三方程組ppt課件

1、線性方程組線性方程組一一. 基本概念題基本概念題). ( | ) 1( 1的增廣矩陣為矩陣，求為有解，其中元非齊次線性方程組設(shè)例AAAnnAbAxn. 0| 1)()( AnnArArbAx，從而有解，故因?yàn)榻? 02, 0, 0 2kzyxzkyxzykx有非零解，求若例. 4 1 0| 11211113)( 0 kkAkkAnArAx或，解得，故有，又有非零解，所以因?yàn)榻? )4 , 3 , 2 , 1 ()5 , 4 , 3 , 2( ,3 3321321的通解，求，是它的三個(gè)特解，且，為的秩的系數(shù)矩陣組設(shè)四元非齊次線性方程例AxAAxTT. 0 3)(4 的基礎(chǔ)解系含一個(gè)向量，故，因?yàn)?/p>

2、解AxArn 0 0 )6 , 5 , 4 , 3()(2 )3 ,25, 2 ,23(2 321321的一個(gè)基礎(chǔ)解系，的解，從而為為或又AxAxTT.,)6 , 5 , 4 , 3()5 , 4 , 3 , 2( ,) 3 ,25, 2 ,23()5 , 4 , 3 , 2( 1RkkRkkkAxTTTT或或的通解為所以方程組二二. 求解線性方程組求解線性方程組1. 求 Ax=0 的通解或基礎(chǔ)解系步驟：(1) 寫出系數(shù)矩陣 A 并對(duì)其作初等行變換化為行最簡(jiǎn)形式同時(shí)得到 r(A)，這樣也就可以確定基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)）；(2) 由行最簡(jiǎn)形式確定自由未知量并寫出與原方程組同解的方程組；(3)

3、 對(duì)自由未知量賦值，求出基礎(chǔ)解系有幾個(gè)自由未知量，就應(yīng)賦幾組值，將其視為向量組，它們是線性無(wú)關(guān)的）.2. 求 Ax=b 的通解當(dāng)有解時(shí)，則，判斷是否有解及為行最簡(jiǎn)形式，求出并用初等行變換將其化寫出增廣矩陣步驟： .)( )( ) 1 (ArArA(2) 由行最簡(jiǎn)形式寫出同解方程組，求出 Ax=0 的基礎(chǔ)解系及 Ax=b 的一個(gè)特解；(3) 寫出通解.23657,112 3, 3 , 4342 4432143214314321xxxxxxxxxxxxxxx求解方程組例2365171121133110143412 A解，行變換00000000002121031101. 224 02)()( 個(gè)解向

4、量的基礎(chǔ)解系含對(duì)應(yīng)齊次方程組，方程組有無(wú)窮多解且故AxArAr對(duì)應(yīng)的同解方程組為）（* . 22, 3432431xxxxxx.)0 , 0 , 2, 3(* 0 43Txx，得特解取.) 1 , 0 , 1, 1 ( ,)0 , 1 , 2 , 1( 11 2 110 01 212143TTxxxx基礎(chǔ)解系為，從而導(dǎo)出組的，故，取. ,* 212211為任意常數(shù)方程組的通解為kkkk注：1. 在求解線性方程組時(shí)，一定要將系數(shù)矩陣或增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形式，這樣有利于求解.2. 根據(jù)同解方程組（*）式寫對(duì)應(yīng)齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系時(shí)，不要將常數(shù)加進(jìn)去.三三. 特殊方程組的求解特殊方程組的求解

5、. ,)0 , 0 , 1 (1 )( 511的解求方程組，是實(shí)正交陣，且設(shè)例bAxbaaATnnij，由正交陣的定義知：又有惟一解，所以方程組為正交陣，故由于解1 . )( )( 11abAxnAraAnnij,0000013222322nnnnnaaaaaaA方程組為：. 0, 0, 12222221nnnnnnxaxaxaxax. )0 , 0 , 1 ( 為其唯一解故T. 132 032 6321321的全部解的基礎(chǔ)解系，并求求例nnnxxxxnxxxx. 1 01)( 321 個(gè)解向量礎(chǔ)解系含的基，方程組，故解nAxArnA，取因?yàn)?32( 321nnxxxx,100,010,001

6、32nxxx. 100,0103,0012 121為一個(gè)基礎(chǔ)解系則nn-，其全部解可表示為特解的一個(gè)是顯然 132 ,0)(1,0,* 321nTnxxxx. 1, 2 , 1,*1111niRkkkinn四四. 含參數(shù)的方程組含參數(shù)的方程組.)()( . . . . 確定參數(shù)值件法，這時(shí)依據(jù)有解的條其他情形常用初等變換一般方程組方程組化為不含參數(shù)的數(shù)值，從而將含參數(shù)的方程確定出參系數(shù)行列式等于零這一式等于零時(shí)，我們可由而當(dāng)系數(shù)行列時(shí)，方程組有惟一解；即當(dāng)系數(shù)行列式不為零則，其理論依據(jù)為克萊姆法列式法容易求出時(shí)更是首選行或系數(shù)行列式式法，特別當(dāng)階數(shù)較小參數(shù)時(shí)，?？紤]用行列且系數(shù)中含有數(shù)，即系數(shù)

7、矩陣為方陣未知數(shù)個(gè)數(shù)等于方程個(gè)當(dāng)?shù)茸儞Q法一是行列式法，二是初有兩種方法確定參數(shù)：一般而言，解之前要先確定參數(shù)對(duì)含參數(shù)的方程組，求ArAr.1554, 2 , 1 2 7321321321有無(wú)窮解時(shí)求其解解、有無(wú)窮多解？并在無(wú)解、有惟一為何值時(shí)，方程組例xxxxxaxxaxxa),45)(1(5541112 aaaa原方程組的系數(shù)行列式解. 54 1 時(shí)，方程組有惟一解且故當(dāng)aa. 1554, 2 , 1 2 1 321321321xxxxxxxxxa時(shí)，原方程組為當(dāng),000011101001000011102111155421111112行變換化為：對(duì)其增廣矩陣施行初等. ) 1 , 1 ,

8、0()0 , 1, 1 ( 1 為任意實(shí)數(shù)）（組解，其通解為時(shí)，原方程組有無(wú)窮多因此，當(dāng)kkaTT. 1554, 01554, 55410 54 321321321xxxxxxxxxa程組為時(shí)，原方程組的同解方當(dāng),9000105545541015541055455410 行變換化為：對(duì)其增廣矩陣施行初等. 54 時(shí)，原方程組無(wú)解由此可知當(dāng)a五五. 證明題證明題利用方程組的理論可以證明秩及向量組線性相關(guān)性的一些命題.)()( 0 , 8nBrArABnBA ，證明階方陣，且均為設(shè)例的解，故為方程組，則，設(shè)因?yàn)樽C 0 , ),( 0 11AxBABnn).(),(1Arnrn.)()( )()(

9、nBrArArnBr，從而有即. , 0 0 911是線性無(wú)關(guān)的，證明向量組，且有解向量，使線性方程組階矩陣，若存在正整數(shù)是設(shè)例kkkAAAxAknA) 1 ( , 0 , 12121kkkAA使得設(shè)有常數(shù)證, 0 222111kkkkkAAAA，有等式兩端左乘. 0 0 00 1111，所以，但，有由kkkAAA(2) , 0 ) 1 ( 0 121kkAA式，得代入將, 0 32122kkkkAAA，有等式兩端左乘. 0 . 0 03212kkA類似地可求得，故有從而有. , 1是線性無(wú)關(guān)的因此向量組kAA).()( 9AArArnmAT 階矩陣，證明為設(shè)例 . 0 0 同解與只需證明方程

10、組證AxAAxT).()( 0 0 . 0 0)()(0 0 0 AArArAxAAxAAAAAAAATTTTT同解，所以與因此，從而，則；反之，若，顯然有若六六. 應(yīng)用題應(yīng)用題利用方程組的理論可以解決向量間的線性表示問(wèn)題及幾何中線、面關(guān)系問(wèn)題.) , 3 , , 1 (,)3 , 2 , 1 , 1 (,)4 , 1 , 2 , 1 (,)5 , 0 , 3 , 1 ( 10321TTTTba設(shè)例. , ,)2(. , , ) 1 (321321線性表示不能用取何值時(shí)，式線性表示？并求出表示能用取何值時(shí)，baba, 321321332211Axxxxxxx，則有設(shè)解.,34521012311

11、1 321321xxxxA其中. , 321有解的問(wèn)題是否線性表示轉(zhuǎn)化為方程組能否用從而AxbaAA34532101231111因?yàn)?210321032101111ba.200000032101111abaa. , 2 0 321線性表示不能用時(shí)，方程組無(wú)解，從而或故當(dāng)aba此時(shí)性表示線可由時(shí)，方程組有解，從而，且當(dāng) . , 2 0 321ba,00000000321021010000000032101111A.) 1 , 2, 1 ()0 , 3 , 2( TTk方程組的通解為. ,)23()2( , 321321為任意常數(shù)其中線性表示為可由從而kkkk注：討論向量 能否由向量組 1, 2, 3 線性表示，并進(jìn)一步求出表示式，實(shí)際上就是方程組是否有解并在有解時(shí)求出其通解的問(wèn)題.例10 在直角坐標(biāo)系中，三個(gè)平面的方程分別為： . 1, 1, 0kzykxzkyxkzyx 問(wèn)：當(dāng)k為何值時(shí)，三個(gè)平面(1)交于一點(diǎn)；(2)沒(méi)有交點(diǎn)； (3)交于一條直線。 .1, 1, 0kzykxzkyxkzyx110,111111kbzyxXkkkAbAX 2)2)(1(001110011111111