2022屆江蘇省南通市高三下學(xué)期3月模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

1、 2022屆江蘇省南通市高三下學(xué)期3月模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.本試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)的實部與虛部的和為12，則A.3B.4C.5D.63.已知隨機(jī)變

2、量服從正態(tài)分布，若，則A.0.2B.0.4C.0.6D.0.84.已知菱形的邊長為4，是的中點，則A.24B.C.D.5.函數(shù)在其定義域上的圖象大致是A. B. C. D. 6.第24屆冬季奧運會將于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省張家口市舉行.現(xiàn)要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國家高山滑雪館、國家速滑館、首鋼滑雪大跳臺三個場館參加活動，要求每個場館都有人去，且這四人都在這三個場館，則甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數(shù)為A.12B.14C.16D.187.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于我國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng).1852年，英國傳教士偉烈亞力將該

3、解法傳至歐洲，1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.此定理講的是關(guān)于整除的問題，現(xiàn)將1到2021這2021個數(shù)中，能被2除余1且被5除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則該數(shù)列共有A.202項B.203項C.204項D.205項8.已知是可導(dǎo)的函數(shù)，且，對于恒成立，則下列不等關(guān)系正確的是A.，B.，C.，D.，二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.09.已知正實數(shù)，滿足，則下列不等式恒成立的是A.B

4、.C.D.10.已知是拋物線的焦點，是拋物線上的兩點，為坐標(biāo)原點，則A.若，則的面積為B.若垂直的準(zhǔn)線于點，且，則四邊形的周長為C.若直線過點，則的最小值為1D.若，則直線恒過定點11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是A.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減B.當(dāng)時，函數(shù)沒有最值C.對任意，函數(shù)恒有兩個極值點D.對任意，過原點且與相切的直線恒有兩條12.如圖，直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長為3，分別是，的中點，過點，的平面記為，則A.平面截直四棱柱所得截面形狀為四邊形B.平面截直四棱柱所得截面的面積為C.平面將直四棱柱分割成的上、下兩部分的體積之比為4725D.點到平面的距離與點到平面的距離之比為13三、

5、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.實數(shù)，滿足，則的最小值為_.14.2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”，有著可愛的外表和豐富的寓意，深受各國人民的喜愛.某商店有4個不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3個不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜臺上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此間隔排列，則不同的排列方法種數(shù)為_.（用數(shù)字作答）15.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，若對一切恒成立，則實數(shù)的最大值為_.16.某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)生需測量某零件中圓弧的半徑.如圖，將三個半徑為20cm的小球放在圓弧上，使它們與圓弧都相切，左右兩個小球與中間小球相切.利用“十”字尺測得

6、小球的高度差為8cm，則圓弧的半徑為_cm.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知數(shù)列滿足：，且_，其中，從，三個條件中任選一個填入上面的橫線中，并完成下列問題解答.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項和，求.18.（10分）在中，角，的對邊分別為，；，.（1）求的值；（2）若的外心在其外部，求外接圓的面積.19.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，點，動點到點的距離是它到直線的距離的2倍，記的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點且斜率大于的直線交于兩點，點，連接、交直線于、兩點，證明：點在以為直徑的圓上.20.（1

7、2分）黃石新華書店為了了解銷售單價（單位：元）在內(nèi)的圖書銷售情況，從2020年已經(jīng)銷售的圖書中隨機(jī)抽取100本，用分層抽樣的方法獲得的所有樣本數(shù)據(jù)按照、分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知樣本中銷售單價在內(nèi)的圖書數(shù)是銷售單價在內(nèi)的圖書數(shù)的2倍.（1）求出與；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計這100本圖書銷售單價的平均數(shù)、中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表）；（3）根據(jù)頻率分布直方圖從銷售單價價格低于12元的書中任取2本，求這2本書價格至少有1本低于10元的概率.21.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，點，分別為線段，上的點，.（1）求證：當(dāng)點不與點，重合時，四點共面.（2）當(dāng)

8、，二面角的大小為時，求的長.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若，且的極值在處取得，證明：.數(shù)學(xué)參考答案及解析1.B 【分析】通過解不等式分別求出集合與，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】由得，則集合，由得，則集合，所以.故選：B.2.C 【分析】先把已知化簡，整理出復(fù)數(shù)的實部與虛部，接下來去求即可解決.【詳解】，則有，解得，則，故.故選：C3.D 【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)進(jìn)行求解即可. 【詳解】因為，所以，故選：D4.D 【解析】根據(jù)平面向量的基本定理，將用基底，表達(dá)，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式求解即可.【詳解】由已知得，所以，.因為在菱形中，所以.又因為菱形的邊長為4，所

9、以，所以.故選：D【點睛】本題考查平面向量的線性運算及向量的數(shù)量積，考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想.5.C 【分析】利用函數(shù)的奇偶性，以及特殊點的函數(shù)值符號即可由排除法選出正確圖象.【詳解】，所以函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故排除選項A、D， 因為當(dāng)時，又因為時，所以，所以，故在區(qū)間與軸有三個交點，故排除B.故選：C.6.B 【分析】根據(jù)給定條件利用分類加法計數(shù)原理結(jié)合排列、組合知識計算作答.【詳解】因甲和乙都沒去首鋼滑雪大跳臺，計算安排種數(shù)有兩類辦法：若有兩個人去首鋼滑雪大跳臺，則肯定是丙、丁，即甲、乙分別去國家高山滑雪館與國家速滑館，有種；若有一個人去首鋼滑雪大跳臺，從丙、丁中選，有

10、種，然后剩下的一個人和甲、乙被安排去國家高山滑雪館與國家速滑館，有種，則共有種，綜上可得，甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數(shù)為.故選：B7.B 【分析】由已知可得能被2除余1且被5除余1的數(shù)即為能被10除余1，進(jìn)而得通項及項數(shù).【詳解】由已知可得既能被2整除，也能被5整除，故能被10整除， 所以，即，故，即，解得，故共203項，故選：B.8.A 【分析】令，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可確定單調(diào)遞減，由此得到，代入整理可得結(jié)果.【詳解】令，則，在上單調(diào)遞減，即，.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)值大小關(guān)系的比較，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知的不等式構(gòu)造出新函數(shù)，通過單調(diào)性確定大小關(guān)系.9.ABD

11、【分析】利用基本不等式逐個對各選項進(jìn)行判斷.【詳解】對于選項A，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），故A正確；對于選項B，得（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），故B正確；對于選項C，取，則，故C錯誤；對于選項D，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），故D正確.故選：ABD【點睛】方法點睛：利用基本不等式求最值的常用方法（1）拼湊法，即將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形，通過添項、拆項、變系數(shù)等方法湊成和為定值或者積為定值的形式，然后利用基本不等式求解問題.該方法的實質(zhì)在于對代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.（2）常數(shù)代換法，利用此方法求最值時要注意目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，看是否需要整體乘以“1”的替身.該方法的關(guān)鍵是找到常數(shù)，從而找到結(jié)

12、果為“1”的式子.（3）消元法，即先根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式，再進(jìn)行最值的求解.利用此方法時要注意新變量取值范圍的確定.10.ACD 【分析】利用拋物線焦點弦的性質(zhì)，可判定A，C正確；利用拋物線的定義，數(shù)形結(jié)合求解四邊形的周長，可判定判斷B不正確；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求得的值，可判定D正確.【詳解】對于選項A中，設(shè)，由焦半徑公式得，解得，所以，所以，所以A正確；對于選項B中，由題意知，根據(jù)拋物線的定義可知，設(shè)與軸的交點為，易知，故所以四邊形的周長為，所以B錯誤；對于選項C中，若直線過點，則當(dāng)軸時，最小，且最小值為1，所以C正確；對于選項D，設(shè)

13、直線，聯(lián)立直線與拋物線方程得，則，所以，由可得，即，解得，故直線的方程為，即直線恒過定點，選項D正確.故選ACD.【點睛】對于拋物線的焦點弦的性質(zhì)的結(jié)論拓展：若是一條過拋物線焦點的弦，當(dāng)所在直線的傾斜角為，設(shè)，可得，則，弦長；同時通徑是指過拋物線的焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦，弦長等于，且通徑是過焦點的最短的弦.11.AC 【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值，從而判斷選項A，B，C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的方程，分析切線的斜率，從而判斷選項D.【詳解】對于A選項，當(dāng)時，則，當(dāng)時，恒有，因此在上單調(diào)遞減，故A正確；對于選項B，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時

14、，故無最大值，又當(dāng)時，且，故有最小值，且最小值在處取得，故B錯誤；對于選項C，由題可得，令，因為，所以，即存在兩個不同的根，所以恒有兩個極值點，故C正確；對于選項D，設(shè)切點為，則切線方程為，因為該切線過原點，所以，即，即，當(dāng)時，方程有唯一解，即，所以當(dāng)時，過原點且與相切的直線只有一條，故D錯誤.故選：AC.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、最值，判斷極值，求切線方程，解題的關(guān)鍵是正確求出導(dǎo)數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，清楚導(dǎo)數(shù)的幾何意義.12.BC 【分析】作出截面可判斷A選項；將五邊形分割為正三角與等腰梯形求出面積判斷B，平面將直四棱柱分割成的上、下兩部分的體積分別為，利

15、用計算求解即可判斷C，根據(jù)直線上點的比例關(guān)系可得點到平面的距離間的關(guān)系即可判斷D.【詳解】如圖，延長分別與，的延長線交于點，連接，交于點，連接，交于點，連接，則平面截直四棱柱所得截面為五邊形，故A錯誤；由平行線分線段成比例可得，故，則為等腰直角三角形，由相似三角形可知，故，則，連接，易知，因此五邊形可以分成等邊三角形和等腰梯形，等腰梯形的高，則等腰梯形的面積為，又，所以五邊形的面積為，故B正確；記平面將直四棱柱分割成的上、下兩部分的體積分別為，則，所以，則，故C正確；因為平面過線段的中點，所以點到平面的距離與點到平面的距離相等，由平面過的三等分點可知，點到平面的距離是點到平面的距離的2倍，因此

16、點到平面的距離是點到平面的距離的2倍，故D錯誤.故選：BC13.8 【分析】利用基本不等式可求的最小值.【詳解】因為，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故的最小值為8，故答案為：8.14.144 【分析】根據(jù)間隔排列知兩端均為“冰墩墩”，可以先排【詳解】先排“冰墩墩”中間有三個空，再排“雪容融”，則.故答案為：144.15. 【分析】根據(jù)題設(shè)條件畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可求實數(shù)的最大值.【詳解】因為，故的圖象關(guān)于中心對稱當(dāng)時，故的圖象如圖所示：結(jié)合圖象可得：只需當(dāng)時，即可，即，故，故答案為：.16.120 【詳解】如圖所示，設(shè)圓弧圓心為，半徑為，三個小球的球心自左至右分別為，設(shè)，由題意可知，且，

17、即，所以，解得，故答案為：120.17.答案見解析.【分析】（1）選：根據(jù)題意得到，利用等比數(shù)列的通項公式，求得，即可求解；選：根據(jù)題意，得到，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解； 選：根據(jù)題意得到對于恒成立，進(jìn)而求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）化簡的得到，結(jié)合裂項法求和，即可求解.【詳解】（1）若選：因為數(shù)列滿足，可得，即公比，且，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，可得，故；若選：數(shù)列滿足，當(dāng)時，因為，可得.當(dāng)時，滿足，故；若選：數(shù)列滿足，所以對于恒成立，則必有：，所以.（2）由題意及（1）知：，所以.18.（1）0或；（2）.【分析】（1）利用余弦定理列方程，化簡求得，的關(guān)系式，由此

18、求得.（2）利用正弦定理求得外接圓的半徑，進(jìn)而求得外接圓的面積.【詳解】（1）依題意，由余弦定理得，所以或.當(dāng)時，.當(dāng)時，.（2）若的外心在其外部，則不符合題意.當(dāng)時，為鈍角，符合題意.，設(shè)三角形外接圓的半徑為，由正弦定理得，所以外接圓的面積為.19.（1）（2）證明見解析【分析】（1）設(shè)，由已知可得，化簡可得曲線的方程；（2）設(shè)、，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出、，計算出，即可證得結(jié)論成立.（1）解：設(shè)，由題意得，化簡得，所以曲線的方程為.（2）證明：設(shè)、，設(shè)直線的方程為且，聯(lián)立得，由韋達(dá)定理可得，因為點在直線上，則，即，可得，同理可得，所以，故點在以為直徑的圓上.20.（

19、1），；（2）平均數(shù)為14.9（元），中位數(shù)為15；（3）.【解析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，可解出這兩個未知數(shù)的值；（2）在頻率分布直方圖中，將每個矩形底邊的中點值乘以對應(yīng)矩形的面積，再將所得結(jié)果全加可得出樣本的平均數(shù)，利用中位數(shù)左邊矩形的面積和為0.5可求得樣本的中位數(shù)；（3）利用組合數(shù)公式以及對立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】（1）樣本中圖書的銷售單價在內(nèi)的圖書數(shù)是，樣本中圖書的銷售單價在內(nèi)的圖書數(shù)是，依據(jù)題意，有，即，根據(jù)頻率分布直方圖可知，由得，；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計這100本圖書銷售單價的平均數(shù)為（元），Q，故可判斷中位數(shù)在之間，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故中位數(shù)為15；（3）銷售單價價格低于12元的書共有本，其中銷售單價價格低于10元的書共有本，從銷售單價價格低于12元的書中任取2本，這2本書價格都不低于10元共有種，因此，所求事件的概率為.【點睛】方法點睛：求古典概型概率的方法的如下：（1）列舉法；（2）數(shù)狀圖法；（3）列表法；（4）排列組合數(shù)的應(yīng)用.21.（1）詳見解析；（2）.【分析】（1）易證平面，得到，平面，平面，得到，再結(jié)合四邊形為正方形，利用平面的基本性質(zhì)證明；（2）以為原點，分別以，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的一個法向量為，平面的一個法向