參數(shù)估計(jì)習(xí)習(xí)題課

1、第21講 參數(shù)估計(jì)習(xí)題課教學(xué)目的：1. 通過(guò)練習(xí)使學(xué)生進(jìn)一步掌握矩估計(jì)和最大似然估計(jì)的計(jì)算方法； 2. 通過(guò)練習(xí)使學(xué)生理解無(wú)偏性和有效性對(duì)于評(píng)價(jià)估計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的重要性； 3. 通過(guò)練習(xí)使學(xué)生進(jìn)一步掌握正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和單側(cè)置信限。教學(xué)重點(diǎn)：矩估計(jì)和最大似然估計(jì)，無(wú)偏性與有效性，正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。教學(xué)難點(diǎn)：矩估計(jì)，最大似然估計(jì)，正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。教學(xué)時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)。教學(xué)過(guò)程：一、知識(shí)要點(diǎn)回顧1. 矩估計(jì) 用各階樣本原點(diǎn)矩 作為各階總體原點(diǎn)矩的估計(jì),。若有參數(shù)，則參數(shù)的矩估計(jì)為。2. 最大似然估計(jì)似然函數(shù)，取對(duì)數(shù)，從=0中解得的最大似然估計(jì)。3. 無(wú)偏性,有效性當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為的無(wú)偏估計(jì)。

2、當(dāng)時(shí)，稱(chēng)估計(jì)量比有效。二 、典型例題解析1設(shè)，求的矩估計(jì)。解 設(shè)則=故，所以。2. 設(shè)總體在上服從均勻分布，求a和b的矩估計(jì)。解 由均勻分布的數(shù)學(xué)期望和方差知 （1） （2）由（1）解得，代入（2）得， 整理得，解得故得的矩估計(jì)為其中。3設(shè)總體的密度函數(shù)為，求的最大似然估計(jì)。解 設(shè)，則4 設(shè)總體的密度函數(shù)已知），求參數(shù)的最大似然估計(jì)。解 解得 。5. 設(shè)和為參數(shù)的兩個(gè)獨(dú)立的無(wú)偏估計(jì)量，且假定，求常數(shù)和，使為的無(wú)偏估計(jì)，并使方差最小。解 由于,且知，故得c+d=1。又由于并使其最小，即使，滿足條件c+d=1的最小值。令d=1-c，代入得，解得。7. 設(shè)某電子元件的壽命服從正態(tài)分布，抽樣檢查10個(gè)

3、元件，得樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差。求 (1) 總體均值置信水平為的置信區(qū)間； (2) 用作為的估計(jì)值，求絕對(duì)誤差值不大于10（h）的概率。解 (1)由于未知，s=14（h）,根據(jù)求置信區(qū)間的公式得 查表得，故總體均值置信水平為的置信區(qū)間為 (2) =8. 設(shè)為正態(tài)總體的一個(gè)樣本，確定常數(shù)的值，使為的無(wú)偏估計(jì)。解 由于，所以有 由（無(wú)偏性），故有，所以。二、計(jì)算題1.某工廠生產(chǎn)滾珠.從某日生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取9個(gè),測(cè)得直徑(單位:mm)如下: 用矩估計(jì)法估計(jì)該日生產(chǎn)的滾珠的平均直徑和均方差.解. 設(shè)滾珠的直徑為X, 平均直徑為,均方差為.    由矩估計(jì)法可知 , 而 

4、 , .             , 而 =, . 窗體頂端2.設(shè)總體X的密度函數(shù)為 , 其中 (0), 求的極大似然估計(jì)量.解. 設(shè)(X1, X2, Xn)是來(lái)自X的一樣本.由極大似然估計(jì)原理,參數(shù)的似然函數(shù)為:            , 上式兩邊取對(duì)數(shù) , 似然方程為 , 解似然方程得的極大似然估計(jì)量是 .窗體底端窗體頂端3.設(shè)總體X的密度函數(shù)為 , 求的極大似然估計(jì)量和矩

5、估計(jì)量.解. 設(shè)(X1, X2, Xn)是來(lái)自X的樣本.  (1)由矩估計(jì)法,  . 即參數(shù)的矩估計(jì)量是            . (2) 由極大似然估計(jì)原理, 參數(shù)的似然函數(shù)為            ,上式兩邊取對(duì)數(shù) ,似然方程為 ,解似然方程得到參數(shù)的極大似然估計(jì)量是 .1設(shè)，求的矩估計(jì)。解 設(shè)則=故，所以。3. 一地質(zhì)學(xué)家研究密歇根湖湖地區(qū)的巖石成分，

6、隨機(jī)地自該地區(qū)取100個(gè)樣品，每個(gè)樣品有10塊石子，記錄了每個(gè)樣品中屬石灰石的石子數(shù)。假設(shè)這100次觀察相互獨(dú)立，并由過(guò)去經(jīng)驗(yàn)知，它們都服從參數(shù)為n=10，P的二項(xiàng)分布。P是該地區(qū)一塊石子是石灰石的概率。求p的極大似然估計(jì)值，該地質(zhì)學(xué)家所得的數(shù)據(jù)如下樣品中屬石灰石的石子數(shù)012345678910觀察到石灰石的樣品個(gè)數(shù)016723262112310解：的極大似然估計(jì)值為= 4. 設(shè)X1，X1，Xn為總體的樣本，求各未知參數(shù)的極大似然估計(jì)值和估計(jì)量（1）其中c>0為已知，>1，為未知參數(shù)。（2）其中>0，為未知參數(shù)。解（1）似然函數(shù)（解唯一故為極大似然估計(jì)量）（2）。(解唯一)故為極大似然估計(jì)量。6. 設(shè)樣本來(lái)自總體，如果要以%的概率保證，試問(wèn)樣本容量n應(yīng)取多大解：?，F(xiàn)要求n,使 即，查表得，所以n=219，即樣本容量為219。8. 設(shè)總體X具有分布律X123Pk22(1)(1) 2其中(0<<1)為未知參數(shù)。已知取得了樣本值