高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第四節(jié)　簡單的三角恒等變換

1、必備知識(shí) 整合 欄目多的在上面加，做超鏈接，且各個(gè)欄目居中放；只有“考點(diǎn)”的書，只上”考點(diǎn)一“這種簡化標(biāo)題 關(guān)鍵能力 突破 第四章第四章 三角函數(shù)與解三角形三角函數(shù)與解三角形第四節(jié)第四節(jié)簡單的三角恒等變換簡單的三角恒等變換必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求:能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行簡單的恒等變換(包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式,這三組公式不要求記憶).必備知識(shí) 整合 欄目多的在上面加，做超鏈接，且各個(gè)欄目居中放；只有“考點(diǎn)”的書，只上”考點(diǎn)一“這種簡化標(biāo)題 關(guān)鍵能力 突破 必備知識(shí) 整合 1.公式的常見變形(1)1+cos

2、= 2cos2 ;1-cos = 2sin2 .22必備知識(shí) 整合 欄目多的在上面加，做超鏈接，且各個(gè)欄目居中放；只有“考點(diǎn)”的書，只上”考點(diǎn)一“這種簡化標(biāo)題 關(guān)鍵能力 突破 (2)1+sin =;1-sin =.(3)tan=.2sincos222sincos222sin1cos1cossin必備知識(shí) 整合 欄目多的在上面加，做超鏈接，且各個(gè)欄目居中放；只有“考點(diǎn)”的書，只上”考點(diǎn)一“這種簡化標(biāo)題 關(guān)鍵能力 突破 2.輔助角公式輔助角公式asin x+bcos x=sin(x+)(為輔助角),其中sin = ,cos = .22ab22bab22aab必備知識(shí) 整合 欄目多的在上面加，做超鏈

3、接，且各個(gè)欄目居中放；只有“考點(diǎn)”的書，只上”考點(diǎn)一“這種簡化標(biāo)題 關(guān)鍵能力 突破 知識(shí)拓展知識(shí)拓展和、差及倍角公式的關(guān)系 必備知識(shí) 整合 欄目多的在上面加，做超鏈接，且各個(gè)欄目居中放；只有“考點(diǎn)”的書，只上”考點(diǎn)一“這種簡化標(biāo)題 關(guān)鍵能力 突破 1.判斷正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”).(1)y=3sin x+4cos x的最大值是7.()(2)在非直角三角形ABC中,有tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.()(3)設(shè)3,且|cos |=,那么sin的值為.()(4)公式asin x+bcos x=sin(x+)中,的取值與a,b的值無關(guān).()5215215

4、522ab必備知識(shí) 整合 欄目多的在上面加，做超鏈接，且各個(gè)欄目居中放；只有“考點(diǎn)”的書，只上”考點(diǎn)一“這種簡化標(biāo)題 關(guān)鍵能力 突破 2.(2020安徽毛坦廠中學(xué)4月聯(lián)考)=()A.2 B. C. D.1cos23cos672sin6832D3.(2020福建廈門模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)x為始邊作角與角,它們的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱.若cos =,則cos(-)=()A. B.C.- D.-1134 297979C必備知識(shí) 整合 欄目多的在上面加，做超鏈接，且各個(gè)欄目居中放；只有“考點(diǎn)”的書，只上”考點(diǎn)一“這種簡化標(biāo)題 關(guān)鍵能力 突破 4.(2020江蘇,8,5分)已知sin2=,則si

5、n 2的值是 .42313必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 考點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡與求值考點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡與求值關(guān)鍵能力 突破 1.(2019課標(biāo)理,10,5分)已知,2sin 2=cos 2+1,則sin =()A. B. C. D. 0,21555332 55B必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 解析解析 ,cos 0,2sin =cos ,tan =,sin =.故選B.0,21255必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 2.化簡:= cos 2x .42212cos2cos22tansin44xxxx12必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 解析解析原式=cos 2x.22212cos(cos1)2

6、2tansin44xxxx21cos 22sin1cos 212cos2sin21cosxxxxxx2221cos 22cossinxxx12必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 3.已知0,則=-cos .(1sincos ) sincos2222cos解析解析原式=cos=.222sincos2cossin222224cos2cos222sincos22cos2coscos2cos2因?yàn)?,所以00,所以原式=-cos .222必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則 必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 2.三角函數(shù)式化簡的方法弦切互化,異名化同名,異角

7、化同角,降冪或升冪.在三角函數(shù)式的化簡中,“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律,而根號(hào)中含有三角函數(shù)式時(shí),一般需要升次.必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 考點(diǎn)二三角函數(shù)式的求值問題考點(diǎn)二三角函數(shù)式的求值問題角度一給角求值角度一給角求值典例典例1(1)cos 20cos 40cos(-460)=- .(2)= .18sin1013tan1014必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 解析解析(1)cos 20cos 40cos(-460)=cos 20cos 40cos 100=-cos 20cos 40cos 80=-=-=-=-=-=-.sin20cos20cos40cos80sin201sin40

8、cos40cos802sin201sin80cos804sin201sin1608sin201sin208sin2018必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 (2)=.sin1013tan10sin10 cos10cos103sin102sin10 cos10134cos10sin1022sin204sin(3010 )14必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 典例典例2(1)(2020福建廈門第一中學(xué)模擬)若sin=,A,則sin A的值為()A. B. C.或 D.(2)(2020甘肅靜寧第一中學(xué)模擬)若sin=,則sin=()A. B. C. D. 4A7 210,43545354534633266

9、32 233313BD角度二給值求值角度二給值求值必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 解析解析(1)A,A+,cos0,且(0,),00,02.tan =-0,(0,),11271112713222tan1tan212311334217必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 ,-2-0.tan(2-)=1,2-=-.2tan2tan1tan2 tan31473114734必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)三角函數(shù)式求值的規(guī)律方法1.“給角求值”問題:給出的角一般是非特殊角,要觀察所給角與特殊角的關(guān)系,利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題.2.“給值求值”問題:給出某些角的三角函數(shù)值

10、,求另外一些角的三角函數(shù)值,解題的關(guān)鍵在于“變角”,使相關(guān)角相同或具有某種關(guān)系.必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 3.“給值求角”問題:實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題,即通過求角的某個(gè)三角函數(shù)值來求角(注意角的范圍).在選取函數(shù)時(shí),遵循以下原則:(1)已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù).(2)已知正、余弦函數(shù)值,選正弦或余弦函數(shù).若角的范圍是,則選正、余弦函數(shù)皆可;若角的范圍是(0,),則選余弦函數(shù);若角的范圍是,則選正弦函數(shù).0,2,2 2 必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 1.(2020浙江溫州新力量聯(lián)盟聯(lián)考)已知,都是銳角,sin =,cos(+)=,則sin = .455131665必備知識(shí) 整合

11、關(guān)鍵能力 突破 解析解析,都是銳角,+(0,),又sin =,cos(+)=,cos =,sin(+)=,則sin =sin(+)-=sin(+)cos -cos(+)sin =-=.45513351213121335513451665必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 2.計(jì)算:=2 .2cos102 3cos( 100 )1 sin102解析解析 =2cos102 3cos( 100 )1 sin102cos102 3sin101 sin10134cos10sin102212sin5 cos54cos50cos5sin5必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 =4cos50222cos5sin522=

12、2.4cos502cos502必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 3.(2020河南六市聯(lián)考)已知cos =,cos(-)=,若0,則= .17131423解析解析由cos =,0,得sin =.由0,得0-,又cos(-)=,17221 cos 21174 37221314必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 sin(-)=.cos =cos-(-)=cos cos(-)+sin sin(-)21 cos ()2131143 314=+=.,=.1713144 373 314120,23必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 考點(diǎn)三考點(diǎn)三 三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用典例典

13、例4已知函數(shù)f(x)=sin+cos.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最值;(2)若cos =,求f的值.244x644x3,42453,2223必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 解析解析(1)由題意得f(x)=sin+cos=sin+cos=-sin.因?yàn)閤,所以x-,所以sin,244x644x22124x324x22712x3,4271211,312712x3,12必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 所以-sin,即函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為,最小值為-.(2)因?yàn)閏os =,所以sin =-,所以sin 2=2sin cos =-,cos 2=cos2-sin2=-=,所以f=-sin=-

14、sin22712x26,243,426422453,2235242516259257252322723122224必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 =-(sin 2-cos 2)=(cos 2-sin 2)=.12121272425253150必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)三角恒等變換的應(yīng)用策略(1)進(jìn)行三角恒等變換(變角、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu))時(shí),注意公式的逆用和變形使用.(2)把形如y=asin x+bcos x的式子化為y=sin(x+)的形式時(shí),可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對(duì)稱性.22ab必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 (2020湖南長沙雅禮中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)=2sinsin,xR.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期,并寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)已知x0,且f(x0)=+,求f的值.2x3x,6 2 453206x必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 解析解析(1)f(x)=2cos xsin x+cos x=sin 2x+cos 2x+=