20XX年江蘇省高考數(shù)學試卷試題 (2)

1、2019年江蘇省高考數(shù)學試卷一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.1已知集合，0，1，則2已知復數(shù)的實部為0，其中為虛數(shù)單位，則實數(shù)的值是3如圖是一個算法流程圖，則輸出的的值是4函數(shù)的定義域是5已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是6從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是7在平面直角坐標系中，若雙曲線經(jīng)過點，則該雙曲線的漸近線方程是8已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項和若，則的值是9如圖，長方體的體積是120，為的中點，則三棱錐的體積是10在平面直角坐標系中，是曲線上的一個動點

2、，則點到直線的距離的最小值是11在平面直角坐標系中，點在曲線上，且該曲線在點處的切線經(jīng)過點，為自然對數(shù)的底數(shù)），則點的坐標是12如圖，在中，是的中點，在邊上，與交于點若，則的值是13已知，則的值是14設，是定義在上的兩個周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù)當，時，其中若在區(qū)間，上，關于的方程有8個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15（14分）在中，角，的對邊分別為，（1）若，求的值；（2）若，求的值16（14分）如圖，在直三棱柱中，分別為，的中點，求證：（1）平面；（2）17（14分

3、）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的焦點為，過作軸的垂線，在軸的上方，1與圓交于點，與橢圓交于點連結并延長交圓于點，連結交橢圓于點，連結已知（1）求橢圓的標準方程；（2）求點的坐標18（16分）如圖，一個湖的邊界是圓心為的圓，湖的一側有一條直線型公路，湖上有橋是圓的直徑），規(guī)劃在公路上選兩個點、，并修建兩段直線型道路、，規(guī)劃要求：線段、上的所有點到點的距離均不小于圓的半徑已知點、到直線的距離分別為和、為垂足），測得，（單位：百米）（1）若道路與橋垂直，求道路的長；（2）在規(guī)劃要求下，和中能否有一個點選在處并說明理由；（3）在規(guī)劃要求下，若道路和的長度均為（單位：百米），求當最小時，、兩點間的距離

4、19（16分）設函數(shù)，為的導函數(shù)（1）若，（4），求的值；（2）若，且和的零點均在集合，1，中，求的極小值；（3）若，且的極大值為，求證：20（16分）定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“數(shù)列”（1）已知等比數(shù)列滿足：，求證：數(shù)列為“數(shù)列”；（2）已知數(shù)列滿足：，其中為數(shù)列的前項和求數(shù)列的通項公式；設為正整數(shù)，若存在“數(shù)列” ，對任意正整數(shù)，當時，都有成立，求的最大值【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區(qū)域內作答.若多做，則按作答的前兩小題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）21（10分）已知矩陣（1）

5、求；（2）求矩陣的特征值B.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）22（10分）在極坐標系中，已知兩點，直線1的方程為（1）求，兩點間的距離；（2）求點到直線的距離C.選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）23設，解不等式【必做題】第24題、第25題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.24（10分）設，已知（1）求的值；（2）設，其中，求的值25（10分）在平面直角坐標系中，設點集，令從集合中任取兩個不同的點，用隨機變量表示它們之間的距離（1）當時，求的概率分布；（2）對給定的正整數(shù)，求概率（用表示）2019年江蘇省高考數(shù)

6、學試卷參考答案與試題解析一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.1已知集合，0，1，則，【思路分析】直接利用交集運算得答案【解析】：，0，1，0，1，故答案為：，【歸納與總結】本題考查交集及其運算，是基礎題2已知復數(shù)的實部為0，其中為虛數(shù)單位，則實數(shù)的值是2【思路分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部為0求的值【解析】：的實部為0，即故答案為：2【歸納與總結】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題3如圖是一個算法流程圖，則輸出的的值是5【思路分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量的值，模

7、擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案【解析】：模擬程序的運行，可得，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，此時，滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為5故答案為：5【歸納與總結】本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，是基礎題4函數(shù)的定義域是，【思路分析】由根式內部的代數(shù)式大于等于0求解一元二次不等式得答案【解析】：由，得，解得：函數(shù)的定義域是，故答案為：，【歸納與總結】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基礎題5已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是2【思路分析】先

8、求出一組數(shù)據(jù)6，7，8，9，10的平均數(shù)，由此能求出該組數(shù)據(jù)的方差【解析】：一組數(shù)據(jù)6，7，8，9，10的平均數(shù)為：，該組數(shù)據(jù)的方差為：故答案為：2【歸納與總結】本題考查一組數(shù)據(jù)的方差的求法，考查平均數(shù)、方差等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題6從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是【思路分析】基本事件總數(shù)，選出的2名同學中至少有1名女同學包含的基本事件個數(shù)，由此能求出選出的2名同學中至少有1名女同學的概率【解析】：從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，基本事件總數(shù)，選出的2名同學中至少有1名女同學包含的基本事件個數(shù)：

9、，選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是故答案為：【歸納與總結】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想，是基礎題7在平面直角坐標系中，若雙曲線經(jīng)過點，則該雙曲線的漸近線方程是【思路分析】把已知點的坐標代入雙曲線方程，求得，則雙曲線的漸近線方程可求【解析】：雙曲線經(jīng)過點，解得，即又，該雙曲線的漸近線方程是故答案為：【歸納與總結】本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的簡單性質，是基礎題8已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項和若，則的值是16【思路分析】設等差數(shù)列的首項為，公差為，由已知列關于首項與公差的方程組，求解首項與公差，再由等差數(shù)列的前項和求得的值

10、【解析】：設等差數(shù)列的首項為，公差為，則，解得故答案為：16【歸納與總結】本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查等差數(shù)列的前項和，是基礎題9如圖，長方體的體積是120，為的中點，則三棱錐的體積是10【思路分析】推導出，三棱錐的體積：，由此能求出結果【解析】：長方體的體積是120，為的中點，三棱錐的體積：故答案為：10【歸納與總結】本題考查三棱錐的體積的求法，考查長方體的結構特征、三棱錐的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想，是中檔題10在平面直角坐標系中，是曲線上的一個動點，則點到直線的距離的最小值是4【思路分析】利用導數(shù)求平行于的直線與曲線的切點，再由點到直線的距離公式求點到直線的距

11、離的最小值【解析】：由，得，設斜率為的直線與曲線切于，由，解得曲線上，點到直線的距離最小，最小值為故答案為：4【歸納與總結】本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查點到直線距離公式的應用，是中檔題11在平面直角坐標系中，點在曲線上，且該曲線在點處的切線經(jīng)過點，為自然對數(shù)的底數(shù)），則點的坐標是【思路分析】設，利用導數(shù)求得曲線在處的切線方程，代入已知點的坐標求解即可【解析】：設，由，得，則該曲線在點處的切線方程為，切線經(jīng)過點，即，則點坐標為故答案為：【歸納與總結】本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，區(qū)分過點處與在點處的不同，是中檔題12如圖，在中，是的中點，在邊上，與交于點若，

12、則的值是【思路分析】首先算出，然后用、表示出、，結合得，進一步可得結果【解析】：設，故答案為：【歸納與總結】本題考查向量的數(shù)量積的應用，考查向量的表示以及計算，考查計算能力13已知，則的值是【思路分析】由已知求得，分類利用萬能公式求得，的值，展開兩角和的正弦求的值【解析】：由，得，解得或當時，；當時，綜上，的值是故答案為：【歸納與總結】本題考查三角函數(shù)的恒等變換與化簡求值，考查兩角和的三角函數(shù)及萬能公式的應用，是基礎題14設，是定義在上的兩個周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù)當，時，其中若在區(qū)間，上，關于的方程有8個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是，【思路分析】由已知函數(shù)解析式結合周期性

13、作出圖象，數(shù)形結合得答案【解析】：作出函數(shù)與的圖象如圖，由圖可知，函數(shù)與，僅有2個實數(shù)根；要使關于的方程有8個不同的實數(shù)根，則，與，的圖象有2個不同交點，由到直線的距離為1，得，解得，兩點，連線的斜率，即的取值范圍為，故答案為：，【歸納與總結】本題考查函數(shù)零點的判定，考查分段函數(shù)的應用，體現(xiàn)了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15（14分）在中，角，的對邊分別為，（1）若，求的值；（2）若，求的值【思路分析】（1）由余弦定理得：，由此能求出的值（2）由，利用正弦定理得，再由，能求出，由此利

14、用誘導公式能求出的值【解析】：（1）在中，角，的對邊分別為，由余弦定理得：，解得（2），由正弦定理得：，【歸納與總結】本題考查三角形邊長、三角函數(shù)值的求法，考查正弦定理、余弦定理、誘導公式、同角三角函數(shù)關系式等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題16（14分）如圖，在直三棱柱中，分別為，的中點，求證：（1）平面；（2）【思路分析】（1）推導出，從而，由此能證明平面（2）推導出，從而平面，由此能證明【解答】證明：（1）在直三棱柱中，分別為，的中點，平面，平面，平面解：（2）在直三棱柱中，是的中點，又，平面，平面，【歸納與總結】本題考查線面平行、線線垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間

15、的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想，是中檔題17（14分）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的焦點為，過作軸的垂線，在軸的上方，1與圓交于點，與橢圓交于點連結并延長交圓于點，連結交橢圓于點，連結已知（1）求橢圓的標準方程；（2）求點的坐標【思路分析】（1）由題意得到，然后求，再由求得，則橢圓方程可求；（2）求出的坐標，得到，寫出的方程，與橢圓方程聯(lián)立即可求得點的坐標【解析】：（1）如圖，則，則，則橢圓方程為，取，得，則又，解得橢圓的標準方程為；（2）由（1）知，則，聯(lián)立，得解得或（舍即點的坐標為【歸納與總結】本題考查直線與圓，圓與橢圓位置關系的應用，考查計算能力，證明是解答該

16、題的關鍵，是中檔題18（16分）如圖，一個湖的邊界是圓心為的圓，湖的一側有一條直線型公路，湖上有橋是圓的直徑），規(guī)劃在公路上選兩個點、，并修建兩段直線型道路、，規(guī)劃要求：線段、上的所有點到點的距離均不小于圓的半徑已知點、到直線的距離分別為和、為垂足），測得，（單位：百米）（1）若道路與橋垂直，求道路的長；（2）在規(guī)劃要求下，和中能否有一個點選在處并說明理由；（3）在規(guī)劃要求下，若道路和的長度均為（單位：百米），求當最小時，、兩點間的距離【思路分析】（1）設與圓交于，連接，以為坐標原點，為軸，建立直角坐標系，則，設點，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為，求得的坐標，可得所求值；（2）當時，上的所有

17、點到原點的距離不小于圓的半徑，設此時，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為，求得的坐標，即可得到結論；（3）設，則，結合條件，可得的最小值，由兩點的距離公式，計算可得【解析】：設與圓交于，連接，為圓的直徑，可得，即有，以為坐標原點，為軸，建立直角坐標系，則，（1）設點，則，即，解得，所以，；（2）當時，上的所有點到原點的距離不小于圓的半徑，設此時，則，即，解得，由，在此范圍內，不能滿足，上所有點到的距離不小于圓的半徑，所以，中不能有點選在點；（3）設，則，則，當最小時，【歸納與總結】本題考查直線和圓的位置關系，考查直線的斜率和兩直線垂直的條件：斜率之積為，以及兩點的距離公式，分析問題和解決問題的能

18、力，考查運算能力，屬于中檔題19（16分）設函數(shù)，為的導函數(shù)（1）若，（4），求的值；（2）若，且和的零點均在集合，1，中，求的極小值；（3）若，且的極大值為，求證：【思路分析】（1）由，可得，根據(jù)（4），可得，解得（2），設令，解得，或令，解得，或根據(jù)和的零點均在集合，1，中，通過分類討論可得：只有，可得，可得：利用導數(shù)研究其單調性可得時，函數(shù)取得極小值（3），令解得：，可得時，取得極大值為，通過計算化簡即可證明結論【解析】：（1），（4），解得（2），設令，解得，或令，解得，或和的零點均在集合，1，中，若：，則，舍去，則，舍去，則，舍去，則，舍去，則，舍去，則，因此，可得：可得時，函數(shù)取得

19、極小值，（1）（3）證明：，令解得：，可得時，取得極大值為，可得：，在，上單調遞減，【歸納與總結】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、方程與不等式的解法、分類討論方法、等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題20（16分）定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“數(shù)列”（1）已知等比數(shù)列滿足：，求證：數(shù)列為“數(shù)列”；（2）已知數(shù)列滿足：，其中為數(shù)列的前項和求數(shù)列的通項公式；設為正整數(shù)，若存在“數(shù)列” ，對任意正整數(shù)，當時，都有成立，求的最大值【思路分析】（1）設等比數(shù)列的公比為，然后根據(jù)，列方程求解，在根據(jù)新定義判斷即可；（2）求出，猜想，然后用數(shù)學歸納法證明；（3）設的公比為，將問題轉化

20、為，然后構造函數(shù)，分別求解其最大值和最小值，最后解不等式，即可【解析】：（1）設等比數(shù)列的公比為，則由，得，數(shù)列首項為1且公比為正數(shù)即數(shù)列為“數(shù)列”；（2），當時，當時，當時，猜想，下面用數(shù)學歸納法證明；當時，滿足，假設時，結論成立，即，則時，由，得，故時結論成立，根據(jù)可知，對任意的都成立故數(shù)列的通項公式為；設的公比為，存在“數(shù)列” ，對任意正整數(shù)，當時，都有成立，即對恒成立，當時，當時，當，兩邊取對數(shù)可得，對有解，即，令，則，當時，此時遞增，當時，令，則，令，則，當時，即，在，上單調遞減，即時，則，下面求解不等式，化簡，得，令，則，由得，在，上單調遞減，又由于（5），（6），存在使得，的最大

21、值為5，此時，【歸納與總結】本題考查了由遞推公式求等比數(shù)列的通項公式和不等式恒成立，考查了數(shù)學歸納法和構造法，是數(shù)列、函數(shù)和不等式的綜合性問題，屬難題【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區(qū)域內作答.若多做，則按作答的前兩小題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）21（10分）已知矩陣（1）求；（2）求矩陣的特征值【思路分析】（1）根據(jù)矩陣直接求解即可；（2）矩陣的特征多項式為，解方程即可【解析】：（1）（2）矩陣的特征多項式為：，令，則由方程，得或，矩陣的特征值為1或4【歸納與總結】本題考查了矩陣的運算和特

22、征值等基礎知識，考查運算與求解能力，屬基礎題B.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）22（10分）在極坐標系中，已知兩點，直線1的方程為（1）求，兩點間的距離；（2）求點到直線的距離【思路分析】（1）設極點為，則由余弦定理可得，解出；（2）根據(jù)直線的方程和點的坐標可直接計算到直線的距離【解析】：（1）設極點為，則在中，由余弦定理，得，；（2）由直線1的方程，知直線過，傾斜角為，又，點到直線的距離為【歸納與總結】本題考查了在極坐標系下計算兩點間的距離和點到直線的距離，屬基礎題C.選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）23設，解不等式【思路分析】對去絕對值，然后分別解不等式即可【解析】：，或或，或或，不等式的解集為或【歸納與總結】本題考查了絕對值不等式的解法，屬基礎題【必做題】第24題、第25題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.24（10分）設，已知（1）求的值；（2）設，其中，求的值【思路分析】（1）運用二項式定理，分別求得，結合組合數(shù)公式，解方程可得的值；（2）方法一、運用二項式定理，結合組合數(shù)公式求得，計算可得所求值；方法二、由于，求得，再由平方差公式，計算可得所求值【解析】：（1）由，可得，可得，解得；（2）方法一、，由于，可得，可得；方法二、，由于，可得，可得【歸納與總結】本