博弈論與信息經(jīng)濟(jì)學(xué)__課后答案

1、張1.5工（庫諾特博弈）假定后F個庫諾特寡頭企業(yè)，衽個企業(yè)具行相祠的不變單位生產(chǎn)成本，市場逆箭求函數(shù)足戶=疝一Q,其中。是市場價(jià)格.Q=必是總供給量m是大產(chǎn)零的常效看企業(yè)£的戰(zhàn)略是嚙樣產(chǎn)量中最大化利海E牛儲一Q-C）,給定共他企業(yè)的產(chǎn)量q-求庫諾特納什均衡.均衡產(chǎn)量和價(jià)格如何隨力的變化而變化？為什么？參考善景:垠據(jù)問題的假設(shè)可知各廠商的利陶函數(shù)為：其曰*=1,，rtr將利潤函數(shù)對q,求導(dǎo)并令其為0得:解得各廠商對其他廠商產(chǎn)量的反應(yīng)函數(shù)為:%）/2根格組個廠酉之間的對稱性，可知如=如代入上述反應(yīng)函數(shù)可解存:Qi=Q：因此該博弈的綱什均衡是所有性個廠商部生產(chǎn)產(chǎn)量勺46?；16.伯川德博弈

2、）假定兩個鼻頭企業(yè)之間進(jìn)行價(jià)格竟?fàn)帲ǘ皇钱a(chǎn)量競爭3兩個企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品是完全替代的，并且單位生產(chǎn)成本相同且不變，企業(yè)1的階格為小，企業(yè)2的儕格為也如果由戶”企業(yè)1的市場需求函數(shù)是的一“一外,企業(yè)2的需求函數(shù)是。孑如果自力.企業(yè)1的需求函數(shù)為0企業(yè)2的需求函數(shù)為小工二&一小;如果戶,=加一戶市場需求在兩個4.讓之間平分，即事一心一廣）“，什久是納什均衡價(jià)格？假定消費(fèi)者從價(jià)格低的廠商購買產(chǎn)品，如果兩企業(yè)價(jià)格相同，就平分市場，如果企業(yè)i的價(jià)格高于另一企業(yè)，則企業(yè)i的需求量為0,反之，其它企業(yè)的需求量為0。因此，企業(yè)i的需求函數(shù)由下式給出:Q(Pi)Pi；p_iqi=:Q(pi)/2pip_i

3、0pi>p_i從上述需求函數(shù)的可以看出，企業(yè)i絕不會將其價(jià)格定得高于其它企業(yè)；由于對稱性，其它企業(yè)也不會將價(jià)格定的高于企業(yè)i,因此，博弈的均衡結(jié)果只可能是每家企業(yè)的價(jià)格都p；c相同，即pi=p/但是如果R=pj>c那么每豕企業(yè)的利潤g=兀i=qi>0,因此，企j2業(yè)i只要將其價(jià)格略微低于其它企業(yè)就將獲得整個市場的需求，而且利潤也會上升至p-；-cp_c_Q(pi-s)>HiQ(pi),0)。同樣，其它企業(yè)也會采取相同的策略，如22果此下去，直到每家廠商都不會選擇降價(jià)策略，此時(shí)的均衡結(jié)果只可能是R=pj=c。此時(shí),企業(yè)i的需求函數(shù)為4=型。2張1.88.(Ed歐wcnh雙

4、算頭價(jià)格競爭)在練習(xí)&中，假定每個企業(yè)的最大生產(chǎn)能力是K單位生產(chǎn)成本為仁=1。需求函數(shù)的參數(shù)如果兩個企業(yè)的階格相同市場需求在二者之間平分手如果自V聲八企他“低價(jià)格企業(yè))的產(chǎn)量為min(100/>(即最大銷售量不超過生產(chǎn)能力，企業(yè)八高價(jià)格企業(yè))的產(chǎn)最為minmox(0,100乩-K),K(即只有當(dāng)?shù)蛢r(jià)格企業(yè)不能滿足需求時(shí)高價(jià)格企業(yè)才生產(chǎn)，并且產(chǎn)量不超過生產(chǎn)能力).(D說明企業(yè)】的支付函數(shù)是，(Al(J)inin(100一和.長3牝V機(jī)Ij(/>!JO)min(5O加tpl)*?S10)min<100K一小,X>t>j>2(0fotherwise(2)行

5、定3OCKV45,證明這個博弈不存在純楨略納什均衡.(這個問題可能比較困難.清參閽弗得伯格和泰勒爾1931,第3839頁，或TimleQ988)第215-216頁。張2.33.下面的兩人博弈可以解耗為兩個黑頭企業(yè)的價(jià)格競爭博奔.其中戶是企業(yè)1的價(jià)格，4是企業(yè)2的價(jià)格。企此1的利潤函數(shù)是：Jr=一(/>口“十+q企業(yè)2的利油函數(shù)是：式毯=一(<?-+P求解;(3)兩個企業(yè)同時(shí)決策時(shí)的純戰(zhàn)略)納什均衡，(2>企業(yè)1先決策時(shí)的子博弈精揀納什均衡；(3)企業(yè)2先決策時(shí)的子博弈精煉納什均衡。是否存在某些參數(shù)值3M")使得每一個企業(yè)都希如自已先決策？<2>企業(yè)1先法

6、黃。根墀逆推歸納法，先求企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù),學(xué)=-b=0=*</=/»出入企業(yè)1的利洵函數(shù)，得到：2一一(？一嗎+廣產(chǎn)+。"一必+小十仔Q=再把該價(jià)格代入企業(yè)I的反應(yīng)函數(shù),得:因此企業(yè)2先決策時(shí)子悒奔完美納什均衡是：企業(yè)1定確為P-于+Hr-1；企業(yè)2定位為q=多十方。此時(shí)兩個企業(yè)的利潤為：通（Qf+p一（號+6-6）+/一rQ?1>=-十ub-c4（4）因?yàn)橹挥邢葲Q策的利潤大于后決策的利港時(shí)企業(yè)才希望先決策，因此當(dāng)：企業(yè)1希里自己先決策。這個不等式在。#0的情況下總能滿足。當(dāng)企業(yè)2希望自己先選擇）這個不等式要求“VO。因此根據(jù)上述兩個不等式.只要V。,兩個企業(yè)都

7、會希望自己先決策。如果進(jìn)一步考慮利潤必須非負(fù)，那么幾個參數(shù)還必須滿足占>0、/>0、9一，>0和-<->0o其中第四個不等式,在aWO并4Jl第三個不等式成立時(shí)必然成立,前三個不等式結(jié)合上述a<0.得到兩個企業(yè)都希望先決策的條件是aVO.6>一葛和，（必，4張2.44.考慮如下的雙寡頭市場的戰(zhàn)略性投資模型.:企業(yè)】和企業(yè)2前情況下的單位生產(chǎn)成本是F-2.企業(yè)1可以引道一項(xiàng)新技術(shù)使單位生產(chǎn)成本降低到匚=，該項(xiàng)技術(shù)需提的投資為人企業(yè)2可以觀察到企業(yè)】的投資決策.在企業(yè)作出是否投資的決策之后，兩個企業(yè)同時(shí)選擇產(chǎn)量（庫諾恃博弈），因此,這是個兩階段博弈。假定需

8、求函數(shù)為P（q）=149其中戶是市場價(jià)格.q是兩個企業(yè)的總產(chǎn)量問題;當(dāng)f取什么值時(shí)，企業(yè)1將投究引進(jìn)新技術(shù)？拿書琴親分企業(yè)1第一階埃未引道和引進(jìn)投費(fèi)法種情況每種情況都用逆推歸納法進(jìn)行分析口假設(shè)企業(yè)I第一階段未投資引進(jìn)新技術(shù)此時(shí)兩個企業(yè)的邊際成本都是2,利潤函數(shù)為:m（14-g的）旗2電或？"f14一中一雁）%2小家網(wǎng)今隹業(yè)利海對各自產(chǎn)市的端腎數(shù)并令為Q,得:14-2中一q一2=0a。、.3券=14-2q：一出一2二0聯(lián)立福個反應(yīng)函數(shù)可桿得納件均衡產(chǎn)員為位=4,力=4,此時(shí)企業(yè)1的利潤為w=16.瑕設(shè)企業(yè)I第慟段引進(jìn)新技術(shù)口此時(shí)企業(yè)1的邊際成本下降到L兩個企業(yè)的利相涵數(shù)為：*1=（】4

9、一航一笑,?一/%！=：1一不一鈕史-2%求兩個企業(yè)和演對各自產(chǎn)量的偏百轂并令為耍得:=14f2q1；0%142版一如一20口聯(lián)立兩個反應(yīng)函數(shù)可解得納外均選產(chǎn)量為切=L企業(yè)1的利酒為丁一等一人現(xiàn)在我們回到第一階段.根目然只有引進(jìn)新技術(shù)后等到息利潤大于未引進(jìn)新技術(shù)的總利潤,即£=與。一了g%=16即當(dāng)時(shí)，企業(yè)】才會投第引迸新技術(shù)。<7張2.99.在伯川德價(jià)格博弈中，假定有打個生產(chǎn)企業(yè),需求函數(shù)為P(Q)="一如其中P是市場價(jià)格，0是雙個企也的總供給的，偎定博弈量發(fā)無窮多次.每次的價(jià)格坡立即觀察到企業(yè)使用.觸發(fā)戰(zhàn)略straregies).求使壟斷價(jià)格可以作為精馀均衡結(jié)果出

10、現(xiàn)的最低貼現(xiàn)閃子初解釋與泥的關(guān)系,如果觀察滯后一個階段(即t期的價(jià)格在/-FI期被觀察到).合作會變得更為困難嗎？(1)由于古諾博弈的階段均衡是qi=",此時(shí)的利潤為a二cn1n1i；若各家企業(yè)合作壟斷市場，則此時(shí)的最優(yōu)產(chǎn)量是產(chǎn)argmax(anq-c><qi,可求得qi=亙二c,此時(shí)的利潤2n2a-C二qj為faci,此時(shí)若有企業(yè)i背叛，其產(chǎn)量就是qi=歸一=*U(a-c),其收益4n24nn+122為1I(a-c)°下面我們來看重復(fù)博弈下的古諾博弈。在這個博弈中，有兩個博弈路4n徑，我們分別進(jìn)行討論。首先，在懲罰路徑上，由于每個階段參與企業(yè)選擇的都是最優(yōu)的產(chǎn)

11、量，因此能夠獲得最優(yōu)的收益，因此是均衡的。其次，在合作路徑上，只要合作的收益大于背叛的收益，則均衡也是可以實(shí)現(xiàn)的，這要十a(chǎn)c：1，1n+1)2,1ac加曰攵、-4n1求：I之I(a-c)+,解得111+2。I4nJ1-6I4nJ1(n+1Ji(n+1)(2)伯川德博弈的階段均衡是pi=c,此時(shí)參與者的利潤均為0。若各企業(yè)合作，則a-ca-c此時(shí)的取優(yōu)價(jià)格te：pi仁argmax(pi-c/a-pi),此時(shí)pi=,貝Uqi=,禾U潤22n2為3c）。而若有企業(yè)i背叛，則其選擇價(jià)格pi=亙二0其產(chǎn)量為Q,利4n22潤為（ac）。下面我們來看重復(fù)博弈下的伯川德博弈，在這個博弈中，也有兩個博弈路徑，4

12、我們分別討論如下：首先在懲罰路徑上，由于每個階段的企業(yè)選擇都是眼前最優(yōu)，因此，它能夠?qū)崿F(xiàn)均衡。其次，在合作路徑上，只要合作的收益大于背叛的收益，則均衡也是可以實(shí)現(xiàn)的，這就22要求：至la二"十。，求得6至11。4n1-、4n（3）伯川德博弈中的最低貼現(xiàn)因子小于古諾博弈中的貼現(xiàn)因子的原因在于其懲罰要嚴(yán)重的多，因此其對于耐心的要求也就要相對較小。張3.4兩個企業(yè)同時(shí)決定是否進(jìn)入一個市場'企業(yè)的進(jìn)入成本U.E0,8）是私人信息，來白獨(dú)立的分布函數(shù)FQ（密度函數(shù)）嚴(yán)格大干本人如果只有一個企業(yè)進(jìn)入,進(jìn)入企業(yè)i的利潤函數(shù)為IF-也：如果兩個企業(yè)都進(jìn)入雪企業(yè)的利洞函數(shù)為nJ-；如果沒有企業(yè)

13、進(jìn)入，利洞為生.假定115和如是共同知識，且1F用。0問即指出這個博弈與32節(jié)第二部分的相同之處和不同之處M2）計(jì)算貝葉斯均衡并證明均衡是唯一的.類似的題：兩個廠商同時(shí)決定是否進(jìn)入某個市場”兩個廠商的炒人成本為白0,+8是各自的私人信息另一個廠商只知道心的分布函額為只有一個廠商i進(jìn)入時(shí)收益為H心，兩個L商部進(jìn)入時(shí)收益各為L一小都不SE入收短箱為電求濠博弈的貝葉斯綱什均雷口基考番案，根據(jù)何JK的假設(shè)，該博弈的餐益矩陣如下:進(jìn)入不速入工一(1L<tH-a.O*H一口|Q.0J-賽Lrft2進(jìn)入不專入假設(shè)廠商1天足如下的臨界值笑略:當(dāng)口匕加時(shí)，采用“講入"第略；當(dāng)qA5時(shí)，采用&qu

14、ot;不進(jìn)入“策略：假設(shè)廠商2乘用如的益界范策晤;當(dāng)C時(shí),采用1進(jìn)入”篋骼；當(dāng)能/時(shí),采用“不進(jìn)人策略因此商1果用道入策略的概率是收儂)，不理人的概率是】一產(chǎn)(口3商2采用進(jìn)入策珞的喉率是O,不進(jìn)入的唯率是l-P(f),這樣就得到廠商I迸人的海罪值物=FY/NLH)+H中從廠商2的角度來看.選擇進(jìn)入和不進(jìn)入的期望潺益分別為:P(翱)X(Lr；)+IP(w)X(/et)=P1即RLH)+H仃P(guān)(w)XOl-P(Ur)yo=Q當(dāng)迸入的期望得益大于不進(jìn)入的班室得益時(shí)廠商2才會來用進(jìn)人口所以廠商2的進(jìn)人條件是工P(w(LHj+H-qPdL-H)+H這樣就得到了南2進(jìn)入的臨界值工一P(w)(L-H)4-

15、H在已加分布函數(shù)力FSJ的情況下，可從輕立方程綱|w=PHML-H)-HIf=P(710(L-H)-H解詞L和50以這四個低界值均造的臨界傳策明.獻(xiàn)是該僻弈的貝葉斯納什均衡“此時(shí)廠商1選搔進(jìn)人的概率為1-口),廠商2選擇送入的概率為尸(打“張3.88.一個壟斷企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品供應(yīng)兩類消費(fèi)符，企業(yè)的單位成本為，消費(fèi)者的效用函數(shù)為"8.7）二外-T），其中。代表消費(fèi)柏的需求強(qiáng)度吃代我消費(fèi)量.rg）代我支付的費(fèi)用（整廿的函數(shù)兀假定5）是產(chǎn)林遞噌的四函數(shù)t第-類消費(fèi)者的甫求強(qiáng)度為0=6第二類消費(fèi)者的需求強(qiáng)度為0_&避外,假定需求強(qiáng)度是消費(fèi)者的私人信息。企業(yè)的問題是決定71/J和取門,

16、/,即向每類消費(fèi)并的供應(yīng)地.和收取的費(fèi)用的“正因?yàn)槠髽I(yè)不知道消費(fèi)者的類型,當(dāng)它這樣做的:申生企業(yè)啊崎兩種打束乙第:二種約束是陽蓬，消受,丹趣喙I.張4.22.圖4A.i是一個信號傳遞博弈：自然首先選擇參與人1的類型，參與人1知道白然的選擇，參與人2不知道，只知道參與人屬于類型力和類型”的可能性相等,參與人1然后選擇信號，.或女;參與人2金衍選擇行動U或八.博弈結(jié)束,支付向量如終點(diǎn)給所示,給出這個博齊的所有純戰(zhàn)略分離均衡和混同均衡.圖4A.14.4一等曜虹與*，茨就會號手魅一個樓&電H火空力學(xué).二潴基於假人藝專年起區(qū)裊漫我或史伏哈演反鼠弊:個描注音線溝會及然;室燈煞晶必忍夠管然士與冷：簌

17、鍬大泊港榮子為餐堂凝效/管牛咫£.筏處3絮£叁糠,9宛饌一遹:W；。之班工"p：/x戈/,3聲jP：d%：工6/；C哈達(dá)吟二二介二（丁七，:、，,"=-/工q應(yīng)?T空張4.5僅參與人1有兩個類型“一強(qiáng)（概率為0,9）和弱（慨率為61人參勺人2有一種類型,恃強(qiáng)欺弱.舂可人I知道丹己的類型，參與人"只均道參與人】類型的分布函效，參與人1的行動是選擇早餐時(shí)是否吃辣椒匕參與人2觀察到參與人2的早餐內(nèi)容然后判斷參與人1的特征，選擇是否襲擊他,如果參與人1是強(qiáng)者對應(yīng)不同行動組合的支付矩陣如表4A.M九如參與人I是弱苕，對應(yīng)不同行動州合的支付好陣如表4A.3

18、（b）u注意，這兩個表中參與人2選掛的是行動.從表中可以看出，如果侍息是完全的，當(dāng)參與人1是強(qiáng)者時(shí)，精嫉納什均衡結(jié)果是（吃辣根不襲擊）；當(dāng)參與人是弱步時(shí)，格煉納什均衡結(jié)果是（不吃辣椒，襲擊）。另外，加類參與人I都不愿意遭受參與人2的襲擊。給出這個博汗的擴(kuò)展式表述（博弈的人找出所有的分離均衡和混同均衡孑特別地,證明（不后辣楸，不襲擊M=0.1,q>"2>是一個混同精煉博弈樹均衡這個濕同均衡滿足“刷除分戰(zhàn)略標(biāo)冊。但不滿是“白觀標(biāo)MEY這里.是給定參與人不吃辣樵的情況下,參與人2認(rèn)為參與人1屬于弱者的概率叫是給定參與人1吃辣椒的情義卜”.參與人2認(rèn)為參與A】屬弱者的概率兀表4A.J<a>參與人1是強(qiáng)者時(shí)參與人1吐疑楸1,-13.0分吃辣椒u.一130參與人2喪出不襲擊，w11aLife（b）餐與人1是弱者時(shí)拿“人10,12,0不吃甥椒0.13,0參與人2襲擊不塞擊類似的題:府一蛋銖樽彈Cho&*中（1987”。Cho&Kreps以吃酒一蛋糕博弈的例子來解鄴直觀標(biāo)準(zhǔn)。在這個痔奔里，參與人1是一個苦于打架的強(qiáng)后的橫率為。.9,是個不普于打架的弱者的帳率為0.1。但基，即使參與人I認(rèn)為自己加第打蜃.他也不想和別人打架。如果參與人I是弱者,參與人2就想和他打架。參與入2不知道參與人i的類型，但是他能夠現(xiàn)察客與人I的早餐吃什么。參