《集合的含義及其表示》知識梳理

1、集合的含義及其表示一、集合1 .集合某些指定的對象集在一起成為集合。(1)集合中的對象稱元素，若a是集合A的元素，記作aw A;若b不是集 合A的元素，記作b隹A;(2)集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性；確定性：設(shè)A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是 A的 元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體(對 象)，因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一一元素；無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列 順序無關(guān)；(3)表示一個集合可用列舉法、描述法或圖示法；列舉法：把集合中的元素一一列舉

2、出來，寫在大括號內(nèi)；描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號 內(nèi)。具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值 (或變化) 范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法， 要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。(4)常用數(shù)集及其記法非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N;正整數(shù)集，記作N*或N+;整數(shù)集，記作Z;有理數(shù)集，記作Q;實數(shù)集，記作Ro2 .集合的包含關(guān)系(1)集合A的任何一個元素都是集合 B的元素，則稱A是B的子集(或B 包含A),記作A三B (或Au B

3、);集合相等：構(gòu)成兩個集合的元素完全一樣。若AGB且B3A,則稱A等于B, 記作A=B;若AJB且AWB,則稱A是B的真子集，記作 A話B;(2)簡單性質(zhì)：1) AQA; 2)6=A;(3)若 A3B, B = C,則 A£C;(4)若集合A是n個元素的集合，則集合A有2n個子集(其中2n1個真 子集)；3 .全集與補(bǔ)集(1)包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作U ;(2)若S是一個集合，ACS,則，Cs=x| xw S且x A稱S中子集A的補(bǔ) 集；(3)簡單性質(zhì)：1) Cs(Cs尸A; 2) CsS=，Cs=S。4 .交集與并集(1) 一般地，由屬于集合A且屬

4、于集合B的元素所組成的集合，叫做集合 A與B的交集。交集 Ac b =x| xw A且xw B。(2) 一般地，由所有屬于集合 A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為 集合A與B的并集。并集A=B =x|xw A或xw B。注意：求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合， 區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時，常 常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法。5 .集合的簡單性質(zhì)(1) Ac A = A, AcG =6, Ac B = Be A;(2) A=G =A, A，j B = B

5、= A;(3) (AcB) = (A，j B);(4) A£ By AcB = A;A£ By A= B = B;(5) Cs (APB) = (CsA) U (CsB), Cs (AUB) = (C$A) A ( CsB)。二、函數(shù)1.函數(shù)的概念設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系 f,使對于集合A中 的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f: A一 B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。記作：y=f(x), x Ao其中，x叫做自變量， x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值 的集合f(x)| xCA

6、叫做函數(shù)的值域。注意：(1) “y=f(x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“ y=g(x)”；(2)函數(shù)符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應(yīng)的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是f乘 x。2 .構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域(1)解決一切函數(shù)問題必須認(rèn)真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含 三種形式：自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量 x的取值范圍(如：分式函數(shù)的 分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，等等)；限制型：指命題的條件或人為對自變量 x的限制，這是函數(shù)學(xué)習(xí)中重點(diǎn)， 往往也是難點(diǎn)，因為有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤；實際型：解決函數(shù)的綜合問

7、題與應(yīng)用問題時， 應(yīng)認(rèn)真考察自變量x的實際 意義。(2)求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問題，中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求 一些簡單函數(shù)的值域問題。配方法(將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù))；判別式法(將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程)； 不等式法(運(yùn)用不等式的各種性質(zhì))；函數(shù)法(運(yùn)用基本函數(shù)性質(zhì)，或抓住 函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖像等)。3 .兩個函數(shù)的相等函數(shù)的定義含有三個要素，即定義域 A、值域C和對應(yīng)法則f。當(dāng)函數(shù)的定 義域及從定義域到值域的對應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定。因此， 定義域和對應(yīng)法則為函數(shù)的兩個基本條件， 當(dāng)且僅當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法 則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)。4 .區(qū)間(1)

8、區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；(2)無窮區(qū)間；(3)區(qū)間的數(shù)軸表示。5 .映射的概念一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則 f,使對 于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那 么就稱對應(yīng)f: At B為從集合A到集合B的一個映射。記作“ f: At B”。函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應(yīng)，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱 化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對 應(yīng)關(guān)系，這種的對應(yīng)就叫映射。注意：(1)這兩個集合有先后順序，A到B的射與B到A的映射是截然不 同的.其中f表示具體的對應(yīng)法則，可以用漢字?jǐn)?/p>

9、述。(2) “都有唯一”什么意 思？包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思。6 .常用的函數(shù)表示法(1)解析法：就是把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式來表示，這個等式 叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡稱解析式；(2)列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系；(3)圖像法：就是用函數(shù)圖像表示兩個變量之間的關(guān)系。7 .分段函數(shù)若一個函數(shù)的定義域分成了若干個子區(qū)間，而每個子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱分段函數(shù)；8 .復(fù)合函數(shù)若 y=f(u), u=g(x), xw(a, b), uw(m,n),那么 y=f g(x)稱為復(fù)合函數(shù),u 稱為中間變量，它的取值范圍是 g(x)的

10、值域。三、函數(shù)性質(zhì)1 .奇偶性(1)定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(x)=f(x),則稱 f(x)為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(x)=f(x),則稱f(x) 為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時具有上 述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。注意：函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的 整體性質(zhì)；由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x,則x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量(即定義域關(guān)于 原點(diǎn)對稱)。(2)利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟首先確定函

11、數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；確定f( x)與f(x)的關(guān)系；作出相應(yīng)結(jié)論：若 f(x) = f( x)或 f(x)f(x) = 0 ,則 f(x)是偶函數(shù)；若 f(x) = f(x)或 f(x)+f(x) = 0，則 f(x)是奇函數(shù)。(3)簡單性質(zhì)：圖像的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖像關(guān)于原點(diǎn)對 稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖像關(guān)于y軸對稱；設(shè)f(x), g(x)的定義域分別是Di,D2,那么在它們的公共定義域上:奇+奇=奇，奇父奇二偶，偶由禺二偶，偶父偶=偶，奇父偶二奇2 .單調(diào)性(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I, 如果對于定義域I

12、內(nèi)的 某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量X1 , X2,當(dāng)Xl<X2時,都有f(Xl)<f(X2)( f(Xl)> f(X2), 那么就說f(X)在區(qū)間D上是增函數(shù)(減函數(shù))；一、/汪忠： 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量X1,X2；當(dāng)X1<X2時，總有f(Xl)<f(X2)(2)如果函數(shù)y=f(X)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f( x) 在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間 D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)問。(3)設(shè)復(fù)合函數(shù)y= fg(x),其中u=g(x),人是丫= fg(x)定義域的某

13、個 區(qū)間，B是映射g : x-u=g(x)的象集：若u=g(x)在A上是增(或減)函數(shù)，y= f(u)在B上也是增(或減)函 數(shù)，則函數(shù)y= fg(x)在A上是增函數(shù)；若u=g(x)在A上是增(或減)函數(shù)，而y=f(u)在B上是減(或增)函數(shù)， 則函數(shù)y= fg(x)在A上是減函數(shù)。(4)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定白區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：任取 X1, X2C D,且 X1<X2； 作差 f( X1) f( X2); 變形(通常是因式分解和配方)；定號(即判斷差f(X1) f(X2)的正負(fù));下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性)。(5)簡單

14、性質(zhì)奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；在公共定義域內(nèi):增函數(shù)f(x)十增函數(shù)g(x)是增函數(shù)；減函數(shù)f (x) +減函數(shù)g(x)是減函數(shù)；增函數(shù)f (x)減函數(shù)g(x)是增函數(shù)；減函數(shù)f (x)增函數(shù)g(x)是減函數(shù)。3 .最值(1)定義最大值：一般地，設(shè)函數(shù) 尸f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足：對 于任意的x I,都有f(x)<M;存在xoI,使得f(xo) = Mo那么，稱M是函 數(shù)y=f(x)的最大值。最小值：一般地，設(shè)函數(shù) 尸f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足：對 于任意的x I,都有f(x) >M;存在xoI,使得f(xo)

15、 = Mo那么，稱M是函 數(shù)y=f(x)的最大值。汪忠： 函數(shù)最大(小)首先應(yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在xo I ,使得f(xo) = M;函數(shù)最大(小)應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大(小)的，即對于任意的x I,都有 f(x)<M (f(x) >M)0(2)利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值的方法：利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值；利用圖象求函數(shù)的最大(小)值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b, c上單調(diào)遞減則函數(shù) y=f( x)在x=b處有最大值f( b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞減，在區(qū)

16、間b, c上單調(diào)遞增則函數(shù) y=f( x)在x=b處有最小值f( b)；4 .周期性(1)定義：如果存在一個非零常數(shù)T,使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x,都 有f(x+T尸f(x),則稱f(x)為周期函數(shù)；(2)性質(zhì)：f(x+T)= f(x)常常寫作f(x + T)= f(xT),若f(x)的周期中， 存在一個最小的正數(shù)，則稱它為f(x)的最小正周期；若周期函數(shù)f(x)的周期為T,則f(x) (co*。)是周期函數(shù)，且周期為 工。1- I5.函數(shù)圖象(1)作圖方法：以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點(diǎn)法 和圖象變換法，掌握這兩種方法是本講座的重點(diǎn)。作函數(shù)圖象的步驟：確定函數(shù)的定義域；化

17、簡函數(shù)的解析式；討論函 數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(甚至變化趨勢) ；描點(diǎn)連線，畫 出函數(shù)的圖象。運(yùn)用描點(diǎn)法作圖象應(yīng)避免描點(diǎn)前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點(diǎn)成線要把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當(dāng)處這就要求對所要畫圖象的存在范圍、大致特征、 變化趨勢等作一個大概的研究。而這個研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等 理論和手段，是一個難點(diǎn)用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為 基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變換，這也是個難點(diǎn)。(2)三種圖象變換：平移變換、對稱變換和伸縮變換等等；平移變換：I、水平平移：函數(shù)y = f(x + a)的圖像可以把函數(shù)y = f (x)的圖像沿x軸方 向向

18、左(a >0)或向右(a <0)平移|a |個單位即可得到;1)尸f( x)誓 h y=f( x+h); 2) y=f( x) 誓"y=f( x-h);H、豎直平移：函數(shù)y = f(x)+a的圖像可以把函數(shù)y = f (x)的圖像沿x軸方 向向上(a >0)或向下(a <0)平移|a |個單位即可得到;1) y=f(x) = hy=f(x)+h； 2) y=f( x) hy=f(x)-h。對稱變換：I、函數(shù)y = f(x)的圖像可以將函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱即可得 到；y=f( x)y=f( -x)H、函數(shù)y = f(x)的圖像可以將函數(shù)y=f(x)

19、的圖像關(guān)于x軸對稱即可得 x軸到；y=f( x) . y= -f(x)田、函數(shù)y=f(x)的圖像可以將函數(shù)y = f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱即可得 原點(diǎn)到；y=f( x) > y= -f( -x)IV、函數(shù)x = f(y)的圖像可以將函數(shù)y= f(x)的圖像關(guān)于直線y = x對稱得 到。y=f(x)直匕"x=f(y)V、函數(shù)y = f (2a -x)的圖像可以將函數(shù)y = f (x)的圖像關(guān)于直線x = a對稱 即可得到；y=f(x)直二 *y=f(2a-x)。翻折變換：I、函數(shù)y =| f (x) |的圖像可以將函數(shù)y = f (x)的圖像的x軸下方部分沿x軸 翻折到x軸上方

20、，去掉原x軸下方部分，并保留y = f (x)的x軸上方部分即可得 到；yiy=f(x)rjyy=|f(x)|1 f ja ob產(chǎn)卜xa ob c "xH、函數(shù)y = f (| x|)的圖像可以將函數(shù)y = f(x)的圖像右邊沿y軸翻折到y(tǒng)軸左邊替代原y軸左邊部分并保留y= f(x)在y軸右邊部分即可得到y(tǒng)=f(x)y=f(|x|)a o' b /C 一 a-o b TC*x伸縮變換：I、函數(shù)y =af (x) (a >0)的圖像可以將函數(shù)y = f (x)的圖像中的每一點(diǎn)橫坐 標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長(a>1)或壓縮(0<a<1)為原來的a倍得到；y ay=

21、f(x) > y=af(x)U、函數(shù)y = f (ax) (a >0)的圖像可以將函數(shù)y = f (x)的圖像中的每一點(diǎn)縱坐1 標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長(a>1)或壓縮(0<a<1)為原來的一倍得到。axaf(x) y=f( x) y=f( ax)(3)識圖：分布范圍、變化趨勢、對稱性、周期性等等方面。6.方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)概念：對于函數(shù)y = f(x)(xw D),把使f(x)=0成立的實數(shù) x叫做函數(shù)y = f (x)(xw D)的零點(diǎn)。函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y = f (x)的零點(diǎn)就是方程f(x) = 0實數(shù)根，亦即函數(shù) y = f (x)的圖象與x軸

22、交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程 f(x)=0有實數(shù)根 u函數(shù) y = f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)u函數(shù)y = f(x)有零點(diǎn)。二次函數(shù)y = ax2 +bx + c(a豐0)的零點(diǎn)：)>(),方程ax2+bx + c=0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個零點(diǎn);2 ) =(),方程ax2 +bx+c = 0有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象 與x軸有一個交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)；3 ) <(),方程ax2+bx+c=0無實根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)，二 次函數(shù)無零點(diǎn)。零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)y = f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲

23、線，并且有f(a)f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)。既存在c( (a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程的根。7 .二分法二分法及步驟：對于在區(qū)間a, b上連續(xù)不斷，且滿足f(a) f(b) <0的函數(shù)y = f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近 零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.給定精度以用二分法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：(1)確定區(qū)間a, b,驗證f(a) f(b) <0,給定精度名；(2)求區(qū)間(a, b)的中點(diǎn)”;(3)計算 f(xj :若f(xj=0,則xi就是函數(shù)的

24、零點(diǎn)；若 f(a) f (xj<0 ,則令 b = x1(此時零點(diǎn) xO w (a, xj )；若 f(xi) - f (b) <0 ,則令 a=x1(此時零點(diǎn) x°w(xi,b);(4)判斷是否達(dá)到精度名;即若|a -b|<s ,則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值a (或b);否則重復(fù)步驟24。注：函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)從“數(shù)”的角度看：即是使f(x)=0的實數(shù)；從“形”的角度看：即是函數(shù)f(x)的圖象與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若函數(shù)f(x)的圖象在x = X0處與X軸相切，則零點(diǎn)X0通常稱為不變號零點(diǎn)；若函數(shù)f(x)的圖象在X = X0處與X軸相交，則零點(diǎn)x0通常稱為變號零點(diǎn)。注：用二分法求函

25、數(shù)的變號零點(diǎn)：二分法的條件 f(a) f(b)<0表明用二 分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)都是指變號零點(diǎn)。8 .二次函數(shù)的基本性質(zhì)(1)二次函數(shù)的三種表示法：y=ax2+bx+c； y=a(x xi)( x 刈；y=a(x x)2+n。1(2)當(dāng)a>0, f(x)在區(qū)間p, q上的取大值M,取小值m,令x°= ( p+q)。2若<p,則 f(p)=m, f(q)=M;2a若 p0 - - <Xo,則 f( )= m, f( q)= M ;2a2a若 xo< <q,則 f(p)= M , f( - - )=m；2a2a若>q,則 f(p)= M , f(

26、q)=m。 2a(3)二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實根分布及條件。方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小u a - f(r)<0;2 = b -4ac>0,二次方程f(x)=0的兩根都大于r= ->r,2aa f (r) 02.2. 一 =b _4ac>0,b二次方程f(x)=0在區(qū)間(p, q)內(nèi)有兩根之(p<W<q，a f(q) >0,a f(p) >0；二次方程f(x)=0在區(qū)間(p, q)內(nèi)只有一根u f(p) f(q)<0,或f(p)=0(檢 驗)或f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p, q)內(nèi)成立。四、基

27、本函數(shù)1 .指數(shù)與對數(shù)運(yùn)算(1)根式的概念：定義：若一個數(shù)的n次方等于a(n >1,且nw N*),則這個數(shù)稱a的n次方根。即若xn=a,則x稱a的n次方根n > 1且n w n "),1)當(dāng)n為奇數(shù)時，a的n次方根記作n'a ；2)當(dāng)n為偶數(shù)時，負(fù)數(shù)a沒有n次方根，而正數(shù)a有兩個n次方根且互為相 反數(shù)，記作±n/a(a >0)。性質(zhì)：1) (n/a)n=a； 2)當(dāng)n為奇數(shù)時，V/ = a； 3)當(dāng)n為偶數(shù)時， ；a(a 之 0)Va =| a |= J。a(a<0)(2)幕的有關(guān)概念規(guī)止：1) a =a a a(n= N ;kv*n個2)

28、 a0 =1(a#0);mm 3) a = -( p 三 Q, 4) a n = n'am (a > 0,m、 n 三 N 且 n a 1)。p性質(zhì)：1) ar as =ar?a >0, r、sc Q)；2) (ar )s =ars(a >0, r > sw Q);3) (a b)r = ar br(a >Qb >0,r w Q)。注：上述性質(zhì)對r、sw R均適用。(3)對數(shù)的概念定義:如果a(a A0,且a #1)的b次幕等于N,就是ab=N ,那么數(shù)b稱以 a為底N的對數(shù)，記作loga N =b,其中a稱對數(shù)的底，N稱真數(shù)。1)以10為底的對數(shù)稱

29、常用對數(shù)，10g10 N記作lg N ;2)以無理數(shù)e(e= 2.71828)為底的對數(shù)稱自然對數(shù)，log e N ,記作1n N ;基本性質(zhì)：1)真數(shù)N為正數(shù)(負(fù)數(shù)和零無對數(shù))；2) 1oga1=0;3) 1oga a =1 ; 4)對數(shù)恒等式：alogaN = N。運(yùn)算性質(zhì)：如果a>0,a=0,M >0,Na0,則1) log a(MN ) = loga M + log a N ；2) logaM =loga M -loga N ；N3) log a M n = n log a M (n R R) °換底公式：log a N = 10g m N (a 0,a = 0,

30、m Qm：1, N 0), log ma1 ) log a b log ba =1 ; 2) log am bn = logab 0m2 .指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（1）指數(shù)函數(shù):定義:函數(shù)y =ax（a >0,且a#1）稱指數(shù)函數(shù),1）函數(shù)的定義域為R; 2）函數(shù)的值域為（0,也）；3）當(dāng)0<a<1時函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)a >1時函數(shù)為增函數(shù)函數(shù)圖像：0 V。V 1a> 11）指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（0, 1）,且圖象都在第一、二象限；2）指數(shù)函數(shù)都以x軸為漸近線（當(dāng)0<a<1時，圖象向左無限接近x軸，當(dāng) a>1時，圖象向右無限接近x軸）；3）對于相同的

31、a（a>0,且a,1）,函數(shù)y = 2*與丫 = a 的圖象關(guān)于y軸對稱。函數(shù)值的變化特征:0 <a <1a >1 x > 0510 < y < 1 , x = 0 5t y = 1, x < 05ty >1 x > 0 時 y > 1 , x = 0 時 y = 1 , x<0Bt0<y<1 ,（2）對數(shù)函數(shù)：定義:函數(shù)y = loga x（a > 0,且a =1）稱對數(shù)函數(shù),1）函數(shù)的定義域為（0,1）; 2）函數(shù)的值域為R;3）當(dāng)0 <a <1時函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)a >1時函數(shù)為增函

32、數(shù);4）對數(shù)函數(shù)y = logax與指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0,且a ¥1）互為反函數(shù)函數(shù)圖像:1）對數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（0, 1）,且圖象都在第一、四象限；2）對數(shù)函數(shù)都以y軸為漸近線（當(dāng)0<a<1時，圖象向上無限接近y軸；當(dāng)a>1時，圖象向下無限接近y軸）；3）對于相同的a（a >0,且a=1）,函數(shù)y = loga x與y = 10gl x的圖象關(guān)于x軸 a對稱。函數(shù)值的變化特征：0 <a <1a >1 x >1時y <0 , x A 1時 y A 0 , x = 1時 y = 0 , x = 1時 y = 0 , 0

33、cx<1 時 y>0. x<0Bt0<y<1.3 .幕函數(shù)y =xQ（a #0,1）在第一象限的圖象，可分為如圖中的三類:» >10 <« < 1a <0圖在考查學(xué)生對幕函數(shù)性的掌握和運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解決問題時，所涉及的幕函數(shù)一 . 一 .I111y=x"中S限于在集合2, -1,1, 2, 3b中取值。232幕函數(shù)有如下性質(zhì)：（1）它的圖象都過（1,1）點(diǎn)，都不過第四象限，且除原點(diǎn)外與坐標(biāo)軸都 不相交；（2）定義域為R或（- J 0） U （0,十蟲）的幕函數(shù)都具有奇偶性， 定義域為R抬+比的幕函數(shù)都不具有奇偶

34、性；（3）幕函數(shù)y = xRa¥0）都 是無界函數(shù)；在第一象限中，當(dāng)« <0時為減函數(shù)，當(dāng)支>0時為增函數(shù)；（4）任 意兩個幕函數(shù)的圖象至少有一個公共點(diǎn)（1,1）,至多有三個公共點(diǎn)；必修 2 知識點(diǎn)一、立體幾何初步（一）幾何體1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征（ 1）柱棱柱：一般的，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行， 由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱； 棱柱中兩個互相平行的面叫做棱柱的底面， 簡稱為底； 其余各面叫做棱柱的側(cè)面； 相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)。底面是三角形、四邊形、五邊形的棱

35、柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱； 旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸； 垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線。棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體；（ 2）錐棱錐：一般的有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐； 這個多邊形面叫做棱錐的底面或底； 有公共頂點(diǎn)的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面； 各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)； 相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱。底面是三角錐、四邊錐、五邊錐的棱柱分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐圓錐：以直角三角形的一條直

36、角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐； 旋轉(zhuǎn)軸為圓錐的軸； 垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐的側(cè)面。棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體。3）臺棱臺：用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺； 原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；棱臺也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)。圓臺：用一個平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺； 原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面； 圓臺也有側(cè)面、母線、軸。圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體。(4)球以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球 體，簡稱為球；半圓的圓

37、心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直 徑叫做球的直徑。(5)組合體由柱、錐、臺、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫組合體。2 .空間幾何體的三視圖三視圖是觀測者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形。他具體包括：(1)正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和長度；(2)側(cè)視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和寬度；(3)俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的長度和寬度；3 .空間幾何體的直觀圖(1)斜二測畫法建立直角坐標(biāo)系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的OX, OY,建立直角坐標(biāo)系；畫出斜坐標(biāo)系，在畫直觀圖的紙

38、上(平面上)畫出對應(yīng)的O, X , O Y ,使NX'OY,© (或1350),它們確定的平面表示水平平面；畫對應(yīng)圖形，在已知圖形平行于 X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于 X 軸，且長度保持不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中國成平行于 '一 Y軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话?；擦去輔助線，圖畫好后，要擦去X軸、Y軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）。（2）平行投影與中心投影平行投影的投影線是互相平行的,中心投影的投影線相交于一點(diǎn)。（二）面積與體積1.多面體的面積和體積公式名稱側(cè)面積（S側(cè)）全回積（S全）體積（V）棱棱柱直截面周長XlS底, h=S直截面, h柱直 棱 柱c

39、hS側(cè)+2S底S底 h棱錐棱錐各側(cè)面積之和1 QhS 底 h 3正 棱 錐1-ch 2S側(cè)+S底棱臺棱 臺各側(cè)向囿枳之和S側(cè)+S上底+S下底1 ,，cC一h（ S上底+S下底 3+JS下底S下底）正 棱 臺（c+c，） h/ 2表中S表示面積，c'、c分別表示上、下底面周長，h表斜高，h'表示斜 高，l表示側(cè)棱長。2.旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式名稱圓柱圓錐圓臺球S側(cè)2兀rl兀rl冗(門+lS全2兀 r(l+r)兀 r( l+r)九(ri+r2)l +冗(r2i+r22)4冗R2V九r2h(即冗 r2|)-九 r2h3tt h( r i+r-r2+r 2) 3f九R3 3表中1、h分

40、別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑， 小2分 別表示圓臺 上、下底面半徑，R表示半徑。(三)空間點(diǎn)線面1 .平面概述(1)平面的兩個特征：無限延展 平的(沒有厚度)(2)平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面(3)平面的表示：用一個小寫的希臘字母 a、P、¥等表示，如平面u、平面P；用表示平行四邊形的兩個相對頂點(diǎn)的字母表示，如平面 AC。2 .三公理三推論：公理1:若一條直線上有兩個點(diǎn)在一個平面內(nèi)，則該直線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)：A 1 , B 1 , A ： , B-： 二 1 二式公理2:如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這 些公共點(diǎn)的集合是一

41、條過這個公共點(diǎn)的直線。公理3:經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面。推論一：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個平面。推論二：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。推論三：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。3 .空間直線:(1)空間兩條直線的位置關(guān)系：相交直線一一有且僅有一個公共點(diǎn)；平行直線一一在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線不同在任何一個平面內(nèi)， 沒有公共點(diǎn)。相交直線和平行直線也 稱為共面直線。異面直線的畫法常用的有下列三種:(2)平行直線:在平面幾何中,平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這個結(jié)論在空間也 是成立的。即公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。(3)異面直

42、線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線。推理模式：A正jBw'aucBFan AB與a是異面直線。4 .直線和平面的位置關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)(無數(shù)個公共點(diǎn))；(2)直線和平面相交(有且只有一個公共點(diǎn))；(3)直線和平面平行(沒有公共點(diǎn))一一用兩分法進(jìn)行兩次分類它們的圖形分別可表示為如下,符號分別可表示為a仁口，aH« = A , a汽。線面平行的判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。推理模式：a0a,bu%abn a/« .aa線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平

43、行，經(jīng)過這條直線的平面 和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。推理模式：a/ot,auP,o(nP=b= a/b.5 .兩個平面的位置關(guān)系有兩種：兩平面相交（有一條公共直線）、兩平面平 行（沒有公共點(diǎn)）（1）兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于 一個平面，那么這兩個平面平行。a -定理的模式：b 一：an b = P = : ： a/: j b; I推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交 直線，那么這兩個平面互相平行。推論模式：a Ab =P,au%bu%a，nbF=p：a，uB,b，u P,a/a；b/b- a/P 兩個平面平行的性質(zhì)（1

44、）如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平6 .線線垂直判斷線線垂直的方法：所成的角是直角，兩直線垂直；垂直于平行線中的一 條，必垂直于另一條三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和 這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條 斜線垂直。三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線， 如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條 斜線的射影垂直。PO _ ： ,0 ：推理模式： PAot = Aa _L AO。a u%a _L AP注意：三垂線指FA, PO, AO都垂直a內(nèi)的直線a其實質(zhì)是：斜線和平 面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理要考慮 a的位置，并注意兩定理交替使 用。7 .線面垂直定義

45、：如果一條直線l和一個平面a相交，并且|, 和平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線 l和 a h W 平 面a互相垂直其中直線l叫做平面的垂線，平面a叫 .9- 做直線的垂面,直線與平面的交點(diǎn)叫做垂足。直線與 6二b 平 面a垂直記作：l，歐直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都 垂直，那么這條直線垂直于這個平面。直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條 直線平行。8 .面面垂直兩個平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面。兩平面垂直的判定定理：（線面垂直二面面垂直）如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平

46、面互相垂直。兩平面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直二 線面垂直）若兩個平面互相垂直，那 么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面。二、解析幾何初步1 .傾斜角：一條直線L向上的方向與X軸的正方向所成的最小正角，叫做 直線的傾斜角，范圍為0,n卜2 .斜率：當(dāng)直線的傾斜角不是 900時，則稱其正切值為該直線的斜率，即 k=tanu ;當(dāng)直線的傾斜角等于900時，直線的斜率不存在。3 .過兩點(diǎn) pi（xi, yi）, p2（X2, y2）（ xi WX2）的直線的斜率公式：k=tana = y2 y1 （若 X2 - X1X1 = X2,則直線pip2的斜率不存在，此時直線的傾斜角為 90&

47、#176;）。4 .直線方程的五種形式確定直線方程需要有兩個互相獨(dú)立的條件。確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。名稱方程說明適用條件斜截式y(tǒng)=kX+bk斜率b 縱截距傾斜角為90°的直線 不能用此式點(diǎn)斜式y(tǒng)- y0=k( x- X0)（X。，y。）一一直線上已知點(diǎn)，k斜率傾斜角為90°的直線 不能用此式兩點(diǎn)式y(tǒng) -y1 _ x -X1y2 y1X2 -X1（必，y）, （X2, y2）是直線上兩個已知點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式截距式x y .-'+ b =1a一一直線的橫截距b直線的縱截距過（0, 0）及與兩坐 標(biāo)軸平行的直線不能 用此式一式Ax+By+C=0 A _C C分別