概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案

1、第一章 隨機事件及其概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計是從數(shù)量化的角度來研究現(xiàn)實世界中一類不確定現(xiàn)象（隨機現(xiàn)象）規(guī)律性的一門應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科，本章介紹的隨機事件與概率是概率論中最基本、最重要的概念之一.§1.1 隨機事件一、隨機試驗1確定性現(xiàn)象:必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象。 在正常的大氣壓下，將純凈水加熱到100時必然沸騰,向上拋一石子必然下落，異性電荷相互吸引，同性電荷相互排斥等 2隨機現(xiàn)象:在一定條件下我們事先無法準(zhǔn)確預(yù)知其結(jié)果的現(xiàn)象，稱為隨機現(xiàn)象.擲一顆骰子，可能出現(xiàn)1，2，3，4，5，6點,拋擲一枚均勻的硬幣，會出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種不同的結(jié)果.3隨機現(xiàn)象的特點：人們通過長期實踐并深入研究

2、之后，發(fā)現(xiàn)這類現(xiàn)象在大量重復(fù)試驗或觀察下，它的結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種統(tǒng)計規(guī)律性.概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科.4. 隨機試驗 為了對隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性進行研究,就需要對隨機現(xiàn)象進行重復(fù)觀察, 我們把對隨機現(xiàn)象的觀察稱為隨機試驗, 并簡稱為試驗，記為. 5.隨機試驗具有下列特點:1. 可重復(fù)性: 試驗可以在相同的條件下重復(fù)進行;2. 可觀察性: 試驗結(jié)果可觀察,所有可能的結(jié)果是明確的;3. 隨機性(不確定性): 每次試驗出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)知. ，但可以肯定會出現(xiàn)所有可能結(jié)果中的一個.二、隨機事件1.樣本點：隨機試驗中的每一個可能出現(xiàn)的試驗結(jié)果稱為這個試驗的一個 樣本點,記

3、作. 2樣本空間：全體樣本點組成的集合稱為這個隨機試驗的樣本空間，記為.(或)即例1:：投擲一枚硬幣，觀察正面，反面出現(xiàn)的情況，則樣本空間為：將一枚硬幣連拋兩次，觀察正面，反面出現(xiàn)的情況，則樣本空間為：將一枚硬幣連拋兩次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)，則樣本空間為：記錄某電話臺在一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，則樣本空間為：已知某物體長度在10與20之間，測量其長度，則樣本空間為：在一大批燈泡中任取一只，測試其使用壽命，則樣本空間為注：1)在 中，雖然一分鐘內(nèi)接到電話的呼叫次數(shù)是有限的，不會非常大，但一般說來，人們從理論上很難定出一個次數(shù)的上限，為了方便，視上限為，這種處理方法在理論研究中經(jīng)常被采用2)樣本空間

4、的元素是由試驗的目的所確定的，如和中同是將一枚硬幣連拋兩次，由于試驗的目的不一樣，其樣本空間也不一樣3隨機事件：我們稱試驗的樣本空間的子集為的隨機事件，簡稱事件，在隨機試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗中具有某種規(guī)律性.一般用，等大寫字母表示事件設(shè)為一個事件，當(dāng)且僅當(dāng)試驗中出現(xiàn)的樣本點時，稱事件在該次試驗中發(fā)生如：在拋擲一枚均勻硬幣的試驗中，“正面向上”是一 個隨機事件，可用正面向上表示擲骰子，“出現(xiàn)偶數(shù)點”是一個隨機事件，試驗結(jié)果為2，4或6點， 可用B2，4，6表示注: 要判斷一個事件是否在一次試驗中發(fā)生，只有當(dāng)該次試驗有了結(jié)果以后才能知道1)基本事件 ：僅含一個樣本點的隨機事

5、件稱為基本事件.如:拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，那么“出現(xiàn)1點”、“出現(xiàn)2點”,.,“出現(xiàn)6 點”為該試驗的基本事件 2)必然事件：樣本空間本身也是的子集，它包含的所有樣本點，在每次試驗中必然發(fā)生，稱為必然事件即必然發(fā)生的事件.如：“拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)不超過6”為必然事件. 3)不可能事件：空集也是的子集，它不包含任何樣本點，在每次試驗中都不可能發(fā)生，稱為不可能事件不可能發(fā)生的事件是不包含任何樣本點的. 如：“擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)大于6”是不可能事件.三、事件間的關(guān)系與運算研究原因：希望通過對簡單事件的了解掌握較復(fù)雜的事件 研究規(guī)則：事件間的關(guān)系和運算應(yīng)該按照集合之間的關(guān)系和運算來規(guī)

6、定 事件間的關(guān)系及運算與集合的關(guān)系及運算是一致的.1 子事件、包含關(guān)系 ,2相等事件:若事件發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生，且若事件發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生， 即 A=B注：事件與事件含有相同的樣本點 例如：在投擲一顆骰子的試驗中，事件“出現(xiàn)偶數(shù)點”與事件“出現(xiàn)2，4或6點”是相等事件。3和事件或并事件， 4、積事件或交事件， .5、事件的差，.注：例如，在例1的中，若記，則， 6、互斥或互不相容.事件A和隨機B不能同時發(fā)生.注：.推廣：設(shè)事件滿足稱事件是兩兩互不相容的.7對立事件或互逆事件 若事件和事件中有且僅有一個發(fā)生，即則事件和事件為互逆事件或?qū)α⑹录?。記的對立事件?注:互逆事件必為互斥事件，反之，

7、互斥事件未必為互逆事件事件的關(guān)系與運算可用圖來直觀的表示注: 事件的運算滿足如下基本關(guān)系， 若，則， ，（）8、完備事件組:設(shè)是有限或可列個事件,若其滿足，則稱是樣本空間的一個完備事件組或一個劃分.注:與構(gòu)成一個完備事件組.四、隨機事件的運算規(guī)律冪等律: 交換律: 結(jié)合律： 分配律: 德摩根De Morgan定律: 例2： 一名射手連續(xù)向某個目標(biāo)射擊三次，事件表示該射手第次射擊時擊中目標(biāo)（），試用表示下列各事件（1）前兩次射擊中至少有一次擊中目標(biāo)；（2）第一次擊中目標(biāo)而第二次未擊中目標(biāo)；（3）三次射擊中，只有第三次未擊中目標(biāo)；（4）三次射擊中，恰好有一次擊中目標(biāo)；（5）三次射擊中，至少有一次未

8、擊中目標(biāo)；（6）三次射擊都未擊中目標(biāo)；（7）三次射擊中，至少兩次擊中目標(biāo)；（8）三次射擊中，至多一次擊中目標(biāo)解:分別用表示（1），（2），（8）中所給出的事件（1）（2）或（3）（4）（4）或（6）（7）(8) 備講例2：甲，乙，丙三人各射一次靶，記“甲中靶” “乙中靶” “丙中靶” 則可用上述三個事件的運算來分別表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： (2) “甲中靶而乙未中靶”： (3) “三人中只有丙未中靶”： (4) “三人中恰好有一人中靶”： (5)“ 三人中至少有一人中靶”： (6)“三人中至少有一人未中靶”： 或(7)“三人中恰有兩人中靶”： (8)“三人中至少兩人中靶”： (

9、9)“三人均未中靶”： (10)“三人中至多一人中靶”： (11)“三人中至多兩人中靶”： 或注：用其他事件的運算來表示一個事件, 方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)實際上是同一事件，讀者應(yīng)學(xué)會用不同方法表達同一事件, 特別在解決具體問題時,往往要根據(jù)需要選擇一種恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒?例3如圖所示電路中，“燈亮”，分別表示“開關(guān)，閉合” ， 這是因為，如果 發(fā)生，即開關(guān)，同時閉合，則整個電路接通，于是燈亮，即發(fā)生，所以,同理如果發(fā)生，即 或 中至少一個發(fā)生，則整個電路接通，于是燈亮，即發(fā)生，所以反之，如果發(fā)生，即燈亮，則 或中至少有一個發(fā)生，所以由事件相等的定義，課堂練習(xí)1. 設(shè)當(dāng)事件與同時

10、發(fā)生時也發(fā)生, 則 ( C )(A) 是的子事件; (B)或(C) 是的子事件; (D) 是的子事件.2. 設(shè)事件甲種產(chǎn)品暢銷, 乙種產(chǎn)品滯銷, 則的對立事件為 (D).(A) 甲種產(chǎn)品滯銷,乙種產(chǎn)品暢銷;(B) 甲種產(chǎn)品滯銷;(C) 甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷;(D) 甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷.§1.2頻率與概率隨機事件在一次隨機試驗中是否會發(fā)生，事先不能確定，但希望知道它發(fā)生可能性的大小這里先引入頻率的概念，進而引出表征事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小的數(shù)字度量概率一、頻率及其性質(zhì)1定義1在相同條件下重復(fù)進行了次試驗，如果事件在這次試驗中發(fā)生了次，則稱比值為事件發(fā)生的頻率，記作它具

11、有下述性質(zhì): 非負(fù)性規(guī)范性有限可加性頻率的大小表示了在次試驗中事件發(fā)生的頻繁程度頻率大，事件發(fā)生就頻繁，在一次試驗中發(fā)生的可能性就大，反之亦然因而直觀的想法是用頻率來描述在一次試驗中發(fā)生的可能性的大小2 頻率的穩(wěn)定性隨機事件在相同條件下重復(fù)多次時，事件發(fā)生的頻率在一個固定的數(shù)值附近擺動，隨機試驗次數(shù)的增加更加明顯,事件的頻率穩(wěn)定在數(shù)值，說明了數(shù)值可以用來刻劃事件發(fā)生可能性的大小，可以規(guī)定為事件的概率二、概率的統(tǒng)計定義定義2對任意事件，在相同的條件下重復(fù)進行次試驗，事件發(fā)生次，從而事件發(fā)生的頻率，隨著試驗次數(shù)的增大而穩(wěn)定地在某個常數(shù)附近擺動,那么稱為事件的概率上述定義稱為隨機事件概率的統(tǒng)計定義在

12、實際應(yīng)用時，往往可用試驗次數(shù)足夠大時的頻率來估計概率的大小，且隨著試驗次數(shù)的增加，估計的精度會越來越高在實際中，我們不可能對每一個事件都做大量的試驗，然后求得事件發(fā)生的頻率，用以表征事件發(fā)生的概率為此給出概率的嚴(yán)格的公理化定義三、概率的公理化定義定義3 設(shè)是隨機試驗，是它的樣本空間，對的每一個事件賦予一個實數(shù)，記為，若滿足下列三個條件：（1）非負(fù)性對每一個事件，有；（2）規(guī)范性對于必然事件，有（3）可列可加性設(shè)是兩兩互不相容的事件，有則稱為事件發(fā)生的概率四、概率的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2.有限可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件,則有 即若則性質(zhì)3.對任一隨機事件，有 性質(zhì)4.設(shè)是兩個事件,若 則，證明因為

13、，從而有），且由性質(zhì)2得所以由于，因此性質(zhì)5：對任意事件.性質(zhì)6(減法公式)：對事件,則證明由于，而根據(jù)性質(zhì)4可得性質(zhì)7:對任意兩個事件，有推廣:證明:因為且，由性質(zhì)2及性質(zhì)4得 一般地,設(shè)為n個隨機事件，則有 此公式稱為概率的一般加法公式。例1：設(shè) 求(1) ; (2) ; (3) ; (4) .解: (1)(2);(3) (4) 例2：設(shè)， 求事件全不發(fā)生的概率。解： 因為,所以,而所以練習(xí):設(shè)事件A、B的概率分別為1/3、1/2，求在下列三種情況下的值（1）A與B互不相容 （2） （3）P（AB）=1/8解：（1）由已知得=P（B）=1/2（2）=P（B）-P（A）=1/6（3）=P（B

14、-A)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=3/8§1.3 古典概型與幾何概型一、古典概型我們稱具有下列兩個特征的隨機試驗?zāi)Ｐ蜑楣诺涓判停?）隨機試驗只有有限個可能的結(jié)果；（2）每一個結(jié)果發(fā)生的可能性大小相同古典概型又稱為等可能概型 設(shè)試驗是古典概型，樣本空間為，則基本事件，兩兩互不相容，且由于及，因此若事件包含個基本事件，即其中是中某個不同的數(shù)，則有 即二、 計算古典概率的方法1基本計數(shù)原理：(1). 加法原理：設(shè)完成一件事有種方式,其中第一種方式有種方法，第二種方式有種方法，,第種方式有種方法，無論通過哪種方法都可以完成這件事,則完成這件事的方法總數(shù)為.(2). 乘法原理：設(shè)完

15、成一件事有個步驟,其中第一個步驟有種方法，第二個步驟有種方法，第個步驟有種方法；完成該件事必須通過每一步驟才算完成，則完成這件事的方法總數(shù)為 .2. 排列組合方法(1) 排列公式：從n個不同元素中任取k個的不同排列總數(shù)為 (2) 組合公式；從n個不同元素中任取k個的不同組合總數(shù)為例1 :將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面H,反面T出現(xiàn)的情況。 (1) 設(shè)事件 為“恰有一次出現(xiàn)正面”，求 (2)設(shè)事件為“第一次出現(xiàn)正面”， 求, (3)設(shè)事件 為“至少有一次出現(xiàn)正面” ,求 解： 中包含有限個元素，且每個基本事件發(fā)生的可能性相同，屬于古典概型。樣本空間 , (1) , （2) ,(3) 或 例2: 袋

16、中裝有5只白球3只黑球，分別按下列方式抽取2只：（1）第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球這種取球方式叫做不放回抽樣（2）第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球這種取球方式叫做放回抽樣（3）一次任取2只設(shè)“所取2只球均為白球”，“所取2只球中一白一黑”，求解（1）不放回抽樣. 第一次從8只球中抽取一只，不再放回，故第二次從7只球中抽取1只，因此基本事件總數(shù)為.因為第一次有5只白球供抽取，第二次有4只白球供抽取，所以事件中包含的基本事件數(shù)為，所以 從5只白球中任取一只共有5種方法，從3只黑球中任取一只共有3種方法，第一次取得白球第二次取得黑球及第一次取得黑球第二次取得

17、白球構(gòu)成事件，共有種方法， 故（2）放回抽樣. 因為每次都是從8只球中抽取，故由乘法原理，基本事件總數(shù)的,又由于兩次都是從5只白球中抽取，故構(gòu)成的基本事件數(shù)為， 因此事件包含的基本事件數(shù)：第一次取得白球第二次取得黑球有個基本事件，第一次取得黑球第二次取得白球有個基本事件，故（3）一次任取2只因為不考慮次序，將從8只球中抽取2只的可能組合作為基本事件，總數(shù)為·事件發(fā)生的基本事件數(shù)為從5只白球中任取2只的組合，有個故事件發(fā)生的基本事件數(shù)為從5只白球中任取1只，從3只黑球中任取一只構(gòu)成的組合，共有個，故例3 一批產(chǎn)品共10件，其中有3件次品，今從中隨機取4件，問其中恰有2件為次品的概率是多

18、少? 解：設(shè)=從中隨機地取4件,恰有2件為次品10件產(chǎn)品中隨機地取4件共有種取法，每種取法為一基本事件且每個基本事件發(fā)生是等可能的，又因在3件次品中取2件的取法有種，在7件正品中取2件正品的取法有種，由乘法原理，在4件產(chǎn)品中有2件次品，2件正品的取法共有·種，所以例4:有只球，隨機放在個盒子中（）試求下列各事件的概率（1）每個盒子中至多有一只球；（2）某指定的個盒子中各有一只球；（3）恰有個盒中各有一球解:只球放入個盒子里的方法共有種，即為基本事件總數(shù)（）設(shè)“每個盒子中至多有一只球”因為每個盒子中至多放一只球，共有種不同的放法即中包含的基本事件數(shù)為所以（2）設(shè)“某指定的個盒子中各有一

19、只球”由于只球在指定的個盒中各放一只，共有種放法，故中包含的基本事件數(shù)為.所以（3）設(shè)“恰有個盒中各有一只球”由于在個盒中選取個盒子的選法有種，而對于每一種選法選出的個盒，其中各放一只球的放法有種所以包含的基本事件數(shù)為所以例如，假設(shè)每個人的生日在一年天中的任一天是等可能的，即都等于，那么隨機選取個人，他們的生日各不相同的概率因而，個人中至少有兩人生日相同的概率為如果，可算出，即在一個50人的班級里，“至少有兩個人的生日相同”這一事件發(fā)生的概率與1差別很小例5:從的100個整數(shù)中任取一個，試求取到的整數(shù)既不能被6整除，又不能8整除的概率解:設(shè)“取到的數(shù)能被6整除”，“取到的數(shù)能被8整除”，“取到

20、的數(shù)既不能被6整除，也不能被8整除”則， 對，設(shè)100個整數(shù)中有個能被6整除，則，所以即中有16個基本事件，同理中含有12個基本事件，則設(shè)既能被6整除又能被8整除即能被24整除的數(shù)為個，則所以即中含有4個基本事件，則故三、幾何概型古典概型只考慮了有限等可能結(jié)果的隨機試驗的概率模型. 將古典概型中的有限性推廣到無限性，而保留等可能性，就得到幾何概型。幾何概型特點: 有一個可度量的幾何圖形，試驗看成在中隨機地投擲一點,事件就是所投擲的點落在中的可度量圖形中 這里我們研究樣本空間為一線段、平面區(qū)域或空間立體等的等可能隨機試驗的概率模型幾何概型.例:某路公共汽車每發(fā)出一輛車，求乘客到達站點后，等待時間

21、不超過的概率如果記此事件為，乘客到達站點的時刻可視為向時間段投擲一隨機點從而向時間段內(nèi)投點對應(yīng)于向線段上投點事件表示“等待時間不超過，而樣本空間，這里所投擲的點落在線段上任一點的可能性都一樣或說具有等可能性我們理解這種等可能性的含義，就是點落在時間段內(nèi)的可能性與該線段的長度成正比，與該線段的位置無關(guān)因此事件的概率決定于線段2，5與0，5的長度比，即幾何概率的定義:如果一個隨機試驗相當(dāng)于從直線、平面或空間的某一區(qū)域任取一點，而所取的點落在中任意兩個度量（長度、面積、體積）相等的子區(qū)域內(nèi)的可能性是一樣的，則稱此試驗?zāi)Ｐ蜑閹缀胃判?，對于任意有度量的子區(qū)域，定義事件“任取一點落在區(qū)域內(nèi)”發(fā)生的概率為例

22、6：甲乙二人相約定7：00-8：00在預(yù)定地點會面，先到的人要等候另一人20分鐘后，方可離開，假定他們在指定的一小時內(nèi)任意時刻到達.求二人能會面的概率。解 設(shè)甲乙二人到達預(yù)定地點的時刻分別為及（分鐘）, 則兩人到達時間的一切可能結(jié)果對應(yīng)于邊長為60的正方形里所有點 二人會面 練習(xí):1 某人午覺醒來，發(fā)覺表停了，他打開收音機，想聽電 臺報時， 求他等待的時間不超過 10 分鐘的概率。 (1/6)2在線段上任意取兩個點 B、C，在 B、C 處折斷此線段而得三折線，求此三折線能構(gòu)成三角形的概率。解：設(shè)A三折線能構(gòu)成三角形設(shè)AD1，ABx，BCy，CD1-x-y，則樣本空間A兩邊之和大于第三邊

23、67;1.4 條件概率一.條件概率例1:兩臺機器加工同一種產(chǎn)品，共100件，第一臺機器加工合格品數(shù)為35件，次品數(shù)為5件，第二臺機器加工合格品數(shù)為50件，次品數(shù)為10件若從100件產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品，已知取到的是第一臺機器加工的產(chǎn)品，問它是合格品的概率是多少解令“取到產(chǎn)品是第一臺機器加工的”，“取到產(chǎn)品為合格品”，于是所求概率是事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率，所以稱它為發(fā)生的條件下發(fā)生的條件概率，并記作可以用古典概型計算因為取到的是第一臺機器加工的，又已知第一臺機器加工40件產(chǎn)品，其中35件是合格品，所以另外，由于表示事件“取到的第一臺機器加工的，并且是合格品”，而在100件產(chǎn)品中是第一臺機器

24、加工的又是合格品的產(chǎn)品為35件，所以，而，從而有定義: 設(shè)是兩個事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，記為，即同樣,可以在的條件下，定義在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率為條件概率（· ）滿足概率公理化定義中的三個基本性質(zhì)：1.非負(fù)性 對任一事件，2. 規(guī)范性:3. 可列可加性：設(shè)兩兩互斥注:, 計算條件概率有兩種方法：（1）在樣本空間中，先求，再按定義計算（2）在縮減的樣本空間中求事件的概率，可得到例2:一袋中有10只球，其中3只黑球，7只白球，依次從袋中不放回取兩球（1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；（2）已知第二次取出的是黑球，求第一

25、次取出的也是黑球的概率解記“第次取到黑球”（）（1）可以在縮減的樣本空間上計算因為已發(fā)生，即第一次取得的是黑球，第二次取球時，所有可取的球只有9只中所含的基本事件數(shù)為9，其中黑球只剩下2只，所以（2）由于第二次取球發(fā)生在第一次取球之后，故縮減的樣本空間的結(jié)構(gòu)并不直觀，因此，直接在中用定義計算因為又由且與互不相容故例3:某種動物由出生活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，這種動物已經(jīng)活到20歲時再活到25歲的概率是多少？解記“該動物活到20歲”，“該動物活到25歲”，顯然，則又0.8，0.4，0.4所以二、乘法公式1定理（乘法公式）設(shè)則有設(shè)則有它表明，兩個事件同時發(fā)生的概率等于其中

26、一個事件發(fā)生的概率與另一事件在前一事件發(fā)生下的條件概率的乘積2、推廣：三個事件的乘法公式:設(shè)為三個事件,且3. 多個事件乘法公式的推廣: 設(shè)為個事件,當(dāng) 時，有 證明：因，故 又 例4：袋中有個白球和個黑球，隨機取出一個，然后放回，并同時再放進與取出的球同色的一只球,，再取第二只,，這樣連續(xù)去3次。問取出的3個球中頭兩個是黑球，第三個是白球的概率是多少?例 5: 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落 下時打破的概率為 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為 7/10 ,若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為 9/10 。求透鏡落下三次而未打破的概率。 解：以表示事件“透鏡第次落

27、下打破”，以表示事件“透鏡落下三次而未打破”，有：三、全概率公式與貝葉斯公式 全概率公式是概率論中的一個基本公式。它使一個復(fù)雜事件的概率計算問題，可化為在不同情況或不同原因或不同途徑下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題。例6:某工廠有甲、乙、丙三臺機器，它們的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的0.25，0.35，0.40，而它們的產(chǎn)品中的次品率分別為0.05，0.04，0.02（1）從所有產(chǎn)品中隨機取一件，求所取產(chǎn)品為次品的概率；（2）從所有產(chǎn)品中隨機取一件，若已知取到的是次品，問此次品分別是由甲、乙、丙三臺機器生產(chǎn)的概率是多少？解:1）設(shè)“取出的產(chǎn)品為次品” 又設(shè)“所取產(chǎn)品來自甲臺”，“所取產(chǎn)品來自乙臺”，“所

28、取產(chǎn)品來自丙臺”由于 ,兩兩互不相容，所以且也兩兩互不相容，于是又已知,故所求概率, 定理3(全概率公式)：設(shè)隨機試驗的樣本空間為，為的任意事件，是的一個完備事件組，（即且兩兩互不相容），且，則全概率公式說明，在復(fù)雜情況下直接計算不易時，可根據(jù)具體情況構(gòu)造一完備事件組，使事件發(fā)生的概率是各事件）發(fā)生的條件下引起事件發(fā)生的概率的總和若已經(jīng)觀察到一個事件已經(jīng)發(fā)生，再來研究事件發(fā)生的各種原因、情況或途徑的可能性的大小，就需要給出貝葉斯公式定理4（貝葉斯公式）設(shè)為一完備事件組，且則對任一事件，有例7:已知自然人患有某種疾病的概率為0.005，據(jù)以往記錄，某種診斷該疾病的試驗具有如下效果，被診斷患有該疾

29、病的人試驗反應(yīng)為陽性的概率為0.95，被診斷不患有該疾病的人試驗反應(yīng)為陽性的概率為0.06，在普查中發(fā)現(xiàn)某人試驗反應(yīng)為陽性，問他確實患有該疾病的概率是多少？解設(shè)事件“試驗反應(yīng)為陽性”，“被診斷者患有此疾病”，則“被診斷者不患有此疾病”由已知，,由全概率公式再由貝葉斯公式，所求概率例8:玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0,1,2只殘次品的概率相應(yīng)地為0.8,0.1和0.1一顧客欲買一箱玻璃杯，在購買時，顧客隨機地查看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回試求：（1）顧客買下該箱玻璃杯的概率；（2）在顧客買下的一箱玻璃杯中，確實沒有殘次品的概率解設(shè)“顧客買下該箱玻璃杯” “箱中恰有只殘

30、次品”顯然， 為的完備事件組，由題意，（）由全概率公式得(2)由貝葉斯公式練習(xí)1:設(shè)有五個壇子，大號壇子兩個，各裝兩個白球一個黑球，中號壇子兩個，各裝三個白球一個黑球，小號壇子一個，裝有十個黑球。如任選一個壇子，從中取出一球，問這球是黑球的概率是多少?2:對以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明當(dāng)機器調(diào)整得良好時，產(chǎn)品的合格率為 90% , 而當(dāng)機器發(fā)生某一故障時，其合格率為 30% 。每天早上機器開動時，機器調(diào)整良好的概率為 75% 。已知某天早上第一件產(chǎn)品是合格品，試求機器調(diào)整得良好的概率是多少？解：“產(chǎn)品合格”,“機器調(diào)整得良好 ”“機器發(fā)生某一故障” §1.5事件的獨立性與伯努利概型一兩個事

31、件的獨立性 定義1:若兩事件,滿足成立則稱事件,相互獨立, 或稱,獨立.注: (1)兩事件互不相容與相互獨立是完全不同的兩個概念，它們分別從兩個不同的角度表達了兩事件間的某種聯(lián)系，互不相容是表述在一次隨機試驗中兩事件不能同時發(fā)生，而相互獨立是表述在一次隨機試驗中一事件是否發(fā)生與另一事件是否發(fā)生互無影響(2) 當(dāng),時, ,相互獨立與,互不相容不能同時成立. 但與既相互獨立又互不相容.證明：，由于AB =，所以但是，由題設(shè)這表明，事件 A 與 B 不相互獨立所以當(dāng),時, ,相互獨立與,互不相容不能同時成立.定理1:設(shè),是兩事件，若,相互獨立，且則反之，或則相互獨立證明若相互獨立，則當(dāng)時，有 反之若

32、則故,相互獨立定理2證:由故 注意：在實際應(yīng)用中，對于事件的獨立性，我們往往不是根據(jù)定義來判斷，而是根據(jù)實際意義來加以判斷的。具體的說，題目一般把獨立性作為條件告訴我們，要求直接應(yīng)用定義中的公式進行計算。例1:從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記“抽到”，“抽到的牌是黑色的”，判斷事件是否獨立？解:利用定義判斷，由得到故事相互獨立例2：甲乙二人向同一目標(biāo)射擊，甲擊中目標(biāo)的概率為0.2，乙擊中目標(biāo)的概率為0.5.試計算目標(biāo)被擊中的概率.解 ： 設(shè)表示“甲擊中目標(biāo)”，表示“乙擊中目標(biāo)”, 則，二、有限個事件的獨立性定義2設(shè)是三個事件，如果滿足等式 則稱事件相互獨立定義3設(shè)是個事件，如果其中任意2

33、個，任意3個，任意個事件之積的概率，都等于各事件的概率之積，則稱事件相互獨立另外，稱無窮多個事件相互獨立，是指其中任意有限多個事件都相互獨立或定義4設(shè)是個事件，若其中任意兩個事件均相互獨立，則稱兩兩相互獨立可見個事件相互獨立，可推得個事件兩兩相互獨立，反之未必.多個相互獨立事件具有如下性質(zhì)：性質(zhì)若事件相互獨立，則其中任意個事件也相互獨立性質(zhì)2若事件相互獨立，則將中任意個事件換成它們的對立事件，所得的個事件仍相互獨立特別是，若相互獨立，則也相互獨立利用多個事件的獨立性，可以簡化概率的計算（1）計算個相互獨立的事件 的積的概率，可簡化為(2)計算個相互獨立的事件 的和的概率，可簡化為 證明: 例3

34、一個人看管三臺機床，設(shè)各臺機床在任一時刻正常工作的概率分別為0.9,0.8,0.85，求在任一時刻，（1）三臺機床都正常工作的概率；（2）三臺機床中至少有一臺正常工作的概率解:三臺機床工作正常與否是相互獨立的，記 “第臺機床正常工作”（），則（1）所求概率為（2）所求概率為 例4在圖14所示的開關(guān)電路中，開關(guān)，的開（或關(guān)）的概率均獨立地等于 求事件“燈亮”的概率解:設(shè) 分別表示開關(guān)，關(guān)閉，記“燈亮”，則，故所求概率為三、伯努利概型在概率論中，只考慮兩個可能結(jié)果的隨機試驗稱為伯努利試驗為方便起見，將兩個可能結(jié)果說成事件發(fā)生或事件不發(fā)生，記 將伯努利試驗在相同條件下獨立地重復(fù)進行次，稱這一串重復(fù)的

35、獨立試驗為重伯努利試驗，或簡稱為伯努利概型重伯努利試驗是一種很重要的數(shù)學(xué)模型，在實際問題中應(yīng)用廣泛，特點是事件在每次試驗中發(fā)生的概率均為，且不受其他各次試驗中是否發(fā)生的影響對于伯努利概型，主要研究次試驗中事件發(fā)生次的概率定理3（伯努利定理）設(shè)在一次試驗中，事件A發(fā)生的概率為則在重伯努利試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率為證明在重伯努利試驗中，由于各次試驗是相互獨立進行的，因此事件在指定的次試驗中發(fā)生，其余次試驗中均不發(fā)生（比如在前次試驗中發(fā)生，在后次試驗中均不發(fā)生）的概率為由于這樣的指定方式共有種，根據(jù)概率的加法公式可得在次試驗中發(fā)生次的概率為定理4:設(shè)在一次試驗中，事件發(fā)生的概率為，則在伯努利試驗

36、序列中，事件在第k次試驗中才首次發(fā)生的概率為證明“事件在第次試驗中首次發(fā)生”等價于“事件在前次試驗中均不發(fā)生而第次試驗中發(fā)生”，故所求的概率例5一袋中裝有10只球，其中3只黑球，7只白球，每次從中隨意取出一球，取后放回（1）如果共取10次，求10次中恰好3次取到黑球的概率及10次中能取到黑球的概率；（2）如果未取到黑球就一直取下去，直到取到黑球為止，求恰好要取3次的概率及至少要取3次的概率解:設(shè)“第次取到黑球”，則（1）設(shè)“10次中能取到黑球”， “10次中恰好取到次黑球”，于是10次中恰好3次取到黑球的概率10次中能取到黑球的概率 （2）設(shè)“恰好要取3次”“至少要取3次”，則所求概率為 例6

37、設(shè)在獨立重復(fù)試驗中每次事件發(fā)生的概率為0.5，問最少需要進行多少次試驗，才能使事件至少發(fā)生一次的概率不小于0.9？解：設(shè)最少需要進行次獨立重復(fù)試驗，則在次試驗中事件至少發(fā)生一次的概率為解得所以練習(xí) 1三人獨立地去破譯一份密碼, 已知每個人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4。問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？ 解：將三人分別編號為1, 2, 3，記 = 第i個人破譯出密碼 ，所求為已知 ，且相互獨立， 2一大批產(chǎn)品的次品率為0.05，現(xiàn)從中取出10件試求下列事件的概率： B= 取出的10件產(chǎn)品中恰有4件次品 C= 取出的10件產(chǎn)品中至少有2件次品 D= 取出的10件產(chǎn)品中沒有次品

38、 解： 取10件產(chǎn)品可看作是一10重貝努里試驗 第二章 隨機變量及其分布在隨機試驗中，人們除對某些特定事件發(fā)生的概率感興趣外，往往還關(guān)心某個與隨機試驗的結(jié)果相聯(lián)系的變量. 由于這一變量的取值依賴于隨機試驗結(jié)果，因而被稱為隨機變量. 與普通的變量不同，對于隨機變量，人們無法事先預(yù)知其確切取值，但可以研究其取值的統(tǒng)計規(guī)律性. 本章將介紹兩類隨機變量及描述隨機變量統(tǒng)計規(guī)律性的分布.§2.1 隨機變量 一、隨機變量概念的引入為全面研究隨機試驗的結(jié)果, 揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性, 需將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，即把隨機試驗的結(jié)果與實數(shù)對應(yīng)起來.1. 在有些隨機試驗中, 試驗的結(jié)果本身就由數(shù)量來表示

39、.例如: 在擲骰子試驗中,結(jié)果可用1,2,3,4,5,6來表示2. 在另一些隨機試驗中, 試驗結(jié)果看起來與數(shù)量無關(guān),但可以指定一個數(shù)量來表示. 例如: 擲硬幣試驗,其結(jié)果是用漢字“正面”和“反面”來表示的，可規(guī)定: 用1表示 “正面朝上” 用 0 表示“反面朝上” 二、隨機變量的定義1定義 設(shè)隨機試驗的樣本空間為, 對每個,都有一個實數(shù)與之對應(yīng),則稱為隨機變量.簡記為.隨機變量通常用英文大寫字母或希臘字母等表示。隨機變量的取值一般用小寫字母等表示。 2隨機變量的特征 1) 它是一個變量， 2) 它的取值隨試驗結(jié)果而改變3）隨機變量在某一范圍內(nèi)取值，表示一個隨機事件，具有一定的概率 三、引入隨機

40、變量的意義 隨機變量的引入,使得隨機試驗中的各種事件可通過隨機變量的關(guān)系式表達出來.由此可見,隨機事件這個概念實際上是包容在隨機變量這個更廣的概念內(nèi).也可以說,隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象,而隨機變量則以動態(tài)的觀點來研究之.其關(guān)系類似高等數(shù)學(xué)中常量與變量的關(guān)系. 隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件. 引入隨機變量后,對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究,就由對事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機變量及其取值規(guī)律的研究,使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對隨機試驗的結(jié)果進行廣泛而深入的研究.四、隨機變量的類型隨機變量因其取值方式不同, 通常分為離散型和非離散型兩類. 而非離散型隨機變量中最重要的是連續(xù)型

41、隨機變量. 離散型：隨機變量的所有取值是有限個或可列個連續(xù)性：隨即變量的取值是某個區(qū)間或整個數(shù)軸§2.2離散型隨機變量及其概率分布一.離散型隨機變量的概率分布1、定義：如果隨機變量的取值是有限個或可列無窮個，則稱為離散型隨機變量2、定義(概率分布)設(shè)離散型隨機變量的所有可能取值為 ， 取各個可能值的概率,即事件的概率為則稱其為離散型隨機變量的概率分布或分布律.常用表格形式來表示的概率分布: 注：離散型隨機變量可完全由其分布律來刻劃即離散型隨機變量可完全由它 的可能取值以及取這些值的概率唯一確定離散型隨機變量分布律的性質(zhì):例一箱中裝有6個產(chǎn)品，其中有2個是二等品，現(xiàn)從中隨機地取出3個，

42、試求取出的二等品個數(shù)的概率分布解：隨機變量的可能取值是0,1,2，在6個產(chǎn)品中任取3個，共種取法，故, , .所以，的概率分布為 加例：設(shè)隨機變量的分布律為 解：由隨機變量的性質(zhì)，得該級數(shù)為等比級數(shù)，故有 所以二、常用離散型隨機變量的分布1 0-1 分布或兩點分布 或 伯努利分布如果隨機變量的分布律為或則稱隨機變量 X 服從參數(shù)為的 0-1 分布或兩點分布或2.二項分布 如果隨機變量的分布律為 注：(1) (2) 顯然，當(dāng)時 例2射手射擊一槍命中的概率是，求射手射擊6槍中恰好命中槍的概率解:我們將射手射擊一槍看成一次試驗，獨立射擊6槍相當(dāng)于做6重伯努利試驗記為陸次射擊命中的次數(shù)，則是一個隨機變

43、量，且因此例3：某人進行射擊，每次射擊的命中率為0.001，獨立射擊5000次，求命中一次以上的概率解：將一次射擊看成一次試驗，設(shè)擊中的次數(shù)為X，則的概率分布為于是所求概率加例：一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確的某學(xué)生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少？解：每答一道題相當(dāng)于做一次貝努利試驗，,則答5道題相當(dāng)于做5重貝努里試驗設(shè)表示學(xué)生靠猜測能答對的題數(shù), 3泊松分布：如果隨機變量 X 的分布律為 則稱隨機變量 X 服從參數(shù)為的泊松分布注: (1) (2) 泊松分布的應(yīng)用（1）泊松分布是概率論中最重要的幾個分布之一. 實際問題中許多隨機現(xiàn)象都服從或近似服從泊

44、松分布. 泊松分布是概率論中重要的分布之一（2）自然界及工程技術(shù)中的許多隨機指標(biāo)都服從泊松分布（3）例如，可以證明，電話總機在某一時間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)，容器在某一時間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細菌數(shù)，某一時間間隔內(nèi)來到某服務(wù)臺要求服務(wù)的人數(shù)，等等，在一定條件下，都是服從泊松分布的例4:某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)的泊松分布, 求該城市一天內(nèi)發(fā)生3次或3次以上火災(zāi)的概率.解:由概率的性質(zhì), 得4二項分布的泊松近似定理1 (泊松定理) 在重伯努利試驗中, 事件在每次試驗中發(fā)生的概率為(注意這與試驗的次數(shù)有關(guān)), 如果時, (為常數(shù)), 則對任意給定的, 有 . 證

45、： 對于固定的 k，有 所以 泊松定理的應(yīng)用 當(dāng)時近似效果頗佳, 當(dāng)時近似效果更好,例5: 為保證設(shè)備正常工作，需要配備一些維修工，如果各臺設(shè)備發(fā)生故障是相互獨立的，且每臺設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01試在以下各情況下，求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率（1）一名維修工負(fù)責(zé)貳拾臺設(shè)備；（2）3名維修工負(fù)責(zé)90臺設(shè)備解:（1）以X表示20臺設(shè)備中同時發(fā)生故障的臺數(shù)，則以為參數(shù)的泊松分布作近似計算，得（2）以Y表示90臺設(shè)備中同時發(fā)生故障的臺數(shù)，則以參數(shù)的泊松分布作近似計算，得所求概率為練習(xí)1：設(shè)隨機變量 X 服從參數(shù)為的Poisson分布，且已知 解： 隨機變量 X 的分布律為由已知 得 ，所以

46、 練習(xí)2為了保證設(shè)備正常工作，需配備適量的維修工人，現(xiàn)有同類型設(shè)備 300 臺各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是 0.01. 在通常情況下，一臺設(shè)備的故障可有一人來處理. 問至少需配備多少工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于 0.01 ？解：設(shè)需配備 N 人，記同一時刻發(fā)生故障的設(shè)備臺數(shù)為 X ，則 Xb(300，0.01），需要確定最小的 N 的取值，使得： 查表可知，滿足上式的最小的 N 是 8 , 因此至少需配備 8 個工人。練習(xí)3設(shè)有 80 臺同類型的設(shè)備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是 0.01，且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理.考慮兩種配備維修工人的方

47、法： 其一，由 4人維護，每人負(fù)責(zé) 20 臺 其二，由 3 人,共同維護 80 臺.試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小.解：按第一種方法. 以 X 記 “第 1 人負(fù)責(zé)的 20 臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)”，則 X B(20，0.01）.以 Ai 表示事件 “第 i 人負(fù)責(zé)的臺中發(fā)生故障不能及時維修”， 則 80 臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為：按第二種方法. 以 Y 記 80 臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)， 則 YB(80，0.01）. 故 80 臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為：第二種方法中發(fā)生故障而不能及時維修的概率小，且維修工人減少一人。運用概率論討論國民經(jīng)濟

48、問題，可以有效地使用人力、物力資源。§2.3 隨機變量的分布函數(shù) 當(dāng)我們要描述一個隨機變量時，不僅要說明它能夠取哪些值，而且還要指出它取這些值的概率. 只有這樣，才能真正完整地刻畫一個隨機變量, 為此，我們引入隨機變量的分布函數(shù)的概念. 一.隨機變量的分布函數(shù)定義 設(shè)是一個隨機變量, 稱為的分布函數(shù). 注：分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，其定義域是整個實數(shù)軸 在幾何上，它表示隨機變量X的取值落在實數(shù)左邊的概率對于任意的實數(shù) ，有-用分布函數(shù)計算某些事件的概率x1 x2 xXo二、分布函數(shù)的性質(zhì)1. 單調(diào)非減. 若, 則；2. 規(guī)范性 3. 右連續(xù)性. 即反之，具有上述三個性質(zhì)的實函數(shù)，必是

49、某個隨機變量的分布函數(shù)。故該三個性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。三、離散型隨機變量的分布函數(shù)設(shè)離散型隨機變量的概率分布為則的分布函數(shù)為例1：，求它的分布函數(shù),并求,.解：由概率的有限可加性得分布函數(shù)為：一般地，對離散型隨機變量其分布函數(shù)為結(jié)論：離散型隨機變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù),分布函數(shù)的跳躍點對應(yīng)離散型隨機變量的可能取值點,跳躍高度對應(yīng)隨機變量取對應(yīng)值的概率;反之,如果某隨機變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù),則該隨機變量必為離散型.例2設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為求的概率分布.解由于圖形是一個階梯型曲線, 故知是一個離散型隨機變量, 的跳躍點分別為對應(yīng)的跳躍高度分別為 9/19, 6/19, 4/19, 如

50、圖.故X的概率分布為 例3：一個靶子是半徑為 2 米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以 X 表示彈著點與圓心的距離. 試求隨機變量X的分布函數(shù).解：1） 若 則 是不可能事件，于是 3） 若 , 則 是必然事件，于是第四節(jié) 連續(xù)型隨機變量及其概率密度 一、 連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義 如果對隨機變量的分布函數(shù),存在非負(fù)函數(shù),使得對于任意實數(shù)有 則稱為連續(xù)型隨機變量, 稱為的概率密度函數(shù),簡稱為概率密度或密度函數(shù).概率密度性質(zhì)： 關(guān)于概率密度的說明1. 對一個連續(xù)型隨機變量,若已知其密度函數(shù),則根據(jù)定義,可求得其分布函數(shù), 同時, 還可求得的取值落在任意區(qū)間上的概率:2. 連續(xù)型隨機變量取任一指定值的概率為0. 因注： 概率為0的事件不一定是不可能事件.同樣，概率為1的事件也不一定是必然事件。從而 例1:設(shè)連續(xù)型隨機變量具有概率密度(1) 確定常數(shù),(2)求X的分布函數(shù) ,(3) 解(1)由密度函數(shù)的性質(zhì) 得 解得的概率密度為(2) X的分布函數(shù)(3) 二、一些常用的連續(xù)型隨機變量的分布1.均勻分布（1）定義 若連續(xù)型隨機變量的概率密度為則稱在區(qū)間上服從均勻分布,.（2