數(shù)學(xué)分析第二章數(shù)列極限

1、數(shù)學(xué)分析教案第二章數(shù)列極限教學(xué)目的：1 .使學(xué)生建立起數(shù)列極限的準(zhǔn)確概念，熟練收斂數(shù)列的性質(zhì)；2 .使學(xué)生正確理解數(shù)列收斂性的判別法以及求收斂數(shù)列極限的常用方法，會(huì)用數(shù)列極限的定義 證明數(shù)列極限等有關(guān)命題。要求學(xué)生：逐步建立起數(shù)列極限的斯概念.深刻理解數(shù)列發(fā)散、單調(diào)、有界和無窮小數(shù)列等有關(guān)概念.會(huì)應(yīng)用數(shù)列極限的E 定義證明有關(guān)命題，并能運(yùn)用 -浦語言正確表述數(shù)列不以某定數(shù)為極限等相 應(yīng)陳述；理解并能證明收斂數(shù)列、極限唯一性、單調(diào)性、保號(hào)性及不等式性質(zhì)；掌握 并會(huì)證明收斂數(shù)列的四則運(yùn)算定理、迫斂性定理及單調(diào)有界定理，會(huì)用這些定理求某 些收斂數(shù)列的極限；初步理解柯西準(zhǔn)則在極限理論中的重要意義，并逐

2、步學(xué)會(huì)應(yīng)用柯 西準(zhǔn)則判定某些數(shù)列的斂散性；教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：本章重點(diǎn)是數(shù)列極限的概念；難點(diǎn)則是數(shù)列極限的 E-"定義 及其應(yīng)用.教學(xué)時(shí)數(shù)：14學(xué)時(shí)§ 1數(shù)列極限的定義教學(xué)目的：使學(xué)生建立起數(shù)列極限的準(zhǔn)確概念；會(huì)用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極 限等有關(guān)命題。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：數(shù)列極限的概念，數(shù)列極限的N定義及其應(yīng)用。教學(xué)時(shí)數(shù)：4學(xué)時(shí)一、引入新課：以齊諾悖論和有關(guān)數(shù)列引入一一二、講授新課：（一）數(shù)列：1數(shù)學(xué)分析教案1 .數(shù)列定義一一整標(biāo)函數(shù).數(shù)列給出方法：通項(xiàng)，遞推公式.數(shù)列的幾何意義.2 .特殊數(shù)列：常數(shù)列，有界數(shù)列，單調(diào)數(shù)列和往后單調(diào)數(shù)列.（二） 數(shù)列極限：以露=1寸口匚為例.J

3、用定義（描% =以的“ 5拉”定義）定義（數(shù)列&J收斂的“ eW定義）注：1.關(guān)于£：日的正值性，任意性與確定性，£以小為貴；2.關(guān)于M : N的存 在性與非唯一性,對(duì)卻只要求存在,不在乎大小.3.同/ 二厚的幾何意義.（三）用定義驗(yàn)證數(shù)列極限：講清思路與方法.例 1.1: - IJ w K例2如/ = 0,|夕< L左1c 1-2理'一藺十 32例 3 lj ,一me-42盟 +1 3例 4 Ln . - Je 4*證 Y1- I一：一神-1）（拓-2）守 心§3注意到對(duì)任何正整數(shù) 匕足2上時(shí)有?2-k> ,就有a /6黯6內(nèi)跑 6將

4、, 42 1 , 10 -丁 = ,一一4*27庫(kù)(用-1)(對(duì)-2) 27 (« -1)(« - 2)27 / 27 n 總于是，對(duì) Vm。？取 M = max 4 , J : 例 5.：-、；,一證法一 令 物-1 = %,有口再0.用Bernoulli不等式，有21_ -1值三（1十口尸21十內(nèi)。0三1十盟口" -1）, 或?？? -1 - n n證法二（用均值不等式）。短7尸-1/"7 7=匚巴.V 口Tk迄 注證 首2 2時(shí)，QF-'NW石產(chǎn)_"2石+x-21.2石-2庫(kù)庫(kù) J，1 M例7 設(shè)lim /三4，A三一1 證明扁4

5、=4 *-*幫甘ZB（四）收斂的否定：定義（lirn % m。的"曰-N ”定義）.定義（數(shù)列4）發(fā)散的“ £一2'定義）.例8驗(yàn)證ta塵1H 0.（五）數(shù)列極限的記U :1. 滿足條件“七VE0,用>N =>彩-療|< E "的數(shù)列2. 改變或去掉數(shù)列的有限項(xiàng)，不影響數(shù)列的收斂性和極限.重排不改變數(shù)列 斂散性：3. 數(shù)列極限的等價(jià)定義：中£0,叫與內(nèi)2 M =>%-白設(shè)立三 g>0）D"對(duì)W <3心D3:任有理數(shù) 宮。，D* : 對(duì)任正整數(shù) m, 3AT, M => -Q < , m（六

6、）無窮小數(shù)列：定義.Th2.1 （數(shù)列極限與無窮小數(shù)列的關(guān)系）.§ 2 收斂數(shù)列的性質(zhì)（4學(xué)時(shí)）教學(xué)目的：熟悉收斂數(shù)列的性質(zhì)；掌握求數(shù)列極限的常用方法。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：迫斂性定理及四則運(yùn)算法則及其應(yīng)用，數(shù)列極限的計(jì)算。教學(xué)時(shí)數(shù)：4學(xué)時(shí)1 .收斂數(shù)列的性質(zhì)：1. 極限唯一性：（證）2. 收斂數(shù)列有界性收斂的必要條件：（證）3. 收斂數(shù)列保號(hào)性:Th 1 設(shè)Inn=0, lim & =五若口上，則HV, m /盟 > 瓦=> %>久一（證）系1 設(shè)&若mH,也 > 用時(shí)有匕戈< % ,=值Wb.（注意 RT心HT3“=”；并注意a三方和8 =

7、 0的情況）.系2 設(shè)郵二/ > 0 （或。）.則對(duì)引0廠口（或/廠< Q）, W 3 K->D也> M = %力（或%（埒系3 若加曳=30,則對(duì)TO/二儲(chǔ)1, 3N,中厚 > 環(huán)=> |距|）廠.絕對(duì)值收斂性見后4. 迫斂性（雙逼原理）:Th 2 （雙逼原理）.（ 證）5. 絕對(duì)值收斂性：（ 注意反之不正確）.Th 3 lirn 白川=4,二 hm | 2* = I aUTo ®IStM 力Ern % = 0, O 面 | % = 0.（證）ax B mt"'7系設(shè)數(shù)列 %和4收斂，則Inn maz ax , ） - tnax

8、 Ltn % , lun 方2），km nun an ,瓦 = mm hm 淳罡，hm ） S-J-»B->«& HTw（證明用到以下6所述極限的運(yùn)算性質(zhì)）.6. 四則運(yùn)算性質(zhì)：Th 4 （四則運(yùn)算性質(zhì)，其中包括常數(shù)因子可提到極限號(hào)外）.（ 證）7. 子列收斂性：子列概念.Th 5 （數(shù)列收斂充要條件） 4 收斂=4 的任何子列收斂于同一極限.Th 6 （數(shù)列收斂充要條件）怎收斂子列g(shù)時(shí)1和%制收斂于同一極限.Th 7 （數(shù)列收斂充要條件） %收斂子列%、 口就和森就）都收斂.（簡(jiǎn)證）2 .利用數(shù)列極限性質(zhì)求極限：兩個(gè)基本極限：Inn = Or lini/nO

9、.（ 一 X Twh "知Tg11 .利用四則運(yùn)算性質(zhì)求極限：屆一.% * 1 司 +10例 1 : .口-101一 2再2程十5關(guān)于附的有理分式當(dāng) 6時(shí)的極限情況12 -例 3,：7,-.：' 4 lun 一4 1HlE 口* 十 12.雙逼基本技法:大小項(xiàng)雙逼法，參閱4P53.例5求下列極限：(1)二-；，； i-t i； ,廠 I網(wǎng) 1 4 1 1(3) Inn .十,十, * +.T6-二石3+3 加十!例 61：- ,1>'(公一 二/二： _”1ETW弟例7 西)0, (1。4燈 求證lim +：+域 + + 靖 =ma 町，,厘J, M T-例8

10、設(shè)曲1 3存在.若lim方=。， 則由口 = 0三.利用子列性質(zhì)證明數(shù)列發(fā)散：一一，門制1-1尸川例9 證明數(shù)列 一3：十發(fā)散.§ 3 收斂條件（4學(xué)時(shí)）教學(xué)目的：使學(xué)生掌握判斷數(shù)列極限存在的常用工具。教學(xué)要求：1 .掌握并會(huì)證明單調(diào)有界定理，并會(huì)運(yùn)用它求某些收斂數(shù)列的極限;Cauchy 準(zhǔn)貝U2 .初步理解Cauchy準(zhǔn)則在極限理論中的主要意義，并逐步會(huì)應(yīng)用 判斷某些數(shù)列的斂散性。教學(xué)重點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)有界定理、Cauchy收斂準(zhǔn)則及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：相關(guān)定理的應(yīng)用。教學(xué)方法：講練結(jié)合。一.數(shù)列收斂的一個(gè)充分條件Th 1（單調(diào)有界定理）.（例1 設(shè)值 =1十十二-4,-*2W¥例

11、2 ，二，二二.一.一單調(diào)有界原理：回顧單調(diào)有界數(shù)列.證）,9 2 2）,證明數(shù)列%收斂.”,2 + 2斗二+、后（即重根號(hào)），證明數(shù)列I.f O >洋3例求亶% （計(jì)算品的逐次逼近法, 4 單調(diào)有界，并求極限.亦即迭代法）.解由均值不等式，有“.=注意到對(duì)v乩有七之而，有1.12, I-Ho收斂的充要條件Cauchy收斂準(zhǔn)則:1.Cauchy列:2.Cauchy收斂準(zhǔn)則:Th 2數(shù)列 4收斂,臺(tái),；0,遮 V儲(chǔ)小。瓦寺|繪（或數(shù)列 /收斂，勺VQQ,三葡"療配VpsN.n 鼻Th 2又可敘述為：收斂列就是 Cauchy列.（此處“就是”理解為“等價(jià)于"）.（簡(jiǎn)證必要

12、性）例4證明：任一無限十進(jìn)小數(shù) 4三0也勾（0< < 1）的不足近似值所組 成的數(shù)列瓦瓦.瓦瓦士瓦J. 4 bxwr 10 10a 1' 10 1。：10* ?收斂.其中 Ei12，、g）是QL，,9中的數(shù).瓦上瓦44為證令4 十'十"1-10 10210*io* ' ioa試證明數(shù)列例 5 設(shè) 0gL 4 g sin q + / sin + +/ sm 5.仆）收斂.證明留在下節(jié)進(jìn)行.11 1三.關(guān)于極限 11ml十一 =«: (<? *2.718285例6例7數(shù)列）!單調(diào)有界證法欣賞1（楷 7）!四.Riemann （18261

13、866）最先給出以Cauchy （1789 1857）最先給出這一極限,下證法證法一 （Riemann最先給出這一證法） 設(shè)/ =11+11應(yīng)用二項(xiàng)式展開，得1寸用（用-1）1十理（再-1）（碎-2）1寸 十并（用-1）3 2 11n 2!"31 府川 總”注意到（J |J 1 J且小+i比五多一項(xiàng)i-_L典+1 胃1I *LE）a=x）勺，即/.1十1十工十工十,，.十工<i+i+_L + _L十.，十J2! 3! 加V2 力3（典一1）花.11 fl 111一 1 一 =1 + 14+ - - 4,，4一一l + l + - - < 3.=3用有界.2J （2引 1-

14、1叫 數(shù)學(xué)分析教案14綜上，數(shù)列 “單調(diào)有界.評(píng)U:該證法樸素而穩(wěn)健，不失大將風(fēng)度.證法二（利用Bernoulli不等式）注意至U Bernoulli不等式（1+曠21中叫 S>7. m為正整數(shù)）， 有1 + - n+114-網(wǎng)41rrnxtl0+1)由-二"> 7,利用 Bernoulli 不等式，有為證怎上方有界，考慮數(shù)列隊(duì)，邛3,可類證".事實(shí)上,1+-越1J帥+1（此處利用了 Bernoulli不等式）顯然有x .有入£山£再三4. 即數(shù)列居有上界.數(shù)學(xué)分析教案17 -評(píng)U:該證法的特點(diǎn)是驚而無險(xiǎn)，恰到好處證法三（利用均值不等中，令丐

15、= = %. =1國(guó)一化4=> F.1 £勺，即公令 / =叼&T =1n -時(shí)無意義,理=2時(shí)諸弓二口一八/典. h* 斗一二；江證法四（仍利用均值不回日, f 7*】« 1 + - +1 , 1£ 冷+1W + 1式） 在均值不等式 也串35>0）« i-1十二% = L 就有 « -1卜什卜卜+:舊=師/. as = 1,可仿上證得用）3時(shí)1-L）/, （ K = 1,不能用均值不等式.） 當(dāng)打之2時(shí)，由« 1-1 K3 卜-邛/ = _!_. ="_1< 4.L HI 匕）等式）胃工i，m<j VM+1 V&qu