一階線性方程與常數(shù)變易法習(xí)習(xí)題及解答

1、 一階線性方程與常數(shù)變易法習(xí)題及解答求下列方程的解1=解： y=e (e)=e-e()+c=c e- ()是原方程的解。2+3x=e解：原方程可化為：=-3x+e所以：x=e (e e) =e (e+c) =c e+e 是原方程的解。3=-s+解：s=e(e )=e()= e()= 是原方程的解。4 ， n為常數(shù).解：原方程可化為： 是原方程的解.5+=解：原方程可化為：=- ()= 是原方程的解.6 解： =+令 則 =u因此：= （*） 將帶入 （*）中 得：是原方程的解.13這是n=-1時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以，令 P(x)= Q(x)=-1由一階線性方程的求解公式 =14 兩邊同乘以

2、 令 這是n=2時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以 令 P（x）= Q(x)=由一階線性方程的求解公式 = =15 這是n=3時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以 令 = P(y)=-2y Q(y)= 由一階線性方程的求解公式 =16 y=+P(x)=1 Q(x)= 由一階線性方程的求解公式 = =c=1y=17 設(shè)函數(shù)(t)于t上連續(xù)，(0)存在且滿足關(guān)系式(t+s)=(t)(s)試求此函數(shù)。令t=s=0 得(0+0)=(0)(0) 即(0)= 故或（1） 當(dāng)時(shí) 即 ,) (2) 當(dāng)時(shí) = = =于是 變量分離得 積分 由于，即t=0時(shí) 1=c=1故 20.試證： （1）一階非齊線性方程（2 .28）的任兩解

3、之差必為相應(yīng)的齊線性方程（）之解； （2）若是（）的非零解，而是（）的解，則方程（）的通解可表為，其中為任意常數(shù).（3）方程（）任一解的常數(shù)倍或任兩解之和（或差）仍是方程（）的解.證明： （） （）（1） 設(shè)，是（）的任意兩個(gè)解則 （1） （2）（1）-（2）得 即是滿足方程（）所以，命題成立。（2） 由題意得： （3） （4）1）先證是（）的一個(gè)解。于是 得故是（）的一個(gè)解。2）現(xiàn)證方程（4）的任一解都可寫成的形式設(shè)是的一個(gè)解則 （4）于是 （4）-（4）得從而 即 所以，命題成立。（3） 設(shè)，是（）的任意兩個(gè)解則 （5） （6）于是（5）得 即 其中為任意常數(shù)也就是滿足方程（）（5）（6）得 即 也就是滿足方程（）所以命題成立。21.試建立分別具有下列性質(zhì)的曲線所滿足的微分方程并求解。（5） 曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距等于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方；（6） 曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距是切點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等差中項(xiàng)；解：設(shè)為曲線上的任一點(diǎn)，則過點(diǎn)曲線的切線方程為從而此切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為即 橫截距為 ， 縱截距為 。由題意得：（5） 方程變形為 于是 所以，方程的通解為。（6）方程變形為 于是 所以，方程的通解