彈性力學簡明教程(第四版)_習習題解答

1、【2-9】【解答】圖2-17：上（y=0）左(x=0)右（x=b）0-11-100000代入公式（2-15）得在主要邊界上x=0，x=b上精確滿足應力邊界條件：在小邊界上，能精確滿足下列應力邊界條件：在小邊界上，能精確滿足下列位移邊界條件：這兩個位移邊界條件可以應用圣維南原理，改用三個積分的應力邊界條件來代替，當板厚時，可求得固定端約束反力分別為：由于為正面，故應力分量與面力分量同號，則有：圖2-18上下主要邊界y=-h/2，y=h/2上，應精確滿足公式（2-15）(s)(s)0-1001-0，在=0的小邊界上，應用圣維南原理，列出三個積分的應力邊界條件：負面上應力與面力符號相反，有在x=l的

2、小邊界上，可應用位移邊界條件這兩個位移邊界條件也可改用三個積分的應力邊界條件來代替。首先，求固定端約束反力，按面力正方向假設(shè)畫反力，如圖所示，列平衡方程求反力：由于x=l為正面，應力分量與面力分量同號，故【2-10】【解答】由于，OA為小邊界，故其上可用圣維南原理，寫出三個積分的應力邊界條件：(a)上端面OA面上面力由于OA面為負面，故應力主矢、主矩與面力主矢、主矩符號相反，有(對OA中點取矩)()應用圣維南原理，負面上的應力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號相反，面力主矢y向為正，主矩為負，則綜上所述，在小邊界OA上，兩個問題的三個積分的應力邊界條件相同，故這兩個問題是靜力等效的?！?-14】【

3、解答】在單連體中檢驗應力分量是否是圖示問題的解答，必須滿足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用應力表示的相容方程（2-21）；（3）應力邊界條件（2-15）。（1）將應力分量代入平衡微分方程式，且 顯然滿足（2）將應力分量代入用應力表示的相容方程式（2-21），有等式左=右應力分量不滿足相容方程。因此，該組應力分量不是圖示問題的解答?！窘獯稹浚?）推導公式在分布荷載作用下，梁發(fā)生彎曲形變，梁橫截面是寬度為1，高為h的矩形，其對中性軸（Z軸）的慣性矩，應用截面法可求出任意截面的彎矩方程和剪力方程。所以截面內(nèi)任意點的正應力和切應力分別為： 。根據(jù)平衡微分方程第二式（體力不計）。得： 根據(jù)邊界條

4、件得 故將應力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式： 滿足第二式 自然滿足將應力分量代入相容方程（2-23）應力分量不滿足相容方程。故，該分量組分量不是圖示問題的解答?！?-18】【解答】（1）矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的彎矩方程，橫截面對中性軸的慣性矩為，根據(jù)材料力學公式彎應力；該截面上的剪力為，剪應力為取擠壓應力（2）將應力分量代入平衡微分方程檢驗第一式： 第二式：左=0+0=0=右該應力分量滿足平衡微分方程。（3）將應力分量代入應力表示的相容方程 滿足相容方程（4）考察邊界條件在主要邊界上，應精確滿足應力邊界條件(2-15) 0-1000100代入公式（2-15），得在次要邊界

5、x=0上，列出三個積分的應力邊界條件，代入應力分量主矢主矩滿足應力邊界條件在次要邊界上，首先求出固定邊面力約束反力，按正方向假設(shè)，即面力的主矢、主矩，其次，將應力分量代入應力主矢、主矩表達式，判斷是否與面力主矢與主矩等效： 滿足應力邊界條件，因此，它們是該問題的正確解答?！?-4】【解答】相容條件:不論系數(shù)a取何值，應力函數(shù)總能滿足應力函數(shù)表示的相容方程，式(2-25).求應力分量當體力不計時，將應力函數(shù)代入公式(2-24)，得考察邊界條件上下邊界上應力分量均為零，故上下邊界上無面力.左右邊界上；當a>0時，考察分布情況，注意到，故y向無面力左端: 右端: 應力分布如圖所示，當時應用圣維

6、南原理可以將分布的面力，等效為主矢，主矩A主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。偏心距e：因為在A點的應力為零。設(shè)板寬為b，集中荷載p的偏心距e：同理可知，當<0時，可以解決偏心壓縮問題?！?-5】【解答】（1）由應力函數(shù)，得應力分量表達式考察邊界條件，由公式（2-15）主要邊界，上邊界上，面力為 主要邊界，下邊界，面力為 次要邊界，左邊界x=0上，面力的主矢，主矩為x向主矢：，y向主矢：主矩：次要邊界，右邊界x=l上，面力的主矢，主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：彈性體邊界上面力分布及次要邊界面上面力的主矢，將應力函數(shù)代入公式（2-24），得應力分量表達式，考察

7、應力邊界條件，主要邊界,由公式（2-15）得在主要邊界，上邊界上，面力為在，下邊界上，面力為在次要邊界上，分布面力可按(2-15)計算，面里的主矢、主矩可通過三個積分邊界條件求得：在左邊界x=0，面力分布為面力的主矢、主矩為x向主矢：y向主矢：主矩；，在右邊界x=l上，面力分布為，面力的主矢、主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：（3），將應力函數(shù)代入公式（2-24），得應力分量表達式考察應力邊界條件，在主要邊界上應精確滿足式（2-15）次要邊界上，分布面力可按（2-15）計算，面力的主矢、主矩可通過三個積分邊界求得：左邊界x=0上，面力分布為右邊界上，面力分布為面力的主矢、主矩為x向主矢y向主矢：

8、主矩：彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界上面力的主矢和主矩，如圖所示 【3-6】【解答】（1）將應力函數(shù)代入相容方程（2-25），顯然滿足（2）將代入式（2-24），得應力分量表達式（3）由邊界形狀及應力分量反推邊界上的面力：在主要邊界上（上下邊界）上，應精確滿足應力邊界條件式（2-15），應力因此，在主要邊界上，無任何面力，即在x=0，x=l的次要邊界上，面力分別為：，因此，各邊界上的面力分布如圖所示：在x=0，x=l的次要邊界上，面力可寫成主矢、主矩形式：x=0上 x=l上 【3-7】【解答】(1)將應力函數(shù)代入式（2-25），代入（2-25），可知應力函數(shù)滿足相容方程。（2）將代入公式（

9、2-24），求應力分量表達式:， (3)考察邊界條件，由應力分量及邊界形狀反推面力：在主要邊界（上面），應精確滿足應力邊界條件（2-15）應用圣維南原理，可寫成三個積分的應力邊界條件:在次要邊界上，分布面力為，應用圣維南原理，可寫成三個積分的應力邊界條件:【3-8】【解答】采用半逆法求解。由材料力學解答假設(shè)應力分量的函數(shù)形式。(1)假定應力分量的函數(shù)形式。根據(jù)材料力學，彎曲應力主要與截面的彎矩有關(guān)，剪應力主要與截面的剪力有關(guān)，而擠壓應力主要與橫向荷載有關(guān)，本題橫向荷載為零，則(2)推求應力函數(shù)的形式將，體力，代入公式（2-24）有對y積分，得 （a） （b）其中都是x的待定函數(shù)。（3）由相容方

10、程求解應力函數(shù)。將（b）式代入相容方程（2-25），得 （c）在區(qū)域內(nèi)應力函數(shù)必須滿足相容方程，（c）式為y的一次方程，相容方程要求它有無數(shù)多個根（全豎柱內(nèi)的y值都應滿足它），可見其系數(shù)與自由項都必須為零，即兩個方程要求 （d）中的常數(shù)項，中的常數(shù)項和一次項已被略去，因為這三項在的表達式中成為y的一次項及常數(shù)項，不影響應力分量。將（d）式代入（b）式，得應力函數(shù) （e）（4）由應力函數(shù)求應力分量 （f） (g) (h)(5)考察邊界條件利用邊界條件確定待定系數(shù)A、B、C、D、E。主要邊界上（左）：將（f），（h）代入，自然滿足 （i）主要邊界上，自然滿足，將（h）式代入，得 （j）在次要邊界上

11、，應用圣維南原理，寫出三個積分的應力邊界條件： （k） （l） （m）由式（i），(j)，（k），（l），（m）聯(lián)立求得代入公式（g），(h)得應力分量【3-9】【解答】按半逆解法求解。將應力函數(shù)代入相容方程（2-25）顯然滿足。由公式（2-24）求應力分量表達式，體力為零，有，考察邊界條件：在主要邊界上，精確滿足公式（2-15）第一式自然滿足，第二式為 (a)在主要邊界x=b/2上，精確滿足式(2-15)第一式自然滿足，第二式為 (b)在次要邊界y=0上，可用圣維南原理，寫出三個積分的應力邊界條件: 滿足 滿足 （c）聯(lián)立（a）（c）得系數(shù)代入應力分量表達式，得【3-10】【解答】采用半逆解

12、法求解（1）將應力函數(shù)代入相容方程（2-25），顯然滿足（2）由應力函數(shù)求應力分量，代入公式(2-24) (a)(3)考察邊界條件主要邊界上，應精確滿足應力邊界條件， 滿足 得 （b）在次要邊界x=0上，應用圣維南原理，寫出三個積分的應力邊界條件 （c）聯(lián)立方程（b）（c）得最后一個次要邊界上，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下是必然滿足的，故不必在校核。將系數(shù)A、B、C、D代入公式（a），得應力分量【3-11】【解答】采用半逆解法求解(1) 檢驗應力函數(shù)是否滿足相容方程（2-25）設(shè)應力函數(shù)，不論上式中的系數(shù)如何取值，純?nèi)问降膽瘮?shù)總能滿足相容方程（2-25）(2) 由式（2-

13、24）求應力分量由體力分量，將應力函數(shù)代入公式（2-24）得應力分量： （a） （b） （c）（3）考察邊界條件：由應力邊界條件確定待定系數(shù)。對于主要邊界，其應力邊界條件為：， （d）將式（d）代入式（b），（c），可得 （e）對于主要邊界（斜面上），應力邊界條件：在斜面上沒有面力作用，即，該斜面外法線方向余弦為，.由公式（2-15），得應力邊界條件 （f）將式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f），可解得 （g）將式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c），得應力分量表達式：【3-12】【解答】按半逆解法求解。（1）由§3-4可知應力函數(shù)的函數(shù)形式為 ，由§3-4

14、可知，必然滿足相容方程（2-25）。（2）應力分量的表達式： （a） （b） （c） （3）考慮對稱性因為面是梁和荷載的對稱面，所以應力分布應當對稱于面。這樣是的偶函數(shù)，而是的奇函數(shù)，于是由式（a）和式（c）可見 （d）（4）考察邊界條件：在主要邊界上，應精確滿足應力邊界條件（2-15），將應力分量式（b）、（c）代入，并注意到，可得：聯(lián)立此四個方程，得： （e）將式（d）、（e）代入式（a）、（b）、（c） （f） （g） （h）考察次要邊界條件由于問題的對稱性，只需考慮其中的一邊，如右邊。右邊界上，不論取任何值，都有。由（f）式可見，這是不可能的，除非均為零。因此，只能用應力的主矢、主矩為

15、零，即 （i） （j）將（f）式代入式（i）得積分后得 K=0 （k）將式（f）代入式（i），得積分后得 （l）將（k）、（l）代入式（f），得 （m）考察右邊界上切應力分量的邊界條件：右邊界上，則的主矢為可知滿足應力邊界條件。將式（g），（h），（m）略加整理，得應力分量的最后解答： (n)（5）應力分量及應力分布圖梁截面的寬度取為1個單位，則慣性矩，靜矩是。根據(jù)材料力學截面法可求得截面的內(nèi)力，可知梁橫截面上的彎矩方程和剪力方程分別為則式（n）可寫成： 【3-13】【解答】用半逆解法求解。（1）相容條件：將應力函數(shù)代入相容方程式（2-25），得要使?jié)M足相容方程，應使 （a）（2）求應力分量，

16、代入式（2-24） （b）（3）考察邊界條件在主要邊界上，應精確到滿足應力邊界條件 （c） （d） （e）聯(lián)立式（a）、（c）、（d）、（e），可得： （f） 在次要邊界上，主矢和主矩都為零，應用圣維南原理，寫出三個積分的應力邊界條件： 滿足條件 （g） 滿足將A的值帶入（g），得C= （h）將各系數(shù)代入應力分量表達式（b），得【3-14】【解答】采用半逆解法求解。(1) 相容條件：將應力函數(shù)代入相容方程(2-25)，顯然滿足。(2) 求應力分量：將代入（2-24） （a）(3) 考察邊界條件。在主要邊界上，應精確滿足應力邊界條件 滿足 （b）在次要邊界x=0上，可用圣維南原理，寫出三個積分應力邊界條件 （c） （d） （e）聯(lián)立（b）、（c）、（d）、（e）式得， （f）將各系數(shù)據(jù)（f）代入式（a），得應力分量解答【3-15】【解答】（1）假設(shè)應力分量