正方形的性質(zhì)

1、達(dá)連河鎮(zhèn)第一中學(xué)：汪多敏達(dá)連河鎮(zhèn)第一中學(xué)：汪多敏正方形正方形菱形菱形正方形正方形正方形是特殊的菱形正方形是特殊的菱形 正方形是特殊的矩形正方形是特殊的矩形 有有一組鄰邊相等一組鄰邊相等且且有一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角的的平平行四邊形行四邊形叫做正方形。叫做正方形。 一、正方形的定義：一、正方形的定義：_的菱形是正方形的菱形是正方形 _的矩形是正方形的矩形是正方形由正方形的定義可知：由正方形的定義可知：有一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等四邊形四邊形平行四邊形平行四邊形矩形矩形菱形菱形正方形正方形完成下圖：完成下圖：特殊的平行四邊形特殊的平行四邊形特殊的矩形特殊的矩形特殊的菱

2、形特殊的菱形二、正方形的性質(zhì)二、正方形的性質(zhì): 四條邊都相等四條邊都相等且對(duì)且對(duì)邊平行邊平行;兩條對(duì)角線互相垂直平分兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等且相等,并且每一條對(duì)角線并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角平分一組對(duì)角.四個(gè)角都是直角四個(gè)角都是直角; 1、邊：、邊：2. 2. 角角: :3.對(duì)角線對(duì)角線:OABCD(A)(B)(C)(D)4、既是既是軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形也是也是中心對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形有四條對(duì)稱軸有四條對(duì)稱軸OABCD(A)(B)(C)(D) 求證求證: : 正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形. .第一步第

3、一步: :根據(jù)題意畫出圖形根據(jù)題意畫出圖形第二步第二步: :寫出已知寫出已知第三步：寫出求證第三步：寫出求證第四步第四步: :進(jìn)行證明進(jìn)行證明這是一道文字證明題這是一道文字證明題,該怎么做該怎么做?你會(huì)做嗎你會(huì)做嗎?ADCBO已知已知: :如圖如圖, ,四邊形四邊形ABCDABCD是正方形是正方形, ,對(duì)角線對(duì)角線ACAC、BDBD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O.O. 求證求證: :ABOABO、 BCOBCO、 CDOCDO、 DAODAO是全等的等腰直角三角形是全等的等腰直角三角形. .證明證明: 四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形, AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO

4、、 CDO、 DAO都都是等腰直角三角形是等腰直角三角形,并且并且 ABO BCO CDO DAO分析分析:利用正方形的性質(zhì)利用正方形的性質(zhì),對(duì)角線互相垂直平分且相對(duì)角線互相垂直平分且相等等,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.平分平分可以產(chǎn)生可以產(chǎn)生線段等量線段等量關(guān)系關(guān)系,垂直垂直可以產(chǎn)生可以產(chǎn)生直角直角,于是可以得到四個(gè)全等的等于是可以得到四個(gè)全等的等腰直角三角形腰直角三角形.1 1、正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是、正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是( )( ) A A、四個(gè)角相等、四個(gè)角相等. . B B、對(duì)角線互相垂直平分、對(duì)角線互相垂直平分 C C、對(duì)角互補(bǔ)、對(duì)角互補(bǔ)

5、. . D D、對(duì)角線相等、對(duì)角線相等. .2 2、正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（、正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（ ） A A、四條邊相等、四條邊相等. . B B、對(duì)角線互相垂直平分、對(duì)角線互相垂直平分. . C C、對(duì)角線平分一組對(duì)角、對(duì)角線平分一組對(duì)角. . D D、對(duì)角線相等、對(duì)角線相等. .BD嘗試練習(xí)：嘗試練習(xí)：3.3.一個(gè)正方形的面積等于一個(gè)正方形的面積等于8 8，則其對(duì)角，則其對(duì)角線的長(zhǎng)為線的長(zhǎng)為 425 5、正方形、正方形ABCDABCD的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為2 2，對(duì)角線，對(duì)角線ACAC、BDBD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O O，AEAE平分平分BACBAC交交BDBD于于E E，

6、則，則DEDE的的長(zhǎng)為長(zhǎng)為2A AB BC CD DO OE EEBCDA6.6.如圖，已知正方形如圖，已知正方形ABCDABCD，以，以ABAB為邊向正為邊向正方形外作等邊三角形方形外作等邊三角形ABEABE，連結(jié)，連結(jié)DEDE，CECE，則則DEC=DEC= 度度。7.7.如圖，已知正方形如圖，已知正方形ABCDABCD內(nèi)有一個(gè)內(nèi)有一個(gè)BEFBEF，AB=6AB=6，AFAFFD=1FD=12 2，E E為為DCDC的中點(diǎn)，則的中點(diǎn)，則BEFBEF的面積的面積= = 。ABCDFE（7)7)8.8.如圖，正方形如圖，正方形ABCDABCD的對(duì)角線的長(zhǎng)為的對(duì)角線的長(zhǎng)為1010，M M是是AB

7、AB邊上的一點(diǎn)，且邊上的一點(diǎn)，且MEMEACAC于于E E，MFMFBDBD于于F F，則，則ME+MF= .ME+MF= .9 9、正方形、正方形ABCDABCD中，中，M M為為ADAD中點(diǎn)，中點(diǎn)，MEBDMEBD于于E E，MFACMFAC于于F,F,若若ME+MF =8cmME+MF =8cm，則，則AC=AC=_. .16cm5MABCDEFOFEMCBADOE EF F證證D0ED0EC0F(ASA)C0F(ASA)111.11.已知：如圖，正方形已知：如圖，正方形ABCDABCD的對(duì)角線相交的對(duì)角線相交于點(diǎn)于點(diǎn)O O，M M、N N在在OBOB和和OCOC上，且上，且MNBCMN

8、BC，連結(jié)，連結(jié)DNDN、MCMC，試猜想，試猜想DNDN與與MCMC有什么關(guān)系？并證明有什么關(guān)系？并證明你的猜想。你的猜想。NMODCBA又又MNABMNABOMNOMN1 1BCOBCOONMONM4545 OMOMONON12證明：證明：四邊形四邊形ABCDABCD是正方形是正方形OCOCOD , OD , COD=COD=COB=90COB=90 11BCOBCO4545COMCOMDON(SAS)DON(SAS)DNDNMCMCH3答：答：DNDNMC DNMC DNMCMC（2 2）由）由COMCOMDONDON得得2=32=3又又3+CMO=903+CMO=902+CMO=902

9、+CMO=90DHM=90DHM=90DNDNMCMC(1)(1)證證ADEADECDG(SAS)CDG(SAS)13.13.在正方形在正方形ABCDABCD中，點(diǎn)中，點(diǎn)P P是對(duì)角線是對(duì)角線ACAC上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，PEABPEAB，PFBCPFBC，垂足分別，垂足分別是點(diǎn)是點(diǎn)E E、F.F.求證：求證：DP=EFDP=EFFEPDCBA證明：證明：連接連接PB又又PEPEAB ， PFBC四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形ABC=90ABC=90,AD=AB, DAP=BAP=45PEB=PFB=90PEB=PFB=90四邊形四邊形PECF是矩形是矩形PB=EF又又AP=APADEADEC

10、DG(SAS)CDG(SAS)PD=PBPD=EF14.14.在正方形在正方形ABCDABCD中，中，P P為為BCBC邊上一點(diǎn)，邊上一點(diǎn)，Q Q為為CDCD邊上一點(diǎn)，如果邊上一點(diǎn)，如果PQ=BP+DQPQ=BP+DQ，求，求PAQPAQ的度數(shù)的度數(shù). .QPDCBA15.15.如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD為正方形為正方形,EBAC,EBAC，EC=ACEC=AC，E E在在FBFB上，求上，求ECBECB的度數(shù)。的度數(shù)。BCDEAO數(shù)一數(shù)圖中正方形的個(gè)數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么數(shù)一數(shù)圖中正方形的個(gè)數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？多多多多多多 （）個(gè)（）個(gè)（）個(gè) （）個(gè)第第n個(gè)圖中正方形有個(gè)圖中正方形有

11、個(gè)個(gè)3n-1長(zhǎng)見識(shí)長(zhǎng)見識(shí)第十九章第十九章 四邊形四邊形【例例1 1】已知：如圖1，正方形ABCD中，對(duì)角線的交點(diǎn)為O.（1）E是AC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AGBE于G，AG、BD交于點(diǎn)F.求證：OE=OF.（2）若點(diǎn)E在AC上的延長(zhǎng)線上（如圖2），過點(diǎn)A做AGBE交EB的延長(zhǎng)線于G，AG的延長(zhǎng)線交BD于點(diǎn)F，其它條件不變，OE=OF還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.圖1ABCD圖19-106OFGBDACE圖219.2.3正方形【解析】（1）要證明OE=OF，只需證明BOEAOF，要證BOEAOF，利用正方形性質(zhì)即可；第（2）問和第（1）問圖形雖然有所變化，但實(shí)質(zhì)一樣，也可通過證BOEAOF，從而得到OE=OF.【例2】已知：如圖3，四邊形ABCD是正方形，分別過點(diǎn)A、C兩點(diǎn)l1l2，作BMl1于M，DNl1于N，直線MB、DN分別交l2于Q、P點(diǎn)求證：四邊形PQMN是正方形. 圖319.2.3正方形【答案答案】證