函數(shù)極限的定義PPT學習教案

1、會計學1函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的定義.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx播放第1頁/共32頁問問題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 x的的過過程程中中, 對對應應函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的過程的過程表示表示 xXx. 0sin)(,無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當當xxxfx 通過上面演示實驗的觀察:問題: 如何用數(shù)學語言刻劃函數(shù)“無限接近”.第2頁/共32頁定義定義 1 1 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在著正數(shù)總存在著正

2、數(shù)X, ,使得對于適合不等式使得對于適合不等式Xx 的一切的一切 x, ,所對應的函數(shù)值所對應的函數(shù)值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Axf)(, , 那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當當 x時的極限時的極限, ,記作記作 )()()(lim xAxfAxfx當當或或 :. 1 定義定義定義定義X .)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當使當 Axfx)(lim第3頁/共32頁:.10情形情形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當使當:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當使當Axfx )(lim2.另兩種情形: A

3、xfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且第4頁/共32頁xxysin 3.幾何解釋: X X.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線直線直線圖形完全落在以圖形完全落在以函數(shù)函數(shù)時時或或當當 AyxfyXxXxA第5頁/共32頁xxysin 例1. 0sinlim xxx證明證明證xxxxsin0sin x1 X1 , , 0 ,1 X取取時恒有時恒有則當則當Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的圖形的水平漸近線的圖形的水平漸近線是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfycycxfx 第6頁/共32頁問問題

4、題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過過程程中中,對對應應函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .000的過程表示xxxxx0 x 0 x 0 x ,0鄰域鄰域的去心的去心點點 x.0程度程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)xx 第7頁/共32頁定義定義 2 2 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多不論它多么小么小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) , ,使得對于適合不等式使得對于適合不等式 00 xx的一切的一切x, ,對應的函數(shù)值對應的函數(shù)值)(xf都都滿足不等式滿足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函

5、數(shù)就叫函數(shù))(xf當當0 xx 時的極限時的極限, ,記作記作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 當當或或:. 1 定義定義定義定義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時時使當使當?shù)?頁/共32頁2.幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時域時鄰鄰的去心的去心在在當當 Ayxfyxx注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無無關關在在點點函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf. 2有有關關與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) .,越越小小越越好好后后找找到到一一個個顯顯

6、然然 第9頁/共32頁例2).( ,lim0為常數(shù)為常數(shù)證明證明CCCxx 證Axf )(CC ,成立成立 , 0 任任給給0 .lim0CCxx , 0 任任取取,00時時當當 xx例3.lim00 xxxx 證明證明證,)(0 xxAxf , 0 任任給給, 取取,00時時當當 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 第10頁/共32頁例4. 211lim21 xxx證明證明證211)(2 xxAxf, 0 任任給給, 只只要要取取,00時時當當 xx函數(shù)在點x=1處沒有定義.1 x,)( Axf要要使使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx第11頁/共32

7、頁例5.lim00 xxxx 證0)(xxAxf , 0 任任給給,min00 xx取取,00時時當當 xx00 xxxx ,)( Axf要要使使,0 xx就有就有,00 xxx .00且且不不取取負負值值只只要要 xxx.lim,0:000 xxxxx 時時當當證明證明第12頁/共32頁3.單側極限:例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設設兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 xx從左側無限趨近從左側無限趨近; 00 xx記作記作,0 xx從右側無限趨近從右側無限趨近; 00 xx記作記作yox1xy 112 xy第13頁/共32頁左極限

8、.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時時使當使當右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時時使當使當000:000 xxxxxxxxx注意注意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記作記作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記作記作第14頁/共32頁.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理.lim0不存在不存在驗證驗證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例6證1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x第15頁/共32頁函數(shù)極限的

9、統(tǒng)一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時刻以后從此時刻以后時刻時刻(見下表)第16頁/共32頁過 程時 刻從此時刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過 程時 刻從此時刻以后 )(xf Axf)(第17頁/共32頁思考題試試問問函函數(shù)數(shù) 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的的左左、右右極極限限是

10、是否否存存在在？當當0 x時時，)(xf的的極極限限是是否否存存在在？第18頁/共32頁思考題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在.第19頁/共32頁.01. 01_131222 yzxzxxyx，必有，必有時，只要時，只要取取，問當，問當時，時，、當、當.001. 0420_4212 yxxyx，必有，必有只要只要時，時，取取，問當，問當時，時，、當、當 證明：證明：二、用函數(shù)極限的定義二、用函數(shù)極限的定義一、填空題:0sinli

11、m221241lim1221 xxxxxx、練 習 題第20頁/共32頁.)(:0極限各自存在并且相等極限各自存在并且相等必要條件是左極限、右必要條件是左極限、右時極限存在的充分時極限存在的充分當當函數(shù)函數(shù)三、試證三、試證xxxf?0)(存存在在時時的的極極限限是是否否在在四四、討討論論：函函數(shù)數(shù) xxxx 第21頁/共32頁一一、1 1、0 0. .0 00 00 02 2； 2 2、397. .四四、不不存存在在. .練習題答案第22頁/共32頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第23頁/共32頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第24頁/共32頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第25頁/共32頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第26頁/共32頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第27頁/共32頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變