曲線擬合方法淺析

1、曲線擬合方法概述工業(yè)設(shè)計(jì) 張靜 1014201056引言：在現(xiàn)代圖形造型技術(shù)中，曲線擬合是一個(gè)重要的部分，是曲面擬合的基礎(chǔ)?，F(xiàn)著重對(duì)最小二乘法、移動(dòng)最小二乘法、NURBS三次曲線擬合法和基于RBF曲線擬合法進(jìn)行比較，論述這幾種方法的原理及其算法，基于實(shí)例分析了上述幾種擬合方法的特性，以分析擬合方法的適用場(chǎng)合，從而為圖形造型中曲線擬合的方法選用作出更好的選擇。1 曲線擬合的概念 在許多對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的問題中，經(jīng)常需要尋找自變量和對(duì)應(yīng)因變量之間的函數(shù)關(guān)系，有的變量關(guān)系可以根據(jù)問題的物理背景，通過理論推導(dǎo)的方法加以求解，得到相應(yīng)關(guān)系式。但絕大多數(shù)的函數(shù)關(guān)系卻很復(fù)雜，不容易通過理論推導(dǎo)得到相關(guān)的表達(dá)式

2、，在這種情況下，就需要采用曲線擬合的方法來求解變量之間的函數(shù)關(guān)系式。曲線擬合(Curve Fitting)，是用連續(xù)曲線近似地刻畫或比擬平面上離散點(diǎn)組所表示的坐標(biāo)之問的函數(shù)關(guān)系的一種數(shù)據(jù)處理方法。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)或社會(huì)活動(dòng)中，通過實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)得到量x與y的一組數(shù)據(jù)對(duì)(xi,yi)，i=1，2，3，m，其中各xi是彼此不同的。人們希望用一類與數(shù)據(jù)的規(guī)律相吻合的解析表達(dá)式y(tǒng)=f(x)來反映量x與y之間的依賴關(guān)系。即在一定意義下“最佳”地逼近或擬合已知數(shù)據(jù)。f(x)稱作擬合函數(shù)，似的圖像稱作擬合曲線。2 曲線擬合的方法2.1最小二乘法最小二乘法通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，是進(jìn)行曲線擬合的一

3、種早期使用的方法 一般最小二乘法的擬合函數(shù)是一元二次，可一元多次，也可多元多次。該方法是通過求出數(shù)據(jù)點(diǎn)到擬合函數(shù)的距離和最小的擬合函數(shù)進(jìn)行擬合的方法令f(x)=ax2+bx+c ，計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)到該函數(shù)所表示的曲線的距離和最小 即：=對(duì)上式求導(dǎo)，使其等于0，則可以求出f(x)的系數(shù)a,b,c ，從而求解出擬合函數(shù)。2.2 移動(dòng)最小二乘法移動(dòng)最小二乘法在最小二乘法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了較大的改進(jìn)，通過引入緊支概念（即影響區(qū)域，數(shù)據(jù)點(diǎn)一定范圍內(nèi)的節(jié)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的擬合函數(shù)值有影響），選取適合的權(quán)函數(shù)，算出擬合函數(shù)來替代最小二乘法中的擬合函數(shù) 從而有更高的擬合精度及更好的擬合光滑度。2.2.1 移動(dòng)最小二乘法的擬合函

4、數(shù)設(shè)擬合函數(shù)為f(x)在求解域內(nèi)的n個(gè)節(jié)點(diǎn)Pi (i=1、2、3、n)，則：f(x)=式中，(x)為待求系數(shù)；K(x）為線性基函數(shù)。一般令K(x)=1,x,yT，m=3；求解過程可以參照文獻(xiàn)1，從而可求(x)，得到f(x)。2.2.2 移動(dòng)最小二乘法的算法流程（1） 將區(qū)域進(jìn)行分段。（2） 對(duì)每個(gè)分段點(diǎn)進(jìn)行循環(huán)： 確定網(wǎng)格點(diǎn)的影響區(qū)域大??； 確定包含在網(wǎng)格點(diǎn)的影響區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)； 計(jì)算型函數(shù)； 計(jì)算網(wǎng)格點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)值。 （3）連接網(wǎng)格點(diǎn)形成擬合曲線。2.3 NURBS三次曲線擬合NURBS作為定義工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的唯一數(shù)學(xué)方法，是現(xiàn)代圖 形 學(xué) 的 基 礎(chǔ) ，因此NURBS 曲 線 擬 合 有 著

5、重 要 的 實(shí) 際 意 義。NURBS曲線的數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法可以參考文獻(xiàn)2。本文采用VC技術(shù)，利用OpenGL 的NURBS 曲線擬合函數(shù)，即可得到曲線。2.4基于RBF的曲線擬合RBF（Radial Basis Function），徑向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是以徑向基函數(shù)（RBF）作為隱單元的“基”，構(gòu)成隱含層空間，隱含層對(duì)輸入矢量進(jìn)行變換將低維的模式輸入數(shù)據(jù)變換到高維空間內(nèi)，使得在低維空間內(nèi)的線性不可分問題在高維空間內(nèi)線性可分。這是一種數(shù)學(xué)分析方法，具有較快的收斂速度 強(qiáng)大的抗噪和修復(fù)能力。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。圖1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖各算法流程如下：最小二乘法通過建立二次函數(shù)進(jìn)行擬合。建立擬合函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，求所有數(shù)據(jù)點(diǎn)與二次曲線的距離和最小的二次曲線，得到a,b,c，從而得到二次曲線圖像。移動(dòng)最小二乘法的流程是：(1) NURBS曲線擬合： 確定節(jié)點(diǎn)矢量，通過弦長(zhǎng)累加來確定節(jié)點(diǎn)矢量。 在NURBS 曲線擬合時(shí)，設(shè)置最前4個(gè)節(jié)點(diǎn)矢量的值相同和最后4個(gè)節(jié)點(diǎn)矢量的值相同，那么擬合的曲線將通過給定型值點(diǎn)的第一個(gè)點(diǎn)和最后一個(gè)點(diǎn)。由于OpenGL有現(xiàn)成的NURBS曲線擬合函數(shù)，借助VC進(jìn)行編程，實(shí)現(xiàn)NURBS三次曲線擬合。(2) 基于RBF曲線擬合流程： 采