171定積分在幾何中的應(yīng)用

1、1.7 定積分的簡單應(yīng)用 1.7.1 定積分在幾何中的應(yīng)用 badxxfA)( badxxfxfA)()(12引入引入1 1 求平面圖形的面積求平面圖形的面積: :xyo)(xfy abA Axyo)(1xfy )(2xfy abA A321SSSdxxfba )(1S2S3S)(xfy 引入引入2 2 求運(yùn)動物體的位移求運(yùn)動物體的位移 我們已經(jīng)看到，定積分可以用來計(jì)算平面我們已經(jīng)看到，定積分可以用來計(jì)算平面圖形的面積，求運(yùn)動物體的位移，事實(shí)上，圖形的面積，求運(yùn)動物體的位移，事實(shí)上，定積分有著廣泛的應(yīng)用，下面我們就一起學(xué)習(xí)定積分有著廣泛的應(yīng)用，下面我們就一起學(xué)習(xí)定積分的簡單應(yīng)用吧！定積分的簡單

2、應(yīng)用吧！1.1.理解定積分的幾何意義以及微積分的基本定理理解定積分的幾何意義以及微積分的基本定理. .2.2.初步掌握利用定積分求曲邊梯形的幾種常見題型初步掌握利用定積分求曲邊梯形的幾種常見題型及方法及方法. . （重點(diǎn)、難點(diǎn)）（重點(diǎn)、難點(diǎn)）類型類型1 1：求由一條曲線求由一條曲線y=y=f(xf(x) )和直線和直線x=x=a,xa,x= =b(ab(ab)b)及及x x軸所圍成平面圖形的面積軸所圍成平面圖形的面積S S(3) |( )|( )( )( )cbcbacacSf x dxf x dxf x dxf x dx (1) ( )baSf x dx(2) ( )baSf x dx (2

3、)xyoabc)(xfy (3)(1)xyo)( xfy ab探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1 定積分在幾何中的應(yīng)用定積分在幾何中的應(yīng)用A2ab曲邊梯形（三條直邊，一條曲邊）曲邊梯形（三條直邊，一條曲邊）abXA0y曲邊形曲邊形面積面積 A=A1-A2ab1曲邊形面積的求解思路曲邊形面積的求解思路類型類型2 2：由兩條曲線由兩條曲線y=y=f(xf(x) )和和y=y=g(xg(x) )，直線，直線x=x=a,xa,x=b=b(ab)(ab)所圍成平面圖形的面積所圍成平面圖形的面積S Syxoba)(xfy )(xgy (2)(xfy )(xgy (1) baf xg xdx解解:作出作出y2=x,y=x2

4、的圖象如圖所示的圖象如圖所示:得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=0 x=0及及x=1.x=1.因此，所求圖形的面積為因此，所求圖形的面積為32311002|33xx211.333oxy2yx2yx2xy yxABCDO11200 xdxx dx22yxyx解解方方程程組組曲曲邊邊梯梯形形OABCOABC曲曲邊邊梯梯形形OABDOABDS = S-SS = S-S【總結(jié)提升總結(jié)提升】求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟: :(1)(1)作出示意圖作出示意圖;(;(弄清相對位置關(guān)系弄清相對位置關(guān)系) )(2)(2)求交點(diǎn)坐標(biāo)，確定圖形范圍求交點(diǎn)坐標(biāo)，確定圖形范

5、圍( (積分的上限積分的上限, ,下限下限) )(3)(3)寫出平面圖形的定積分表達(dá)式；寫出平面圖形的定積分表達(dá)式；(4)(4)運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出面積運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出面積. .y =2xy =2x解解方方程程組組y = x-4y = x-4直線直線y=x-4y=x-4與與x x軸交點(diǎn)為軸交點(diǎn)為(4,0).(4,0).因此，所求圖形的面積為因此，所求圖形的面積為2yx4yx 解解: :作出直線作出直線y=x-4,y=x-4,曲線曲線 的圖象如圖所示，所求面積為圖的圖象如圖所示，所求面積為圖中陰影部分面積中陰影部分面積. .2yxS1S2得得直直線線y = x-4

6、y = x-4與與曲曲線線y =2xy =2x交交點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為 8,4 .8,4 .將所求平面圖形的面積分割成左右兩個(gè)部分將所求平面圖形的面積分割成左右兩個(gè)部分. .2yx4 xyS1S24881204422(4)SSSxdxxdxxdx332248820442 22 2140(4).3323xxx本題還有其他解法嗎？本題還有其他解法嗎？另解另解1 1：將所求平面圖形的面積分割成左右兩個(gè)部分將所求平面圖形的面積分割成左右兩個(gè)部分. .2yx4 xyS1S24881204422(4)SSSxdxxdxxdx88042(4)xdxxdx488044(22)(4)xdxxdxxdx38282

7、042 2140|(4 )|.323xxx24400(4)240.3ySydydy還需要把函數(shù)還需要把函數(shù)y=x-4y=x-4變形為變形為x=y+4x=y+4，函數(shù)，函數(shù) 變形為變形為2yx22yx 另解另解2 2：將所求平面圖形的面積看成位于將所求平面圖形的面積看成位于y y軸右邊軸右邊的一個(gè)梯形與一個(gè)曲邊梯形的面積之差，因此取的一個(gè)梯形與一個(gè)曲邊梯形的面積之差，因此取y y為積分變量為積分變量例例3 求求兩拋物線兩拋物線y8x2，yx2所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積解析解析 作出曲線作出曲線y8x2，yx2的草圖，的草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積所求面積為圖中陰影部分的面積解方程

8、組，解方程組，(1)求不分割圖形面積的步驟為：畫圖形；求不分割圖形面積的步驟為：畫圖形；求交點(diǎn)求交點(diǎn)(以確定積分上下限以確定積分上下限)；用定積分表；用定積分表示再計(jì)算示再計(jì)算(2)一般原則上函數(shù)下函數(shù)作被積函數(shù)一般原則上函數(shù)下函數(shù)作被積函數(shù)【總結(jié)提升總結(jié)提升】C4.求拋物線求拋物線y=x2-1，直線，直線x=2，y=0所圍成的圖形的所圍成的圖形的面積面積.yx解：解：如圖，由如圖，由x x2 2-1=0-1=0得到拋物線得到拋物線與與x x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,0)(-1,0)，(1,0).(1,0).所求面積如圖陰影所示：所求面積如圖陰影所示：所以：所以：212211(1)(1)Sxdxxdx2133118()().333xxxx5.如圖，求曲線如圖，求曲線yx2與直線與直線y2x所圍圖形的面積所圍圖形的面積S.1.思想方法思想方法:數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化.2.求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟:(1)作出示意圖作出示意圖;(弄清相對位置關(guān)系弄清相對位置關(guān)系)(2)求交點(diǎn)坐標(biāo)，確定圖形范圍；求交點(diǎn)坐標(biāo)，確