三角函數(shù)及解直角三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、三角函數(shù)及解直角三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)I、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖:1、正弦、余弦、正切、余切的概念在是三角形ABC中，/C=90° ,(1)銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做/ A的正弦，記作s i n A。即s i n A=/A的對(duì)邊=a斜邊 c(2)銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做/ A的余弦，記作c o s Ao即c o s A = /A的鄰邊=b斜邊 c(3 )銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做/A的正切，記作tanA。即tan A = /A的對(duì)邊=a/A的鄰邊 b(4)銳角A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做/ A的余切，記作c o t A。即c o t A = /A的鄰邊=b/A的對(duì)邊 a銳角A的正弦、余弦、正切、余切

2、都叫做/ A的三角函數(shù)注意：(1)正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中給出的，要避免應(yīng)用時(shí)對(duì)任意的三角形隨便套用定義；(2) si n A不是s i n與A的乘積，是三角形函數(shù)記號(hào)，是一個(gè)整 體。“ s i n A”表 示一個(gè)比值，其他三個(gè)三角函數(shù)記號(hào)也是 一樣的；(3)銳角三角函數(shù)值與三角形三邊長短無關(guān)，只與銳角的大小有關(guān)。2、同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系(1 )平方關(guān)系：sin 2 a + cos 2 a=l a為銳角，即同一銳角的 正弦和余弦的平方和等于1 ；(2 )倒數(shù)關(guān)系：tana，cota=la為銳角，即同一銳角的正切與余切的積為1 ,互為倒數(shù)；(3 )商的關(guān)系：t a n a =

3、,c o t a =,a為銳角，即同一銳角的正弦與余弦的商等于正切，同一銳角的余弦與正弦的商等于余切。注意：(1)這些關(guān)系式都是恒等式，正反均可運(yùn)用，同時(shí)還要注意它們的變形，如：I s i n A| =1 | c o s 2 Al ,1cos A|=1 s i n 2 A;(2) sin 2 a是(sina) 2的簡寫，讀作“ s i n a ”的平方； 不能將s i n 2 a寫成s i n a 2 ,前者是a的正弦值的平方， 后者表示a 2的正弦值。3、特殊角的三角函數(shù)值它們的三角函數(shù)值如下表：特殊角有0a 三啟函數(shù)值0 °3 0 °4 5 °6 0 

4、6;9 0 °s i na01cos a10tan a01不存在cot a不存在10汪思：記憶特殊角的三角函數(shù)值，可用下述方法：0 °、3 0 °、4 5 °、6 0 °、9 0 °的正弦值分別是它們的余弦值分別是3 0 °、4 5 °、6 0 °的正切值分別是它們的余切值分別是4、互為余角的三角函數(shù)之間的關(guān)系(誘導(dǎo)公式)若/A + /B= 9 0 ° 則sinA=cos (90° A) =cosB任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值任意銳角的余弦值等于它的cosA=s in (90&

5、#176; A) =s inB余角的正弦值tanA=cot (90° A) =cotB任意銳角的正切值等于它的余角的余切值cot A= tan (90° A) =tanB任意銳角的余切值等于它的余角的正切值5、用計(jì)算器計(jì)算三角函數(shù)值用計(jì)算器求已知銳角的三角函數(shù)值和由三角函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的銳角是必須掌握的。6、三角函數(shù)值的變換范圍及規(guī)律(1 )當(dāng) 0 ° V a V 9 0 ° 時(shí)，s i n a、tana 隨著a的增大(或減小)而增大(或減小)，cosa、cota 隨著a的增大(或減小)而減小(或增大)；(2)當(dāng) 0°Wa090° 時(shí)，O

6、WsinaWl, OWcosaWl。7、直角三角形的邊角關(guān)系(1)三邊之間的關(guān)系：a 2+b2=c2 (勾股定理)；(2)銳角之間的關(guān)系：/ A + /B=9 0° ;(3 )邊角之間的關(guān)系：sinA= ,cosA= ,tanA =c o t A = o8、解直角三角形的概念及基本類型(1)概念：在直角三角形中，用除直角外的已知元素， 求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。注意：在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即3條邊和2個(gè)銳角。(2)解直角三角形的兩種基本類型已知兩邊長；已知一銳角和一邊。 注意: 已知兩銳角不能解直角三角形。9、解直角三角形的方法“有斜(斜邊)用弦(

7、正弦、余弦)，無斜用切(正切、余切，寧乘毋除，取 原避中)，”這幾句話的意思是：當(dāng)已知或求解中有斜邊時(shí)，就用正弦或余弦，無 斜邊時(shí)，就用正切或余切；當(dāng)所求的元素既可用乘法又可用除法時(shí)，則用乘法， 不用除法；既可以由已知數(shù)據(jù)又可由中間數(shù)據(jù)求解時(shí)，則用已知數(shù)據(jù)，盡量避免 用中間數(shù)據(jù)。1 0、解非直角三角形的方法對(duì)于非直角三角形，往往要通過作輔助線構(gòu)造直角三角形來解，作輔助線的一般思路是：(1 )作垂線構(gòu)成直角三角形；(2)利用圖形本身的性質(zhì)，如等腰三角形頂角平分線垂直于底邊。1 1、解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用的步驟(1 )審題分析題意，理解實(shí)際問題的意義，看懂題目給出的示意圖或自己畫出的示意 圖，找出要解的直角三角形；把實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系， 轉(zhuǎn)移到直角三角形的各元素上， 找出已知元素和 未知元素；根據(jù)已知元素和未知元素之間的關(guān)系，選擇合適的三角函數(shù)關(guān)系式。(2 )解題注意精確度(3 )答注意答的完整及注明單位田、本章數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合思想：此部分內(nèi)容經(jīng)常用到數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)于每一個(gè)題都可結(jié)合圖形 分析，會(huì)更清楚簡捷。數(shù)與形相結(jié)合，是問題清晰，思路簡捷有條 理，是幾何知識(shí)中最常用的思想方法之一，也是最應(yīng)該堅(jiān)持實(shí)施的 方法。從特殊到一般的歸納總結(jié)法