第三章 過程的數(shù)學描述

1、第第3章過程的數(shù)學描述章過程的數(shù)學描述3.1輸入輸出模型輸入輸出模型1、連續(xù)型輸入輸出模型、連續(xù)型輸入輸出模型2、離散型輸入輸出模型、離散型輸入輸出模型3.2狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型1、連續(xù)型狀態(tài)空間模型、連續(xù)型狀態(tài)空間模型2、離散型狀態(tài)空間模型、離散型狀態(tài)空間模型3.3隨機模型隨機模型1、一般概念、一般概念2、噪聲模型及其分類、噪聲模型及其分類3.1.1連續(xù)型輸入輸出模型連續(xù)型輸入輸出模型 連續(xù)過程輸入輸出模型的基本形式是連續(xù)過程輸入輸出模型的基本形式是常微分方程常微分方程)()()()()()()(11111111tubdttdubdttudbtyadttdyadttydadttydnnn

2、nnnnnnn 其中，其中，u(t)和和y(t)分別為過程的輸入輸出變量。對線性時不變過程分別為過程的輸入輸出變量。對線性時不變過程來說，系數(shù)來說，系數(shù)a1,an,b1,bn都是常數(shù)。對應的傳遞函數(shù)為都是常數(shù)。對應的傳遞函數(shù)為nnnnnnnasasasbsbsbsUsYsG111111)()()( 式中，式中，s為運算子，為運算子，Y(s)、U(s)分別為分別為y(t)、u(t)的的Laplace變換。變換。3.1輸入輸出模型輸入輸出模型3.1.2離散型輸入輸出模型離散型輸入輸出模型離散過程是連續(xù)中以離散化的結果。離散過程的輸入輸出量只在采離散過程是連續(xù)中以離散化的結果。離散過程的輸入輸出量只

3、在采樣時刻取值，分別記為樣時刻取值，分別記為y(kT0)和和u(kT0)，其中，其中T0為采樣周期。為書為采樣周期。為書寫簡便，寫簡便，kt0時常簡寫為時常簡寫為k。離散型輸入輸出模型的基本表達形式是離散型輸入輸出模型的基本表達形式是差分方程差分方程)() 1()() 1()(11nkubkubnkyakyakynn 在零起始條件下，對上式進行在零起始條件下，對上式進行z變換，得到過程的脈沖傳遞函數(shù)變換，得到過程的脈沖傳遞函數(shù)nnnnzazazbzbzbzG11221111)( 其中其中z為運算子，它與運算子為運算子，它與運算子s的關系如下。的關系如下。z-1通常稱為遲延算子通常稱為遲延算子（

4、時間平移因子），（時間平移因子），z-i代表把信號推遲代表把信號推遲iT0時間（或稱推遲時間（或稱推遲i拍）拍）sTez0 3.1.3對象（過程）的數(shù)學描述對象（過程）的數(shù)學描述設對象為離散時間單輸入輸出線性系統(tǒng)，用下列差分方程描述設對象為離散時間單輸入輸出線性系統(tǒng)，用下列差分方程描述)() 1()()() 1()(1011ndkubdkubdkubnkyakyakynn (3.1.1)其中，其中，y(k)、u(k)為對象的輸出輸入，為對象的輸出輸入，k為采樣時間為采樣時間d：對象的延遲時間：對象的延遲時間d=L+1 L為對象的純延遲時間為對象的純延遲時間nnbbaa, , , , ,01 為

5、對象的參數(shù)，是未知的或時變的，表示對象為對象的參數(shù)，是未知的或時變的，表示對象的不確定。的不確定。n為對象的階次。為對象的階次。nnnndnndnnzbzbbzBzazazAkuzBzkyzAkuzbzbbzkyzaza11011111111111110111)(1)()()()()()()()()1 ( 有有其中其中（3.1.2）（首（首1多項式）多項式）引入時間平移因子引入時間平移因子z-1 y(k-1)=z-1y(k） 這樣這樣(3.1.1)式可改寫成式可改寫成)()()()()()(110111kuzzbkuzzbkuzbkyzakyzakyndnddnn 3.2狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模

6、型3.2.1連續(xù)型狀態(tài)空間模型連續(xù)型狀態(tài)空間模型線性時不變連續(xù)型狀態(tài)空間描述是線性時不變連續(xù)型狀態(tài)空間描述是)()()()()(tcxtytbutAxtx 這里，這里，x(t)是過程的狀態(tài)變量；是過程的狀態(tài)變量；y(t)、u(t)分別為輸入輸出量，對于分別為輸入輸出量，對于SISO系統(tǒng)，它們都是標量；系統(tǒng)，它們都是標量；A、b和和c分別為系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣和分別為系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣。其對應的傳遞函數(shù)為輸出矩陣。其對應的傳遞函數(shù)為bAsIcsG1)()( 式中式中I為單位陣。上式表明，過程的輸入輸出模型可以由狀態(tài)空間為單位陣。上式表明，過程的輸入輸出模型可以由狀態(tài)空間模型唯一地確定，但

7、反過來則不然，狀態(tài)空間模型表達式并非唯一，模型唯一地確定，但反過來則不然，狀態(tài)空間模型表達式并非唯一，它取決于狀態(tài)變量它取決于狀態(tài)變量x的選擇。的選擇。3.2.2離散型狀態(tài)空間模型離散型狀態(tài)空間模型離散型狀態(tài)空間模型為離散型狀態(tài)空間模型為)()()()() 1(kcxkykbukAxkx bAzIczG11)()( 其對應的傳遞函數(shù)是其對應的傳遞函數(shù)是連續(xù)型狀態(tài)空間模型和離散型狀態(tài)空間模型都可以變換成連續(xù)型狀態(tài)空間模型和離散型狀態(tài)空間模型都可以變換成可控規(guī)范型或可觀規(guī)范型可控規(guī)范型或可觀規(guī)范型3.3隨機模型隨機模型3.3.1一般概念一般概念以上討論的數(shù)學模型，所有的輸入輸出量以及狀態(tài)變量都當作

8、確定以上討論的數(shù)學模型，所有的輸入輸出量以及狀態(tài)變量都當作確定量來處理，叫作量來處理，叫作確定性模型確定性模型（沒有考慮到干擾的作用）。把影響系（沒有考慮到干擾的作用）。把影響系統(tǒng)的各種干擾，給數(shù)學模型描述帶來誤差的隨機量，稱為數(shù)學模型統(tǒng)的各種干擾，給數(shù)學模型描述帶來誤差的隨機量，稱為數(shù)學模型中的中的“噪聲噪聲”。如果在數(shù)學模型中考慮這些隨機因素的影響，就得。如果在數(shù)學模型中考慮這些隨機因素的影響，就得到了隨機模型。到了隨機模型。所謂所謂隨機模型隨機模型就是在確定性模型的基礎上以疊加的方式考就是在確定性模型的基礎上以疊加的方式考慮噪聲的影響慮噪聲的影響。噪聲的來源可能很多，對于線性系統(tǒng)，要以將

9、作用在其各部分的噪噪聲的來源可能很多，對于線性系統(tǒng)，要以將作用在其各部分的噪聲等效為一個作用在其輸入端的噪聲聲等效為一個作用在其輸入端的噪聲v(k)-隨機序列隨機序列。3.3.2噪聲模型及其分類噪聲模型及其分類 下圖為對象及其運行環(huán)境下圖為對象及其運行環(huán)境B2(z-1)A2(z-1) Z-d B1(z-1) A1(z-1)u(k)(k)(k)y(k)寫成數(shù)學模型為寫成數(shù)學模型為cccbbbaaanciinnniiinnniiinndddzczczczBzAzCzbzbzbbzBzAzBzazazazAzAzAkzAzCkuzAzBzkzAzBkuzAzBzkvkuzAzBzky11112111

10、01101112111112111111112121111111111)()()()()()(11)()()() 1 . 3 . 3()()()()()()()()()()()()()()()()()(式中其中，其中，d是對象的延遲時間；是對象的延遲時間；y(k)、u(k)是對象的輸入輸出是對象的輸入輸出量；量；(k)為白噪聲。為白噪聲。式式(3.3.1)稱為稱為CARMA模型模型，受控自回歸滑動平均模型受控自回歸滑動平均模型(Controlled Auto-Regressive Moving Average)噪聲模型分類：噪聲模型分類： 若若C(z-1)1，稱受控自回歸模型（，稱受控自回歸模

11、型（CAR） 若若u(k)0，稱自回歸平均滑動模型（，稱自回歸平均滑動模型（ARMA） 若若C(z-1)1， u(k)0稱自回歸模型（稱自回歸模型（AR）若若A (z-1)1， u(k)0稱滑動平均模型（稱滑動平均模型（MA）式式(3.3.1)還可以寫成還可以寫成)()()()()()()()()()()()(111111kzCdkuzBkyzAkzCkuzBzkyzAd或說明說明： CARMA模型可以描述大多數(shù)線性系統(tǒng)的工業(yè)過程，其模型可以描述大多數(shù)線性系統(tǒng)的工業(yè)過程，其中中na、nb、nc階次以及階次以及ai、bi、ci系數(shù)可能是未知的或時變系數(shù)可能是未知的或時變的，表示不確定性。的，表示

12、不確定性。d由具體過程決定。由具體過程決定。 多項式多項式A(z-1)、B(z-1)、C(z-1)中的中的z-1是時間平移因子是時間平移因子 對于多輸入輸出對于多輸入輸出(MIMO)系統(tǒng)的工業(yè)過程，其系統(tǒng)的工業(yè)過程，其CARMA模型為模型為1111111111101111111)()()()()()()()()()()()(:)()()()()()(rrqqppinninninndkkkkukukUkykykYrpCzczcIzCqpBzBzBBzBppAzAzAIzAkzCkUzBzkYzAccbbaa為矩陣為矩陣為矩陣式中多輸入輸出多輸入輸出(MIMO) CARMA模型模型：例題例題設設M

13、IMO系統(tǒng)的系統(tǒng)的2101212drnnnqpcba列寫系統(tǒng)的列寫系統(tǒng)的CARMA模型模型IzCzBBzBzAzAIzA)()()(1110122111（A為為22B為為21C為為21）則有：則有：)()()()()(21112111102101122122222212122111122121112111kkkuzbbbbzkykyzaaaazaaaaI)()3()2()2()2() 1() 1()()()3()2()2()2() 1() 1()(212102122221221212211212111101122121211211211111kkubkubkyakyakyakyakykkubk

14、ubkyakyakyakyaky隨機序列的相關知識隨機序列的相關知識1、平穩(wěn)隨機序列、平穩(wěn)隨機序列：具有統(tǒng)計特性時間不變的特點的隨機序列。在：具有統(tǒng)計特性時間不變的特點的隨機序列。在工程中采用數(shù)字特征來描述工程中采用數(shù)字特征來描述隨機序列隨機序列。 數(shù)學期望數(shù)學期望常數(shù)dxkxxfkdxkxxfkxEv),()()()( 概率空間中的總體平均值，代表其取值的平穩(wěn)性。概率空間中的總體平均值，代表其取值的平穩(wěn)性。 相關函數(shù)相關函數(shù))()(),()()(RRkRkvkvE 代表隨機序列中兩個變量的相關性。（隨機變量在兩個時刻同代表隨機序列中兩個變量的相關性。（隨機變量在兩個時刻同時出現(xiàn)的概率）。平穩(wěn)

15、隨機序列的相關函數(shù)是偶函數(shù)。時出現(xiàn)的概率）。平穩(wěn)隨機序列的相關函數(shù)是偶函數(shù)。如果隨機序列如果隨機序列v(k)的數(shù)學期望為常數(shù)（一般為的數(shù)學期望為常數(shù)（一般為0），相關函數(shù)只是），相關函數(shù)只是時間間隔的函數(shù)，則稱時間間隔的函數(shù)，則稱v(k)為平穩(wěn)隨機序列。為平穩(wěn)隨機序列。2、譜密度、譜密度：平穩(wěn)隨機過程相關函數(shù)的富利葉變換，稱為譜密度。平穩(wěn)隨機過程相關函數(shù)的富利葉變換，稱為譜密度。)()(kRekvkjv dekRkjvv)(21)( ()：隨機序列的功率頻譜（譜密度）：隨機序列的功率頻譜（譜密度）Rv(k)：噪聲（隨機序列）的能量是各個頻率分量的能量：噪聲（隨機序列）的能量是各個頻率分量的能量（譜密度）的總和。（譜密度）的總和。隨機序列的相關知識（隨機序列的相關知識（2）3、白噪聲、白噪聲：數(shù)學期望為數(shù)學期望為0，相關函數(shù)為脈沖函數(shù)的隨機序列。，相關函數(shù)為脈沖函數(shù)的隨機序列。0)(kwE 000