靈活應(yīng)用題型六估值法極值點不確定，先把極值點設(shè)出來，再估計極值點的取值范圍(限制得越小越好)，從而證明不等式.例7.已知函數(shù)/(#

14、)=丁,g(x)=Inx+mCl)當(dāng)m=-1時,求函數(shù)F(x)=+g(x)在(0,笆)上的極值；(2)若小=2,求證：當(dāng)xw(0,+oo)時，f(x)>g(x)+.(參考數(shù)據(jù)：ln2=0.693,ln3=1.099)(1)【解】極小值為尸(l)=e-l,無極大值；(2)【證明】構(gòu)造函數(shù)力(兀)=/(x)g(%)=e"一lnjc2,"(x)=e*-工在(0,十8)上單調(diào)遞增，X'(4)=右一2<0,hf()n2)=2-l->0.2ln2(此處需要估計的范圍，根據(jù)零點存在定理，把工。的12范圍控制好，也可以限制為</<一)23，kx)在(0

15、,+8)上有唯一零點4。e(士In2),ex=；,EPx0=-Inx0,且當(dāng)X£(O/口)時，力(“)單調(diào)遞減，當(dāng)XW(Xu，4oo)時，h(x)單調(diào)遞增，故有力(x)N/z(x0)=e"-Inx0-2=+x0-2.X。構(gòu)造函數(shù)°«)=胃+1-2,0。)在(。,1)上單調(diào)遞減.112又因為/e(5，ln2)(或者為，/.0(%o)>00n2)=M2+2«0.13>In210即包工0)>2，/(*)>8(*)+5題型七利用圖象的特點，證明不等式例8.bi知的要t7（x）=A（X后X）.Cl）已知函數(shù)乎=g（#）對任意/滿足

16、g（*）=/（4口E明：當(dāng)工>2時,/（jt）Ax（x）二（2）如果當(dāng)k*工*且/（為）=yx7）*證明:'i+x?>4.工證明1（1）因為&（*）一/（4一/），所以8（工）=三產(chǎn).啟jc-13-jc令尸（工）=YXx）w（x），即戶O）=-rv-貝|JFg=當(dāng)XA2時，2xvO,2x1>3.從而二一后之<O,則由數(shù)尸尸（X）住十）是增函數(shù).所以/")AF'(2)=上一工=O,故當(dāng)”>2時，/5）>目（工）成立.因為/Q0在（一2）內(nèi)是增函數(shù)，在（2.+co）內(nèi)是減函數(shù)，巧#x7,且f（項）=/（x?）7所以不，鼻不可能在

17、同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).不妨設(shè)國v2V七由（1）可知/（三）>名（吃）*乂）=Z（4專），所以/（"）>/（4-f因為/（不）=（三）,所以/（項）A/（4x2）,因為“2>2,4%之<2,jq<2,/（x）在區(qū)間（一8t2）內(nèi)為增困數(shù)，故X1A4X?,艮西+12A4.【啟示】第C2）間的證明也是一種常規(guī)方法，因為由數(shù)在兩個單調(diào)區(qū)卜峨減的速度不一樣，導(dǎo)致出現(xiàn)了a十三>4如果是一次函數(shù)/（x）=（x2片+1,f（jvl）=/（x2）,貝丁可得至!j西+/=4，X+馬正好是對稱軸的2倍.此題的證明思路是要證巧+石>4,需證KA4石，需證/（多>&g

18、t;/（4一”工）.題型八證明數(shù)列不等式證明數(shù)列不等式時，常利用下列不等式:(1)1-<hix<x1(*>0)；JC(2)x-tn(1+1)4(大>。)；(3)InmV-r(x)w2x(4)ln(x-f-1)>x2-xa.通過給變量x賦予不同的信去證吼例9.根據(jù)不等式證明:2x"+一35>2«-122丹十II11【證明】由1111£一(工一一)，可得工一一221nx.2xx,2拜+i令工=>1.neNt2社一1,口2花十12m-12«+1得>21n,2«-12左+12-1222十1即1十(1一)&

19、gt;21n,2«-12題+12駕一1.I112孔+1Iz11、所以>-hi+-().2«-122-122n-12十1上式中,2,3,，n.差個不等式相加，得,11111八一1+一4h>in(力i+1J+2n+l352/z-l2題型九利用放縮法證明不等式例1D,設(shè)函數(shù)/（工）;J（常數(shù)在元=0處取x+a得極小值，鼠工）二34上必hjc2«為自然對數(shù)的底數(shù)）.m求工）在（ij（i處的切線方程；（2）對任意工£+OC）,求證2/（JC）g（x）.（1）【解】易得口=1,/（工）在。/。）處的切線方程為廣21）.【注意】在解決第（2）問時，用構(gòu)造函數(shù)法證不出來，又試著分開兩個函數(shù)仍然不行，正當(dāng)我一籌莫展時，忽然想到與第一問題的切線聯(lián)系，如果左邊的函數(shù)的圖像切線的上方，右邊函數(shù)在的圖像在切線的下方，這樣問題不就得證了嗎?（2）【證明】令方（工）二二一£（工+1）,X（l,4«）x+14力口）=(x+1)24，?。┒?x2+l)e*（不用>0,所以遞增，乂、'(1)=0,X所以(x)遞增，h(x)>h(l)=0,故上一之£(x+l).x+14再令E(x)=：(x+1)一xe(1,-w)4lux2191X(Inx)2InxH1e(lnx)2-4(hx4