二節(jié)對坐標(biāo)曲線積分-資料 ppt課件

1、高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系第二節(jié)第二節(jié) 對坐標(biāo)的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分一一 對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1.變力沿曲線所作的功設(shè)一個質(zhì)點在xoy平面內(nèi)從點A沿光滑曲線弧L挪動到點B.在挪動過程中,這質(zhì)點遭到力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用,其中函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在L上延續(xù),要計算在上述挪動過程中變力F(x,y)所作的功.高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系力F作的功W等于兩個向量F和AB的數(shù)量積ABFW我們知道,假設(shè)力F是常力,且質(zhì)點沿直線從A到B點，那么常如今是

2、一個變力,力在變化,方向也在變化，要處理這種變力使物體做曲線運動時所做的功，我們按定積分的思緒和方法做.高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系 可看成直線段,即質(zhì)點沿小弧段的運動可為沿直線段的運動.上可視為常數(shù).力在小弧段所作的功為iiiiiiiiiMMMMFW11),(,),(1)分割 從A到B將曲線分成n個小弧段.由于每個小弧段很小,(2)取近似由于F的變化的延續(xù)性,及直線段很小,F在小弧段高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系xyABMi-1MiF(,)再設(shè)點Mi的坐標(biāo)為(xi,yi)(i=1,2.n),記11,iiiiiiyyyx

3、xxjyixMMiiii1是F(x,y)在x軸和y軸上的投影.設(shè)F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j，其中P(x,y)和Q(x,y)在x軸,y軸上的投影為iiyx,iiMM1那么高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系(3)求和),(),(11iiiiniiiniiyQxPWW),(),(lim10iiiiniiiyQxpWiiiiiiiiiiiyQxPMMFW),(),(),(1(4)取極限令這就是變力沿曲線所做的功. 如今我們抽去問題的物理意義,于是, 0max1iiMM那么得到下面的定義:高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系

4、在L上有界,按L的方向順序用分點 ByxMyxMyxMAnnn),(),.,(),(111000把L分成n個小弧段 (i=1,2.n)，小弧段在x,y軸上的iiMM111,iiiiiiyyyxxx取恣意點iiiiMM1),( 定義定義:設(shè)L是從點A到B的一條有向光滑曲線,函數(shù)P(x, y)和Q(x, y)坐標(biāo)增量記為高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系對坐標(biāo)的曲線積分也稱為第二類曲線積分.),(),(lim),(),(10iiiiiiniLyQxPdyyxQdxyxP),(),(1iiiiniiiyQxP記作假設(shè)和式值為函數(shù)P(x,y)，Q(x,y)沿曲線L從A到

5、B的對坐標(biāo)的曲線積分.當(dāng)各小弧段長度的最大值0時極限總存在，那么稱此極限高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系當(dāng)Q=0 時,niiiiLxPdxyxP10),(lim),(為P(x,y)對坐標(biāo)x的曲線積分；當(dāng)P=0 時,niiiiLyQdyyxQ10),(lim),(為Q(x,y)對坐標(biāo)y的曲線積分.高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系dzzyxRdyzyxQdxzyxP),(),(),(上述定義可推行到空間曲線的情況： 按定義,變力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j沿曲線L從A到B對質(zhì)點LdyyxQdxyxPW),(),(做

6、的功,可表示為曲線積分),(),(),(lim10iiiiiiiiiiiinizRyQxP高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系性質(zhì)1 為常數(shù)kQdyPdxkkQdykPdxLL,性質(zhì)2dyQdxPdyQdxPdyQQdxPPLLL22112121)()(假設(shè)光滑曲線L=L1+L2 ，那么21LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx性質(zhì)3高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系設(shè)L是有向曲線，L-是與L方向相反的有向曲線，那么LLQdyPdxQdyPdx性質(zhì)4闡明,對坐標(biāo)的曲線積分與積分曲線的方向有關(guān)，性質(zhì)4這是區(qū)別對弧長的曲線積分的重要

7、特征這是區(qū)別對弧長的曲線積分的重要特征.高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系二二 對坐標(biāo)的曲線積分的計算方法對坐標(biāo)的曲線積分的計算方法) 1 ()()(),()()(, )(dttttQtttPQdyPdxL定理設(shè)P(x, y), Q(x, y)在有向曲線弧L上有定義且延續(xù)，L的參數(shù)方程為)()(tytx當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由變到時, 點M(x,y)從L的起點A沿L運動到終點B, (t)和(t)在以及為端點的閉區(qū)間上具有一階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，且, 0)()(22tt那么曲線積分dyyxQdxyxPL),(),(存在，且高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院

8、數(shù)理系根據(jù)對坐標(biāo)的曲線積分的定義，有它們對應(yīng)于一列單調(diào)變化的參數(shù)值在L上取一點列證 BMMMMAnn,110nntttt,110iniiiLxPdxyxP 10),(lim),(之間.與在其中i1itit即對應(yīng)于參數(shù)值設(shè)點),(ii,i)(),(iiii高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系iiniiiLtPdxyxP)()(),(lim),(10 運用微分中值定理，有由于)()(11iiiiittxxxiiitx)(之間，于是與在其中iiiittt,11ititiiniiiLtPdxyxP)()(),(lim),(10)上的一致延續(xù)性,可將上式(或在利用)(t,從

9、而換成中的點i,i高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系延續(xù)，這個定積分存在，因此由于函數(shù)上式右端的和的極限就是定積分,)()(),(dttttP)()(),(tttPLdxyxP),(存在，并且有dttttPdxyxPL)()(),(),(dttttQdxyxQL)()(),(),(同理可證：高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系(1)式推行到空間曲線,得到如下公式：則設(shè)),(),(),(tzztyytxxRdzQdyPdxP(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)是定義在空間曲線上的延續(xù)函數(shù).)()(),(),()()(

10、),(, )(tytztytxQtxtztytxPdttztztytxR)()(),(),(高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系,其中L為拋物線y2=x上從點A(1,-1)到點B(1,1)的一段弧.Lxydx解法一：把解法一：把x作為參數(shù)作為參數(shù),利用對利用對x的定積分的定積分來計算來計算,把把L分成分成AO和和OB兩段兩段,被積函數(shù)被積函數(shù)可用積分道路的方程來處置可用積分道路的方程來處置.A(1,-1)B(1,1)xyoOBAOLxydxxydxxydxdxxxdxxx1001)(54210dxxx例1 計算高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科

11、技學(xué)院數(shù)理系解法二：把y作為參數(shù),利用對y的定積分來計算, x=y2, dx=2ydy， y: -11，那么 545 22)(1151142112ydyydyyyyxydxL留意: 對弧長的曲線積分的上限必需大于下限.對坐標(biāo)的曲線積分的上,下限是按積分的起點為下限,而積分的終點為上限的.不論對弧長或?qū)ψ鴺?biāo)的曲線積分,都應(yīng)該把積分曲線方程代入被積函數(shù)中計算.高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例2 計算ydzxdyzydxxC2233其中C是從點A(3,2,1)到點B(0,0,0)的直線段AB.解:直線段AB的方程是123zyx化為參數(shù)方程得到 x=3t，y=2t，

12、z=t，t從1變到0，所以dttttttydzxdyzydxxC2)3 (2)2(33)3(32201322348787013dtt高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例3 計算Ldxy2其中L為xA(a,0)B(-a,0)y(1)半徑為a，圓心為原點，按逆時針方向繞行的上半圓周；(2)從點A(a,0)沿x軸到點B(-a,0)的直線段.解: (1)L是參數(shù)方程為 x=acos, y=asin參數(shù)從0到的曲線弧 (按逆時針方向)，故0230222)(cos)cos1 ()sin(sindadaadxyL留意：從0到是按逆時針方向.3033343coscosaa高等數(shù)

13、學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系由于曲線積分的被積函數(shù)和積分道路有關(guān)，所以雖然被積函數(shù)一樣，積分的起點和終點也一樣，但積分途徑不同，得到的值也不同.(2) L的方程為y=0，x從a變到-a，所以002aaLdxdxy高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例4 計算dyxxydxC22其中C為(1)拋物線y=x2上從(0,0)到B(1,1)的一段??；(2)拋物線x=y2上從 (0,0)到B(1,1)的一段??；(3)有向折線OAB，這里O，A，B的坐標(biāo)為(0,0)，(1,0)，(1,1)x=y2y=x2B(1,1)A(1,0)xy解:(1)化

14、為對x的定積分，C：y=x2，x從0變到1，所以1032102214)22(2dxxdxxxxxdyxxydxC高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系(3)dyxxydxdyxxydxdyxxydxABoAC22222215)22(210410422dyydyyyyydyxxydxC在OA上，y=0，x從0變到1，故(2)化為對y的定積分，C：x=y2，y從0變到1，所以0)002(21022dxxxdyxxydxoA高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系1)102(2102dyydyxxydxAB從例4中可以看出，雖然積分道路不同，曲線

15、積分的值可能相等.在AB上，x=1，dx=0，y從0到1，所以Cdyxxydx11022高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系三三 兩類曲線積分之間的聯(lián)絡(luò)兩類曲線積分之間的聯(lián)絡(luò)設(shè)有向曲線弧L的參數(shù)方程為 )()(tytx L的起點A、終點B分別對應(yīng)參數(shù) ，,)(),(tt在以,為端點的閉區(qū)間上具有一階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，且0)()(22ttP(x, y)，Q(x, y)在L上延續(xù).高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系LdyyxQdxyxP),(),( )(),(tt根據(jù)對坐標(biāo)的曲面積分公式有 ，其方向余弦為，其方向余弦為有向線段L的切向量為,)()()(cos,)()()(cos2222tttttt由對弧長的曲線積分的計算公式可得：dttttQtttP)()(),()()(),(高等數(shù)學(xué)電子案高等數(shù)學(xué)電子案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系dsyxQyxPLcos),(cos),( )()()()(),( 22tttttPdttttQtttP)()(),()()()