彈性力學(xué)簡明教程(第四版)-課后習(xí)習(xí)題解答

1、彈性力學(xué)簡明教程（第四版）課后習(xí)題解答徐芝綸第一章 緒論【1-1】試舉例說明什么是均勻的各向異性體，什么是非均勻的各向同性體【分析】均勻的各項(xiàng)異形體就是滿足均勻性假定，但不滿足各向同性假定；非均勻的各向異性體，就是不滿足均勻性假定，但滿足各向同性假定。【解答】均勻的各項(xiàng)異形體如：竹材，木材。 非均勻的各向同性體如：混凝土。【1-2】一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件能否作為理想彈性體一般的巖質(zhì)地基和土質(zhì)地基能否作為理想彈性體【分析】能否作為理想彈性體，要判定能否滿足四個(gè)假定：連續(xù)性，完全彈性，均勻性，各向同性假定?！窘獯稹恳话愕幕炷翗?gòu)件和土質(zhì)地基可以作為理想彈性體；一般的鋼筋混凝土構(gòu)件和巖質(zhì)地

2、基不可以作為理想彈性體。【1-3】五個(gè)基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時(shí)有什么作用【解答】（1）連續(xù)性假定：假定物體是連續(xù)的，也就是假定整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。引用這一假定后，物體的應(yīng)力、形變和位移等物理量就可以看成是連續(xù)的。因此，建立彈性力學(xué)的基本方程時(shí)就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。完全彈性假定：假定物體是完全彈性的，即物體在對應(yīng)形變的外力被去除后，能夠完全恢復(fù)原型而無任何形變。這一假定，還包含形變與引起形變的應(yīng)力成正比的涵義，亦即兩者之間是成線性關(guān)系的，即引用這一假定后，應(yīng)力與形變服從胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程，其彈性常數(shù)不隨應(yīng)力

3、或形變的大小而變。均勻性假定：假定物體是均勻的，即整個(gè)物體是由同一材料組成的，引用這一假定后整個(gè)物體的所有各部分才具有相同的彈性，所研究物體的內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)的物理性質(zhì)都是相同的，因而物體的彈性常數(shù)不隨位置坐標(biāo)而變化。各向同性假定：假定物體是各向同性的，即物體的彈性在所有各個(gè)方向都相同，引用此假定后，物體的彈性常數(shù)不隨方向而變。小變形假定：假定位移和變形是微小的。亦即，假定物體受力以后整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸，而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1。這樣在建立物體變形以后的平衡方程時(shí)，就可以方便的用變形以前的尺寸來代替變形以后的尺寸。在考察物體的位移與形變的關(guān)系時(shí)，它們的二次冪或乘積相對于其

4、本身都可以略去不計(jì)，使得彈性力學(xué)中的微分方程都簡化為線性的微分方程?！?-4】應(yīng)力和面力的符號規(guī)定有什么區(qū)別試畫出正坐標(biāo)面和負(fù)坐標(biāo)面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向?！窘獯稹繎?yīng)力的符號規(guī)定是：當(dāng)作用面的外法線方向指向坐標(biāo)軸方向時(shí)（即正面時(shí)），這個(gè)面上的應(yīng)力（不論是正應(yīng)力還是切應(yīng)力）以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)（即負(fù)面時(shí)），該面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸的正方向?yàn)樨?fù)。面力的符號規(guī)定是：當(dāng)面力的指向沿坐標(biāo)軸的正方向時(shí)為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。由下圖可以看出，正面上應(yīng)力分量與面力分量同號，負(fù)面上應(yīng)力分量與面力分量符號相反。 正的應(yīng)力正

5、的面力【1-5】試比較彈性力學(xué)和材料力學(xué)中關(guān)于切應(yīng)力的符號規(guī)定?！窘獯稹坎牧狭W(xué)中規(guī)定切應(yīng)力符號以使研究對象順時(shí)針轉(zhuǎn)動的切應(yīng)力為正，反之為負(fù)。彈性力學(xué)中規(guī)定，作用于正坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?，作用于?fù)坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎粗疄樨?fù)?！?-6】試舉例說明正的應(yīng)力對應(yīng)于正的形變?！窘獯稹空膽?yīng)力包括正的正應(yīng)力與正的切應(yīng)力，正的形變包括正的正應(yīng)變與正的切應(yīng)變，本題應(yīng)從兩方面解答。正的正應(yīng)力對應(yīng)于正的正應(yīng)變：軸向拉伸情況下，產(chǎn)生軸向拉應(yīng)力為正的應(yīng)力，引起軸向伸長變形，為正的應(yīng)變。正的切應(yīng)力對應(yīng)于正的切應(yīng)變：在如圖所示應(yīng)力狀態(tài)情況下，切應(yīng)力均為正的切應(yīng)力，引起直角減小，故為

6、正的切應(yīng)變。【1-7】試畫出圖1-4中矩形薄板的正的體力、面力和應(yīng)力的方向?！窘獯稹?正的體力、面力正的體力、應(yīng)力【1-8】試畫出圖1-5中三角形薄板的正的面力和體力的方向。【解答】【1-9】在圖1-3的六面體上，y面上切應(yīng)力的合力與z面上切應(yīng)力的合力是否相等【解答】切應(yīng)力為單位面上的力，量綱為，單位為。因此，應(yīng)力的合力應(yīng)乘以相應(yīng)的面積，設(shè)六面體微元尺寸如dxdydz，則y面上切應(yīng)力的合力為： (a) z面上切應(yīng)力的合力為： (b)由式（a）(b)可見，兩個(gè)切應(yīng)力的合力并不相等?！痉治觥孔饔迷趦蓚€(gè)相互垂直面上并垂直于該兩面交線的切應(yīng)力的合力不相等，但對某點(diǎn)的合力矩相等，才導(dǎo)出切應(yīng)力互等性。40

7、第二章 平面問題的基本理論【2-1】試分析說明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中(圖2-14)其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力的情況?！窘獯稹吭诓皇苋魏蚊媪ψ饔玫目臻g表面附近的薄層中，可以認(rèn)為在該薄層的上下表面都無面力，且在薄層內(nèi)所有各點(diǎn)都有，只存在平面應(yīng)力分量，且它們不沿z方向變化，僅為x，y的函數(shù)?？梢哉J(rèn)為此問題是平面應(yīng)力問題?！?-2】試分析說明，在板面上處處受法向約束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15），當(dāng)板邊上只受x，y向的面力或約束，且不沿厚度變化時(shí)，其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況。【解答】板上處處受法向約束時(shí)，且不受切向面力作用，則(相應(yīng))板邊上只受x，y向的面力或約束

8、，所以僅存在，且不沿厚度變化，僅為x，y的函數(shù)，故其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況?！?-3】在圖2-3的微分體中，若將對形心的力矩平很條件改為對角點(diǎn)的力矩平衡條件，試問將導(dǎo)出什么形式的方程【解答】將對形心的力矩平衡條件，改為分別對四個(gè)角點(diǎn)A、B、D、E的平衡條件，為計(jì)算方便，在z方向的尺寸取為單位1。 (a) (b) (c) (d)略去(a)、(b)、(c)、(d)中的三階小量（亦即令都趨于0），并將各式都除以后合并同類項(xiàng)，分別得到?！痉治觥坑杀绢}可得出結(jié)論：微分體對任一點(diǎn)取力矩平衡得到的結(jié)果都是驗(yàn)證了切應(yīng)力互等定理?！?-4】在圖2-3和微分體中，若考慮每一面上的應(yīng)力分量不是均勻分布的，驗(yàn)證

9、將導(dǎo)出什么形式的平衡微分方程【解答】微分單元體ABCD的邊長都是微量，因此可以假設(shè)在各面上所受的應(yīng)力如圖a所示，忽略了二階以上的高階微量，而看作是線性分布的，如圖（b）所示。為計(jì)算方便，單元體在z方向的尺寸取為一個(gè)單位。 (a) (b)各點(diǎn)正應(yīng)力：； ；各點(diǎn)切應(yīng)力：；由微分單元體的平衡條件得以上二式分別展開并約簡，再分別除以，就得到平面問題中的平衡微分方程：【分析】由本題可以得出結(jié)論：彈性力學(xué)中的平衡微分方程適用于任意的應(yīng)力分布形式?！?-5】在導(dǎo)出平面問題的三套基本方程時(shí)，分別應(yīng)用了哪些基本假定這些方程的適用條件是什么【解答】(1)在導(dǎo)出平面問題的平衡微分方程和幾何方程時(shí)應(yīng)用的基本假設(shè)是：物

10、體的連續(xù)性和小變形假定，這兩個(gè)條件同時(shí)也是這兩套方程的適用條件。(2)在導(dǎo)出平面問題的物理方程時(shí)應(yīng)用的基本假定是：連續(xù)性，完全彈性，均勻性和各向同性假定，即理想彈性體假定。同樣，理想彈性體的四個(gè)假定也是物理方程的使用條件?！舅伎碱}】平面問題的三套基本方程推導(dǎo)過程中都用到了哪個(gè)假定【2-6】在工地上技術(shù)人員發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直徑和厚度相同的情況下，在自重作用下的鋼圓環(huán)（接近平面應(yīng)力問題）總比鋼圓筒（接近平面應(yīng)變問題）的變形大。試根據(jù)相應(yīng)的物理方程來解釋這種現(xiàn)象?！窘獯稹矿w力相同情況下，兩類平面問題的平衡微分方程完全相同，故所求的應(yīng)力分量相同。由物理方程可以看出，兩類平面問題的物理方程主要的區(qū)別在于方程中含

11、彈性常數(shù)的系數(shù)。由于E為GPa級別的量，而泊松比取值一般在（0，），故主要控制參數(shù)為含有彈性模量的系數(shù)項(xiàng)，比較兩類平面問題的系數(shù)項(xiàng)，不難看出平面應(yīng)力問題的系數(shù)要大于平面應(yīng)變問題的系數(shù)。因此，平面應(yīng)力問題情況下應(yīng)變要大，故鋼圓環(huán)變形大?！?-7】在常體力，全部為應(yīng)力邊界條件和單連體的條件下，對于不同材料的問題和兩類平面問題的應(yīng)力分量，和均相同。試問其余的應(yīng)力，應(yīng)變和位移是否相同【解答】(1)應(yīng)力分量：兩類平面問題的應(yīng)力分量，和均相同，但平面應(yīng)力問題，而平面應(yīng)變問題的。（2）應(yīng)變分量：已知應(yīng)力分量求應(yīng)變分量需要應(yīng)用物理方程，而兩類平面問題的物理方程不相同，故應(yīng)變分量相同，而不相同。（3）位移分量：

12、由于位移分量要靠應(yīng)變分量積分來求解，故位移分量對于兩類平面問題也不同。【2-8】在圖2-16中，試導(dǎo)出無面力作用時(shí)AB邊界上的之間的關(guān)系式【解答】由題可得： 將以上條件代入公式（2-15），得：【2-9】試列出圖2-17，圖2-18所示問題的全部邊界條件。在其端部小邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。圖2-17 圖2-18【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件，若為小邊界也可寫成圣維南原理的三個(gè)積分形式，大邊界上應(yīng)精確滿足公式（2-15）?！窘獯稹繄D2-17：上（y=0）左(x=0)右（x=b）0-11-100000代入公式（2-15）得在主要邊界上x=0，x=b上精確滿足

13、應(yīng)力邊界條件：在小邊界上，能精確滿足下列應(yīng)力邊界條件：在小邊界上，能精確滿足下列位移邊界條件：這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替，當(dāng)板厚時(shí)，可求得固定端約束反力分別為：由于為正面，故應(yīng)力分量與面力分量同號，則有：圖2-18上下主要邊界y=-h/2，y=h/2上，應(yīng)精確滿足公式（2-15）(s)(s)0-1001-0，在=0的小邊界上，應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：負(fù)面上應(yīng)力與面力符號相反，有在x=l的小邊界上，可應(yīng)用位移邊界條件這兩個(gè)位移邊界條件也可改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替。首先，求固定端約束反力，按面力正方向假設(shè)畫反力，如圖所示，列平

14、衡方程求反力：由于x=l為正面，應(yīng)力分量與面力分量同號，故【2-10】試應(yīng)用圣維南原理，列出圖2-19所示的兩個(gè)問題中OA邊上的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，并比較兩者的面力是否是是靜力等效【解答】由于，OA為小邊界，故其上可用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：(a)上端面OA面上面力由于OA面為負(fù)面，故應(yīng)力主矢、主矩與面力主矢、主矩符號相反，有(對OA中點(diǎn)取矩)()應(yīng)用圣維南原理，負(fù)面上的應(yīng)力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號相反，面力主矢y向?yàn)檎?，主矩為?fù)，則綜上所述，在小邊界OA上，兩個(gè)問題的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件相同，故這兩個(gè)問題是靜力等效的?！?-11】檢驗(yàn)平面問題中的位移分量是否為正確

15、解答的條件是什么【解答】（1）在區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程式（2-18）；（2）在上用位移表示的應(yīng)力邊界條件式（2-19）；（3）在上的位移邊界條件式（2-14）；對于平面應(yīng)變問題，需將E、作相應(yīng)的變換。【分析】此問題同時(shí)也是按位移求解平面應(yīng)力問題時(shí)，位移分量必須滿足的條件?！?-12】檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)力分量是否為正確解答的條件是什么【解答】（1）在區(qū)域A內(nèi)的平衡微分方程式（2-2）；（2）在區(qū)域A內(nèi)用應(yīng)力表示的相容方程式（2-21）或（2-22）； （3）在邊界上的應(yīng)力邊界條件式（2-15），其中假設(shè)只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問題；（4）對于多連體，還需滿足位移單值條件?！痉治觥看藛栴}

16、同時(shí)也是按應(yīng)力求解平面問題時(shí)，應(yīng)力分量必須滿足的條件?！狙a(bǔ)題】檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)變分量是否為正確解答的條件是什么【解答】用應(yīng)變表示的相容方程式（2-20）【2-13】檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)力函數(shù)是否為正確解答的條件是什么【解答】（1）在區(qū)域A內(nèi)用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程式（2-25）；（2）在邊界S上的應(yīng)力邊界條件式（2-15），假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件；（3）若為多連體，還需滿足位移單值條件。【分析】此問題同時(shí)也是求解應(yīng)力函數(shù)的條件?！?-14】檢驗(yàn)下列應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答： 圖2-20 圖2-21（a）圖2-20，。【解答】在單連體中檢驗(yàn)應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答，必須滿足：（1）平衡微

17、分方程（2-2）；（2）用應(yīng)力表示的相容方程（2-21）；（3）應(yīng)力邊界條件（2-15）。（1）將應(yīng)力分量代入平衡微分方程式，且 顯然滿足（2）將應(yīng)力分量代入用應(yīng)力表示的相容方程式（2-21），有等式左=右應(yīng)力分量不滿足相容方程。因此，該組應(yīng)力分量不是圖示問題的解答。（b）圖2-21，由材料力學(xué)公式，(取梁的厚度b=1)，得出所示問題的解答:，。又根據(jù)平衡微分方程和邊界條件得出：。試導(dǎo)出上述公式，并檢驗(yàn)解答的正確性?！窘獯稹浚?）推導(dǎo)公式在分布荷載作用下，梁發(fā)生彎曲形變，梁橫截面是寬度為1，高為h的矩形，其對中性軸（Z軸）的慣性矩，應(yīng)用截面法可求出任意截面的彎矩方程和剪力方程。所以截面內(nèi)任意點(diǎn)

18、的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為：。根據(jù)平衡微分方程第二式（體力不計(jì)）。得： 根據(jù)邊界條件得 故 將應(yīng)力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式： 滿足第二式 自然滿足將應(yīng)力分量代入相容方程（2-23）應(yīng)力分量不滿足相容方程。故，該分量組分量不是圖示問題的解答?！?-15】試證明：在發(fā)生最大與最小切應(yīng)力的面上，正應(yīng)力的數(shù)值都等于兩個(gè)主應(yīng)力的平均值?！窘獯稹浚?）確定最大最小切應(yīng)力發(fā)生位置任意斜面上的切應(yīng)力為，用關(guān)系式消去m，得由上式可見當(dāng)時(shí)，即時(shí)，為最大或最小，為 。因此，切應(yīng)力的最大，最小值發(fā)生在與x軸及y軸（即應(yīng)力主向）成45的斜面上。（2）求最大，最小切應(yīng)力作用面上，正應(yīng)力的值任一斜面上的正應(yīng)力為最大

19、、最小切應(yīng)力作用面上，帶入上式，得證畢?！?-16】設(shè)已求得一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，試求【解答】由公式（2-6）及，得(a) (b) (c) (d) 【2-17】設(shè)有任意形狀的等候厚度薄板，體力可以不計(jì)，在全部邊界上（包括孔口邊界上）受有均勻壓力q。試證及能滿足平衡微分方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件，也能滿足位移單值條件，因而就是正確的解答?！窘獯稹浚?）將應(yīng)力分量，和體力分量分別帶入平衡微分方程、相容方程 （a） （b）顯然滿足（a）（b）（2）對于微小的三角板A，dx，dy都為正值，斜邊上的方向余弦，將，代入平面問題的應(yīng)力邊界條件的表達(dá)式（2-15），且，則有所以。對于單連體，上述條件就是確定應(yīng)力

20、的全部條件。（3）對于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足。該題為平面應(yīng)力情況，首先，將應(yīng)力分量代入物理方程（2-12），得形變分量， （d）將（d）式中形變分量代入幾何方程（2-8），得 （e）前兩式積分得到 （f）其中分別任意的待定函數(shù)，可以通過幾何方程的第三式求出，將式（f）代入式（e）的第三式，得等式左邊只是y的函數(shù)，而等式右邊只是x的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一個(gè)常數(shù)，于是有積分后得代入式（f）得位移分量 （g）其中為表示剛體位移量的常數(shù)，需由約束條件求得從式（g）可見，位移是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，滿足位移單值條件。因而，應(yīng)力分量是正確的解答?！?-18】設(shè)有矩形截面的懸臂梁，在自由

21、端受有集中荷載F（圖2-22），體力可以不計(jì)。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力，然后證明這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明這些表達(dá)式是否就表示正確的解答。【解答】（1）矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的彎矩方程，橫截面對中性軸的慣性矩為，根據(jù)材料力學(xué)公式彎應(yīng)力；該截面上的剪力為，剪應(yīng)力為取擠壓應(yīng)力（2）將應(yīng)力分量代入平衡微分方程檢驗(yàn)第一式： 第二式：左=0+0=0=右該應(yīng)力分量滿足平衡微分方程。（3）將應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程 滿足相容方程（4）考察邊界條件在主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件(2-15) 0-1000100代入公式（2-15），得在次要邊界x=0上，列出三個(gè)

22、積分的應(yīng)力邊界條件，代入應(yīng)力分量主矢主矩滿足應(yīng)力邊界條件在次要邊界上，首先求出固定邊面力約束反力，按正方向假設(shè)，即面力的主矢、主矩，其次，將應(yīng)力分量代入應(yīng)力主矢、主矩表達(dá)式，判斷是否與面力主矢與主矩等效： 滿足應(yīng)力邊界條件，因此，它們是該問題的正確解答?！?-19】試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分量可以表示為，其中V是勢函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示成為，試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。【解答】（1）將帶入平衡微分方程（2-2） （a）將（a）式變換為 （b）為了滿足式（b），可以取即（2）對體力、應(yīng)力分量求偏導(dǎo)數(shù)，得 （c）將（c）式代入公式（2-21）得平面應(yīng)力情況下應(yīng)力函

23、數(shù)表示的相容方程 （2-21）整理得： （d）即平面應(yīng)力問題中的相容方程為將（c）式代入公式（2-22）或?qū)ⅲ╠）式中的替換為，的平面應(yīng)變情況下的相容方程： （e）即 。證畢。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答【3-1】為什么在主要邊界（大邊界）上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條件式（2-15），而在小邊界上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來代替如果在主要邊界上用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替式（2-15），將會發(fā)生什么問題【解答】彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題，而要使邊界條件完全得到滿足，往往比較困難。這時(shí)，圣維南原理可為簡化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方

24、便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影響近處的應(yīng)力分布，對遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計(jì)。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替精確的應(yīng)力邊界條件（公式2-15），就會影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會使問題的解答精度不足?！?-2】如果在某一應(yīng)力邊界問題中，除了一個(gè)小邊界條件，平衡微分方程和其它的應(yīng)力邊界條件都已滿足，試證：在最后的這個(gè)小邊界上，三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件必然是自然滿足的，固而可以不必校核。【解答】區(qū)域內(nèi)的每一微小單元均滿足平衡條件，應(yīng)力邊界條件實(shí)質(zhì)上是邊界上微分體的平衡條件，即外力（面力）與內(nèi)力（應(yīng)力）的平衡條件。研

25、究對象整體的外力是滿足平衡條件的，其它應(yīng)力邊界條件也都滿足，那么在最后的這個(gè)次要邊界上，三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件是自然滿足的,因而可以不必校核?！?-3】如果某一應(yīng)力邊界問題中有m個(gè)主要邊界和n個(gè)小邊界，試問在主要邊界和小邊界上各應(yīng)滿足什么類型的應(yīng)力邊界條件，各有幾個(gè)條件【解答】在m個(gè)主要邊界上，每個(gè)邊界應(yīng)有2個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件，公式（2-15），共2m個(gè)；在n個(gè)次要邊界上，如果能滿足精確應(yīng)力邊界條件，則有2n個(gè)；如果不能滿足公式（2-15）的精確應(yīng)力邊界條件，則可以用三個(gè)靜力等效的積分邊界條件來代替2個(gè)精確應(yīng)力邊界條件，共3n個(gè)?！?-4】試考察應(yīng)力函數(shù)在圖3-8所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決

26、什么問題(體力不計(jì)) 【解答】相容條件:不論系數(shù)a取何值，應(yīng)力函數(shù)總能滿足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，式(2-25).求應(yīng)力分量當(dāng)體力不計(jì)時(shí)，將應(yīng)力函數(shù)代入公式(2-24)，得考察邊界條件上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無面力.左右邊界上；當(dāng)a0時(shí)，考察分布情況，注意到，故y向無面力左端: 右端: 應(yīng)力分布如圖所示，當(dāng)時(shí)應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力，等效為主矢，主矩A主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。偏心距e：因?yàn)樵贏點(diǎn)的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為b，集中荷載p的偏心距e：同理可知，當(dāng)h的淺梁，修正項(xiàng)很小，可忽略不計(jì)?！?-13】圖3-14所示的懸臂梁，長度為，高度為

27、，在上邊界受均布荷載，試檢驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)能否成為此問題的解如可以，試求出應(yīng)力分量?！窘獯稹坑冒肽娼夥ㄇ蠼?。（1）相容條件：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程式（2-25），得要使?jié)M足相容方程，應(yīng)使 （a）（2）求應(yīng)力分量，代入式（2-24） （b）（3）考察邊界條件在主要邊界上，應(yīng)精確到滿足應(yīng)力邊界條件 （c） （d） （e）聯(lián)立式（a）、（c）、（d）、（e），可得： （f） 在次要邊界上，主矢和主矩都為零，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件： 滿足條件 （g） 滿足將A的值帶入（g），得C= （h）將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式（b），得【3-14】矩形截面的柱體受到頂部的集中力F和力矩M的作用（圖3-15），不計(jì)體力，試用應(yīng)力函數(shù)求解其應(yīng)力分量?！窘獯稹坎捎冒肽娼夥ㄇ蠼?。(1) 相容條件：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程(2-25)，顯然滿足。(2) 求應(yīng)力分量：將代入（2-24） （a）(3) 考察邊界條件。在主要邊界上，應(yīng)