高等代數(shù)下半冊復(fù)習(xí)

1、高等代數(shù)下半冊復(fù)習(xí)高等代數(shù)下半冊復(fù)習(xí)2一、二次型及其矩陣表示一、二次型及其矩陣表示二、化二次型為標準型二、化二次型為標準型三、正定二次型的判定三、正定二次型的判定第五章第五章 二次型二次型二次型二次型對稱矩陣對稱矩陣標準形標準形對角矩陣對角矩陣合合同同變變換換線線性性替替換換非非退退化化復(fù)復(fù)二二次次型型的的規(guī)規(guī)范范形形實實二二次次型型的的規(guī)規(guī)范范形形正慣性指數(shù)正慣性指數(shù)變元個數(shù)變元個數(shù) n單位矩陣單位矩陣正定二次型正定二次型正定矩陣正定矩陣順序主子式順序主子式全大于零全大于零合合同同定理定理1定理定理2定定理理7定理定理3定理定理4定理定理6負定、負定、半正定半正定、半負定、不定二次型、半負定

2、、不定二次型定理定理8C AC=BX=CY0C 3把把n階實對稱矩陣按合同分類，可以分成階實對稱矩陣按合同分類，可以分成(n+1)(n+2)/2類類.把把n階復(fù)對稱矩陣按合同分類，可以分成階復(fù)對稱矩陣按合同分類，可以分成n+1類類.定理4 實數(shù)域上每一 n 元二次型都可經(jīng)過非退化的線性替換化成規(guī)范形：222211ppryyyy定理3 復(fù)數(shù)域上每一 n 元二次型都可經(jīng)過非退化的線性替換化成規(guī)范形： 221ryy1、求二次型的標準形；實、復(fù)二次型的規(guī)范形求二次型的標準形；實、復(fù)二次型的規(guī)范形.方法：方法：1）配方法）配方法; 2）合同變換法；）合同變換法；3）初等變換法；）初等變換法；4）正交替換

3、法）正交替換法.基本題型基本題型52、實二次型的正定性的判斷；實二次型的正定性的判斷；實二次型其它類型的判斷實二次型其它類型的判斷.方法：方法：1）用正定二次型的定義；）用正定二次型的定義；2）用非退化線性替換（或合同變換）化二次型為標準）用非退化線性替換（或合同變換）化二次型為標準 形，從而求得其正慣性指數(shù)以判定原二次型的正定性形，從而求得其正慣性指數(shù)以判定原二次型的正定性;3）計算矩陣的各級順序主子式，若全大于零，則正定）計算矩陣的各級順序主子式，若全大于零，則正定.4）計算矩陣的特征值，若全大于）計算矩陣的特征值，若全大于0，則正定，則正定.線性空間的定義線性空間的定義. 1)(. 2惟

4、一性和不惟一性惟一性和不惟一性基、坐標和維數(shù)基、坐標和維數(shù)子空間、生成子空間子空間、生成子空間. 3子空間的交、和、直和子空間的交、和、直和. 4基基、維維數(shù)數(shù)和和坐坐標標常常見見的的線線性性空空間間的的自自然然第六章第六章 線性空間線性空間一、概念一、概念第六章第六章 線性空間線性空間 如何判斷非空集合如何判斷非空集合V為數(shù)域為數(shù)域P上的線性空間？上的線性空間？V上定義的加法與數(shù)量乘法運算封閉；上定義的加法與數(shù)量乘法運算封閉；滿足如下八條運算規(guī)則：滿足如下八條運算規(guī)則：v 加法四條：加法四條：)()(,+=+=+ =+0. .ts存在零元，0. .=+ts存在負元，v數(shù)乘兩條：數(shù)乘兩條：)(

5、)(,1kllk=v混合兩條：混合兩條：kkklklk+=+=+)(,)(第六章第六章 線性空間線性空間 什么叫線性空間什么叫線性空間V的維數(shù)、基與坐標？的維數(shù)、基與坐標？n維：有維：有n個線性無關(guān)向量，沒有更多無關(guān)向量個線性無關(guān)向量，沒有更多無關(guān)向量基：這基：這n個線性無關(guān)的向量個線性無關(guān)的向量坐標：任何向量在基下的線表系數(shù)坐標：任何向量在基下的線表系數(shù)第六章第六章 線性空間線性空間 基變換基變換A為由基為由基I到基到基II的過渡矩陣，可逆；的過渡矩陣，可逆；A中各列表示基中各列表示基II中各向量在基中各向量在基I中的坐標中的坐標Ann),(),(11= 基基II基基I坐標變換坐標變換 X=

6、AY，其中，其中Y為向量在基為向量在基II下坐標，而下坐標，而 X為該向量在基為該向量在基I坐標坐標第六章第六章 線性空間線性空間 如何判斷線性空間如何判斷線性空間V的的非空子集非空子集為子空間？為子空間？對加法和數(shù)量乘法運算封閉對加法和數(shù)量乘法運算封閉第六章第六章 線性空間線性空間 ：由由 生成的子空間生成的子空間生成子空間的基與維數(shù)生成子空間的基與維數(shù)12(,)nL ，12121212(,)(,)(,)nsnsLLL，12,n ，齊次線性方程組的解空間的基與維數(shù)齊次線性方程組的解空間的基與維數(shù)12121212(,)(,),nsnsLL ，與等價第六章第六章 線性空間線性空間 子空間的交與和

7、子空間的交與和都為子空間都為子空間如何求兩個子空間的交與和？（見例題習(xí)題）如何求兩個子空間的交與和？（見例題習(xí)題）如何求交與和子空間的基與維數(shù)？如何求交與和子空間的基與維數(shù)？ （見例題習(xí)題）（見例題習(xí)題）第六章第六章 線性空間線性空間 維數(shù)公式：維數(shù)公式：121212dimdimdim() dim()VVV VVV 第六章第六章 線性空間線性空間 判別方法：分解惟一判別方法：分解惟一 零向量分解惟一零向量分解惟一 交為零子空間（即交只有零向量）交為零子空間（即交只有零向量） dim(W)=dim(V1)+dim(V2)子空間的直和：子空間的直和：21VVW=注：子空間的補空間一般不唯一，但正交

8、補是唯一的注：子空間的補空間一般不唯一，但正交補是唯一的.第六章第六章 線性空間線性空間 線性空間線性空間V到線性空間到線性空間V的同構(gòu)映射：的同構(gòu)映射： )()()()()(kk=+=+為雙射；同構(gòu)同構(gòu)同維同維innnnPxxxx+=),(111任意任意dim(V)=n的線空的線空V選定一組基選定一組基 后：后：結(jié)論：結(jié)論：二二.無無關(guān)關(guān)組組、秩秩的的有有關(guān)關(guān)結(jié)結(jié)論論線線性性相相關(guān)關(guān)、無無關(guān)關(guān)、極極大大. 1生生成成的的子子空空間間相相同同兩兩向向量量組組等等價價 . 2的的基基的的子子空空間間的的基基可可擴擴充充為為 VV. 3：交、和的三個充要條件交、和的三個充要條件. 421VV 12

9、1VVV 221VVV 直和的三個充要條件：直和的三個充要條件：. 5 21VV 的的分分解解式式惟惟一一 維維數(shù)數(shù)的的和和和和的的維維數(shù)數(shù) 補補空空間間存存在在定定理理. 6維數(shù)公式維數(shù)公式. 7)Vdim(V21 )Vdim(V2121dimVdimV ,VV. 8的的同同構(gòu)構(gòu)映映射射到到為為由由 相關(guān)相關(guān)則則s21, , 相關(guān)相關(guān))(,),(),(s21 ()無關(guān)()無關(guān)的的基基的的基基的的像像是是VVVnP. 9維維線線性性空空間間上上的的任任意意數(shù)數(shù)域域nP均同構(gòu)于均同構(gòu)于維維線線性性空空間間全全部部同同構(gòu)構(gòu)上上的的數(shù)數(shù)域域nP補空間一般不唯一補空間一般不唯一方法：方法：三三.1.判

10、別子空間的方法12s2. L(,): 求的基的方法的的極極大大無無關(guān)關(guān)組組的的方方法法即即求求s21, , 123. WW求的基的方法 12s4. L(,) 求),(Lt21 的的基基的的方方法法A),(),(n21n21 基變換公式基變換公式. 56.坐標變換公式XAY-1 或或AYX7. 證明 的方法：1)證明是子空間，2)證明是和， 3)證明直和12VVV第七章第七章 線性變換線性變換:.概念概念一一、性性質(zhì)質(zhì)線線性性變變換換的的定定義義及及運運算算. 1A. 2 線線性性變變換換的的矩矩陣陣相似矩陣相似矩陣. 3矩矩陣陣變變換換在在標標準準正正交交基基下下的的特特別別：正正交交變變換換

11、和和對對稱稱特特征征值值與與特特征征向向量量. 45. 值域與核值域與核6.不變子空間第七章第七章 線性變換線性變換 如何判斷一個線空如何判斷一個線空V上的變換為線性變換？上的變換為線性變換？ 映射映射A ： A = A + A A A )(+)()()(k)(kVV 第七章第七章 線性變換線性變換 線性變換的運算線性變換的運算兩線變乘積：兩線變乘積：(AB) A (B 也為線變；也為線變；=)()(兩線變加法：兩線變加法：(A+B) A +B 亦亦線變；線變；=)()()(數(shù)域數(shù)域P中的數(shù)與線變的數(shù)量乘法：中的數(shù)與線變的數(shù)量乘法： kA=KA kA也為線變也為線變L(V)=數(shù)域數(shù)域P上線空上

12、線空V上的所有線變上的所有線變=構(gòu)成構(gòu)成P上一個線空上一個線空在線空在線空V中選定一組基后，每個線變都與一個矩陣對應(yīng)中選定一組基后，每個線變都與一個矩陣對應(yīng)L(V)與與 同構(gòu)，故維數(shù)是同構(gòu)，故維數(shù)是nnP2n可逆的線變：若可逆的線變：若AB=BA=恒等變換，則恒等變換，則B為為A的逆變換的逆變換第七章第七章 線性變換線性變換 線性變換的矩陣：線性變換的矩陣：A基Ann),(),(11=在線空在線空V中選定一組基后，每個線變中選定一組基后，每個線變A都與一都與一個矩陣個矩陣A對應(yīng)對應(yīng)矩陣矩陣A或是可逆的，或是不可逆的或是可逆的，或是不可逆的 歐式空間中，歐式空間中，正交變換正交變換在一組標準正交

13、基下的矩在一組標準正交基下的矩陣是陣是正交矩陣正交矩陣，對稱變換對稱變換在一組標準正交基下的矩陣在一組標準正交基下的矩陣是是實對稱矩陣實對稱矩陣.第七章第七章 線性變換線性變換 利用線性變換的矩陣求向量的像利用線性變換的矩陣求向量的像 設(shè)設(shè)A ，且，且 則則AAnn),(),(11=Xn),(1=AXn),(1=第七章第七章 線性變換線性變換 同一線性變換在不同基下矩陣的關(guān)系：同一線性變換在不同基下矩陣的關(guān)系：設(shè)設(shè)A ， A ， 且且則有則有 Ann),(),(11=Bnn),(),(11=Cnn),(),(11=1BC ACA相似于相似于B，記為，記為AB相似矩陣的相似矩陣的性質(zhì)：性質(zhì)：(1

14、) 若若A B，則則f(A) f(B)，其中其中 f(x)=amxm+am-1xm-1+a1x+a0是個多項式是個多項式（2）相似的矩陣有相同的特征多項式，但反之不然）相似的矩陣有相同的特征多項式，但反之不然第七章第七章 線性變換線性變換 線性變換的特征值與特征向量：線性變換的特征值與特征向量： A 0任選一組基：任選一組基：AAnn),(),(11=矩陣矩陣A的特征多項式：的特征多項式：AE如何確定線性變換的特征值和特征向量？如何確定線性變換的特征值和特征向量？ 矩陣矩陣A的特征值與特征向量：的特征值與特征向量： 0A第七章第七章 線性變換線性變換 特征子空間：特征子空間：上零向量的所有特征

15、向量再添加屬于特征值=V維數(shù)就是屬于特征值維數(shù)就是屬于特征值 的線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)的線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)A的所有特征值的和的所有特征值的和=A的跡的跡A的所有特征值的積的所有特征值的積=A的行列式的行列式A不可逆不可逆 0是是A的特征值的特征值 (1) k 是是kA的的特征值（特征值（k為任意常數(shù)），而且為任意常數(shù)），而且x 仍然是仍然是矩陣矩陣kA屬于特征值屬于特征值 k 的特征向量的特征向量； (2) m是是Am的的特征值，而且特征值，而且x仍然是矩陣仍然是矩陣Am屬于特征值屬于特征值 , m 的特征向量的特征向量; (3)若若A可逆，則可逆，則 1為為A 1的一個特征值

16、，而且的一個特征值，而且x仍然是仍然是矩陣矩陣A 1的屬于特征值的屬于特征值 1的特征向量。的特征向量。若若 是是A的的特征值特征值, x 是是A的屬于的屬于 的特征向量。則的特征向量。則 判斷線性變換在某組基下是否能為對角矩陣？判斷線性變換在某組基下是否能為對角矩陣？ 判別準則是線性變換是否有判別準則是線性變換是否有n個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的如何具體求出一組基，使線變在其下的矩陣是對角的？如何具體求出一組基，使線變在其下的矩陣是對角的？ 任選一組基：任選一組基：AAnn),(),(11=求出求出A的特征值

17、與相應(yīng)的特征向量（應(yīng)該共有的特征值與相應(yīng)的特征向量（應(yīng)該共有n個）個）把這把這n個特征向量按列寫成矩陣個特征向量按列寫成矩陣T則基則基 即為所求即為所求Tnn),(),(11=線性變換在這個新基下的矩陣為對角的，對角線上是特征值線性變換在這個新基下的矩陣為對角的，對角線上是特征值第七章第七章 線性變換線性變換第七章第七章 線性變換線性變換 線性變換的值域線性變換的值域AV：線性變換作用在線空：線性變換作用在線空V上的全體像集合上的全體像集合線性變換的核：所有被變換成零向量的向量組成的集合線性變換的核：所有被變換成零向量的向量組成的集合值域與核都是子空間值域與核都是子空間值域的維數(shù)稱為線變的秩值

18、域的維數(shù)稱為線變的秩核的維數(shù)稱為線變的零度核的維數(shù)稱為線變的零度值域的維數(shù)值域的維數(shù)=線變的秩線變的秩=線變在基下矩陣的秩線變在基下矩陣的秩值域一組基的原像與核的一組基合起來就是值域一組基的原像與核的一組基合起來就是V的一組基的一組基線變的秩線變的秩+線變的零度線變的零度=線空的維數(shù)線空的維數(shù)有限維線空的線性變換，單射有限維線空的線性變換，單射滿射滿射n,21設(shè)設(shè) 為為V的一組基，則值域的一組基，則值域=L(A , A )1n第七章第七章 線性變換線性變換 線性變換的不變子空間：線性變換的不變子空間：W是線空是線空V的子空間，如果的子空間，如果W中的向量在中的向量在線變下仍在線變下仍在W中中如

19、何判斷或證明不變子空間如何判斷或證明不變子空間方法方法二二.1.求特征值與特征向量的方法 抽象矩陣抽象矩陣具體數(shù)字矩陣具體數(shù)字矩陣-12.APP APkA 判斷 可對角化的方法，求可逆陣 ，使， 并求3. 求值域與核的基與維數(shù)的方法第九章第九章 歐幾里得空間歐幾里得空間:.概念概念一一內(nèi)積、歐氏空間定義內(nèi)積、歐氏空間定義. 1長長度度、夾夾角角、正正交交. 2:A. 3內(nèi)內(nèi)積積關(guān)關(guān)于于基基的的度度量量矩矩陣陣標準正交基及存在性標準正交基及存在性. 4正正交交矩矩陣陣及及性性質(zhì)質(zhì).5正定7. 子空間正交的概念、正交補空間8.正交變換定義9.對稱變換定義同構(gòu)同構(gòu). 6第九章第九章 歐幾里得空間歐幾

20、里得空間 如何判定如何判定歐幾里得空間？歐幾里得空間？實數(shù)域?qū)崝?shù)域R上的線空上的線空V，若定義了內(nèi)積，滿足，若定義了內(nèi)積，滿足v 0),(0),(),(),(),(),(),(),(),(=+=+=零向量時，當(dāng)且僅當(dāng)kk第九章第九章 歐幾里得空間歐幾里得空間 向量的長度：向量的長度：),( =向量的夾角：向量的夾角：=,0,),(arccos,三角不等式：三角不等式：+向量的正交或垂直：向量的正交或垂直：0),(=第九章第九章 歐幾里得空間歐幾里得空間 基的度量矩陣：基的度量矩陣：設(shè)設(shè) 則則11( ,)( ,)nnXY，AYXT=),(v其中其中A為基的度量矩陣，為基的度量矩陣，),(jiij

21、a=不同基的度量矩陣是合同的不同基的度量矩陣是合同的),(1n ),(1n Cnn),(),(11=設(shè)基設(shè)基 的度量矩陣為的度量矩陣為A， 基基 的度量矩陣為的度量矩陣為B， 且有且有 則有則有ACCBT=度量矩陣是實對稱正定的度量矩陣是實對稱正定的第九章第九章 歐幾里得空間歐幾里得空間 正交向量組：一組非零向量，兩兩正交正交向量組：一組非零向量，兩兩正交正交向量組是線性無關(guān)的正交向量組是線性無關(guān)的標準正交基：單位的、兩兩正交的基標準正交基：單位的、兩兩正交的基標準正交基下，標準正交基下，為標正基下的坐標YXYX,),(=第九章第九章 歐幾里得空間歐幾里得空間 會用Schimidt正交化算法(

22、標正基標正基II)=(標正基標正基I)*正交矩陣正交矩陣由標正基到標正基的過渡矩陣是正交矩陣由標正基到標正基的過渡矩陣是正交矩陣由標正基由標正基I及正交矩陣的過渡矩陣可得基及正交矩陣的過渡矩陣可得基II為標正為標正基基正交矩陣的行列式等于正交矩陣的行列式等于1（第一類的）或（第一類的）或-1（第二類的）（第二類的）正交矩陣：正交矩陣：EAAT第九章第九章 歐幾里得空間歐幾里得空間 判斷歐空判斷歐空V到歐空到歐空V的同構(gòu)？的同構(gòu)？ ),()(),()()()()()(=+=+kk為雙射；在標正基下，每個在標正基下，每個n維歐空都與維歐空都與 同構(gòu)同構(gòu)nR兩個有限維歐空，同構(gòu)兩個有限維歐空，同構(gòu)同維同維第九章第九章 歐幾里得空間歐幾里得空間 正交變換：（線性）變換基礎(chǔ)上保持內(nèi)積不變正交變換：（線性）變換基礎(chǔ)上保持內(nèi)積不變 (A , A )=),(對于線性變換，以下四命題等價：對于線性變換，以下四命題等價：正交變換正交變換保持長度不變保持長度不變標正基的像仍是標正基標正基的像仍是標正基在任一組標正基下的矩陣是正交矩陣