高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二節(jié)　樣本估計(jì)總體

1、關(guān)鍵能力 突破 欄目多的在上面加，做超鏈接，且各個(gè)欄目居中放；只有“考點(diǎn)”的書，只上”考點(diǎn)一“這種簡(jiǎn)化標(biāo)題 必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 第二節(jié)第二節(jié)樣本樣本估計(jì)總體估計(jì)總體必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求:1.了解分布的意義和作用,會(huì)列頻率分布表,會(huì)畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖,理解它們各自的特點(diǎn).2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用,會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差),并給出合理的解釋.3.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征,理解用樣本估計(jì)總體的思想.會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體

2、的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.在本考點(diǎn)中,常以頻率分布直方圖和樣本的數(shù)字特征的計(jì)算進(jìn)行考查.必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 1.常用統(tǒng)計(jì)圖表常用統(tǒng)計(jì)圖表(1)頻率分布表的畫法:第一步:求極差,決定組數(shù)和組距,組距=;第二步:分組,通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間,最后一組取閉區(qū)間;極差組數(shù)必備知識(shí) 整合 必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 第三步:登記頻數(shù),計(jì)算頻率,列出頻率分布表.(2)頻率分布直方圖:反映樣本頻率分布的直方圖.橫軸表示樣本數(shù)據(jù),縱軸表示,每個(gè)小矩形的面積表示樣本落在該組內(nèi)的頻率.(3)莖葉圖的畫法:第一步:將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分;第二步:將各個(gè)數(shù)據(jù)的莖按

3、大小次序排成一列;第三步:將各個(gè)數(shù)據(jù)的葉依次寫在其莖的右(左)側(cè).頻率組距必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 2.樣本的數(shù)字特征樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù):數(shù)字特征定義與求法特點(diǎn)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)通常用于描述出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),顯然它對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽視使其無法客觀地反映總體特征把一組數(shù)據(jù)按大小順序排列,處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線,它不受少數(shù)極端值的影響必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1,x2,xn,那么這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)=(x1+x2+xn)平均數(shù)和每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān),可以反映樣本數(shù)據(jù)全體的信息,但平均數(shù)受

4、數(shù)據(jù)中極端值的影響較大,故平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低x1n必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 (2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差:(i)標(biāo)準(zhǔn)差:s=.(ii)方差:標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2叫做方差.s2=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2,其中xi(i=1,2,3,n)是樣本數(shù)據(jù),n是樣本容量,是樣本平均數(shù).222121()()() nxxxxxxn1nxxxx必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 1.判斷正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”).(1)在頻率分布直方圖中,小矩形的高表示頻率.()(2)頻率分布直方圖中各個(gè)矩形的面積之和為1.()(3)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).()(4)一組數(shù)

5、據(jù)的方差越大,說明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大.()必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 2.一組樣本數(shù)據(jù)為19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為()A.14,14B.12,14C.14,15.5D.12,15.5A解析解析把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27,則可知其眾數(shù)為14,中位數(shù)為14.必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 3.(人教A版必修3P82A6改編)已知一組樣本數(shù)據(jù)為x1,x2,x10,其中x1,x2,x3的平均數(shù)為a,x4,x5,x6,x10的平均數(shù)為b,則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為()A.B

6、.C.D.2ab3710ab7310ab10abB必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 4.(人教B版必修3P71A6改編)甲、乙兩名同學(xué)6次考試的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示,甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為,標(biāo)準(zhǔn)差分別為s甲,s乙,則()A.,s甲s乙B.s乙x甲x乙x甲x乙x甲x乙C.,s甲,s甲s乙x甲x乙x甲x乙C必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 解析解析由題圖知,甲同學(xué)除第二次考試成績(jī)略低于乙同學(xué)外,其他考試成績(jī)都遠(yuǎn)高于乙同學(xué),可知.圖中數(shù)據(jù)顯示甲同學(xué)的成績(jī)比乙同學(xué)穩(wěn)定,所以s甲s乙.x甲x乙必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 5.(易錯(cuò)題)中小學(xué)生的視力狀況受到社會(huì)的關(guān)注.某市有關(guān)部門從全市6萬名高一學(xué)生中

7、隨機(jī)抽取400名學(xué)生,對(duì)他們的視力狀況進(jìn)行一次調(diào)查統(tǒng)計(jì),將所得到的有關(guān)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖,如圖所示,從左至右五個(gè)小組的頻率之比為5 7 12 10 6,則該市6萬名高一學(xué)生中視力在3.95,4.25)范圍內(nèi)的學(xué)生約有7500人.必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 解析解析由題圖可知,第五小組的頻率為0.50.3=0.15,所以第一小組的頻率為0.15=0.125.所以該市6萬名高一學(xué)生中視力在3.95,4.25)范圍內(nèi)的學(xué)生約有600000.125=7500(人).【易錯(cuò)分析】沒有看懂所提供的頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)的含義,誤將該頻率分布直方圖中的縱坐標(biāo)(頻率與組距的比)看成了頻率,從而導(dǎo)致問

8、題的解答出錯(cuò).56必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 考點(diǎn)一頻率分布直方圖考點(diǎn)一頻率分布直方圖典例典例1某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè),在一個(gè)開學(xué)季內(nèi),每售出1盒該產(chǎn)品獲得利潤(rùn)30元,未售出的產(chǎn)品每盒虧損10元.根據(jù)歷史資料,得到開學(xué)季市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.該同學(xué)為這個(gè)開學(xué)季購(gòu)進(jìn)了160盒該產(chǎn)品,以x(單位:盒,100 x200)表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)的市場(chǎng)需求量,y(單位:元)表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤(rùn).(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量x的眾數(shù)和平均數(shù);關(guān)鍵能力 突破 必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 (2)將y表示為x的函數(shù);(3)根據(jù)頻率分布直方

9、圖估計(jì)利潤(rùn)y不少于4000元的概率.必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 解析解析(1)由頻率分布直方圖得,這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量x的眾數(shù)是150盒,需求量在100,120)內(nèi)的頻率為0.005020=0.1,需求量在120,140)內(nèi)的頻率為0.010020=0.2,需求量在140,160)內(nèi)的頻率為0.015020=0.3,需求量在160,180)內(nèi)的頻率為0.012520=0.25,需求量在180,200內(nèi)的頻率為0.007520=0.15.則平均數(shù)=1100.1+1300.2+1500.3+1700.25+1900.15=153(盒).(2)因?yàn)槊渴鄢?盒該產(chǎn)品獲得利潤(rùn)30元,未售出的產(chǎn)品每

10、盒虧損10元,所以當(dāng)100 x160時(shí),y=30 x-10(160-x)=40 x-1600,x必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 當(dāng)160 x200時(shí),y=16030=4800,所以y=(3)因?yàn)槔麧?rùn)y不少于4000元,所以當(dāng)100 x160時(shí),由40 x-16004000,解得140 x4000恒成立,所以當(dāng)140 x200時(shí),利潤(rùn)y不少于4000元.所以由(1)知利潤(rùn)y不少于4000元的概率P=1-0.1-0.2=0.7.401600,100160,4800,160200.xxx必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 方法技巧方法技巧頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法:(1)組距=頻率.(2)=頻率,=

11、樣本容量,樣本容量頻率=頻數(shù).頻率組距頻數(shù)樣本容量頻數(shù)頻率必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 莖葉圖莖葉圖1.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位:件).若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等,且平均值也相等,則x和y的值分別為()A.3,5B.5,5C.3,7D.5,7A必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 解析解析由莖葉圖可得,甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65,從而乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)也是65,所以y=5.由乙組數(shù)據(jù)59,61,67,65,78,可得乙組數(shù)據(jù)的平均值為66,故甲組數(shù)據(jù)的平均值也為66,從而有=66,解得x=3.故選A.56626574705x必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破

12、 2.(2020湖北襄陽(yáng)月考)甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員5場(chǎng)比賽得分的原始記錄如莖葉圖所示,若甲、乙兩人的平均得分分別為,則下列結(jié)論正確的是()A.;甲比乙成績(jī)穩(wěn)定x甲x乙x甲x乙x甲x乙C.;乙比甲成績(jī)穩(wěn)定D.;甲比乙成績(jī)穩(wěn)定x甲x乙x甲x乙A必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 解析解析因?yàn)?11,=16.8,所以,且乙比甲成績(jī)穩(wěn)定,故選A.x甲278 16225x乙8 12 1821255x甲x乙必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 3.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩班各六名同學(xué)一周的課外閱讀時(shí)間(單位:時(shí)),已知莖葉圖中甲、乙兩班數(shù)據(jù)的值按大小順序依次寫在其莖的左、右兩側(cè),甲班數(shù)據(jù)的平均數(shù)為13,乙班數(shù)

13、據(jù)的中位數(shù)為17,那么x的位置應(yīng)填3,y的位置應(yīng)填8.必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 解析解析由甲班數(shù)據(jù)的平均數(shù)為13可得=13,解得x=3,由乙班數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17可得=17,解得y=8.89 13 15 10206x16102y甲乙890763x519y6021必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)在使用莖葉圖時(shí),一定要看清楚所有的樣本數(shù)據(jù),弄清楚圖中的數(shù)字特點(diǎn),不要漏掉數(shù)據(jù),也不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義.必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 考點(diǎn)三考點(diǎn)三 樣本的數(shù)字特征樣本的數(shù)字特征角度一樣本的數(shù)字特征的簡(jiǎn)單計(jì)算角度一樣本的數(shù)字特征的簡(jiǎn)單計(jì)算典例典例2(1)(2020貴州黔南州期末

14、)已知貴州省的五個(gè)旅游景區(qū)門票票價(jià)(元)如表所示:景區(qū)名稱黃果樹龍宮百里杜鵑青巖古鎮(zhèn) 梵凈山票價(jià)(元)1501509080290必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 則關(guān)于這五個(gè)旅游景區(qū)門票票價(jià)(元),下列說法錯(cuò)誤的是()A.眾數(shù)為150B.平均數(shù)為152C.中位數(shù)為90D.極差為210(2)(2020山東青島三中期中)已知數(shù)據(jù)x1,x2,xn的平均數(shù)=5,方差s2=4,則數(shù)據(jù)3x1+7,3x2+7,3xn+7的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為()A.15,36B.22,6C.15,6D.22,36xCB必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 解析解析(1)由題意知,這組數(shù)據(jù)從小到大排列為80,90,150,150,2

15、90,所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是150,中位數(shù)是150,A說法正確,C說法錯(cuò)誤;極差是290-80=210,D說法正確;平均數(shù)是(80+90+150+150+290)=152,B說法正確.故選C.(2)x1,x2,x3,xn的平均數(shù)為5,=5,+7=+7=35+7=22.x1,x2,x3,xn的方差為4,3x1+7,3x2+7,3x3+7,3xn+7的方差是324=36,故數(shù)據(jù)3x1+7,3x2+7,3xn+7的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為22,6,故選B.1512nxxxn12333nxxxn123()nxxxn必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)1.求平均數(shù)的方法:(1)定義法:若數(shù)據(jù)x1,

16、x2,xn都比較小,且比較分散時(shí),一般選用公式=(x1+x2+xn)來計(jì)算平均數(shù).(2)新數(shù)據(jù)法:若數(shù)據(jù)x1,x2,xn的平均數(shù)為,則數(shù)據(jù)mx1+a,mx2+a,mxn+a的平均數(shù)為m+a.(3)頻數(shù)平均數(shù)法(加權(quán)平均數(shù)):樣本數(shù)據(jù)中,有m1個(gè)x1,m2個(gè)x2,mk個(gè)xk,則x1nxx必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 =.(4)頻率平均數(shù)法:若數(shù)據(jù)x1,x2,xk的頻率分別為p1,p2,pk,則=p1x1+p2x2+pkxk.(5)在頻率分布直方圖中估計(jì)樣本的平均數(shù):估計(jì)樣本的平均數(shù),等于各組中點(diǎn)值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和.2.方差的計(jì)算方法:(1)定義法:用公式s2=(x1-)2+(x2-)2+(x

17、n-)2來計(jì)算方差.xx1 12212kkkm xm xm xmmm1nxxx必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 (2)簡(jiǎn)化公式:方差s2=(+)-n.(3)新數(shù)據(jù)法:若數(shù)據(jù)x1,x2,xn的方差為s2,則數(shù)據(jù)mx1+a,mx2+a,mxn+a的方差為m2s2.(4)若數(shù)據(jù)x1,x2,xk的頻率分別為p1,p2,pk,則方差s2=p1(x1-)2+p2(x2-)2+pk(xk-)2=(p1+p2+pk)-.1n21x22x2nx2xxxx21x22x2kx2x必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 角度二樣本的數(shù)字特征與頻率分布直方圖交匯問題角度二樣本的數(shù)字特征與頻率分布直方圖交匯問題典例典例3 (202

18、0遼寧師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬)某校初三年級(jí)有400名學(xué)生,隨機(jī)抽查了40名學(xué)生測(cè)試1分鐘仰臥起坐的成績(jī)(單位:次),將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.用樣本估計(jì)總體,下列結(jié)論正確的是()C必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 A.該校初三學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為25B.該校初三學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為24C.該校初三學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的人數(shù)約為80D.該校初三學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)約為8必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 解析解析第一組數(shù)據(jù)的頻率為0.025=0.1,第二組數(shù)據(jù)的頻率為0.065=0.3,第三組數(shù)據(jù)的頻率為0.085=0.4,中位數(shù)

19、在第三組內(nèi),設(shè)中位數(shù)為25+x,則x0.08=0.5-0.1-0.3=0.1,x=1.25,中位數(shù)為26.25,故A中結(jié)論錯(cuò)誤;第三組數(shù)據(jù)所在的矩形最高,第三組數(shù)據(jù)的中間值為27.5,眾數(shù)為27.5,故B中結(jié)論錯(cuò)誤;1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的頻率為0.2,超過30次的人數(shù)為4000.2=80,故C中結(jié)論正確;1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的頻率為0.1,1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)為4000.1=40,故D中結(jié)論錯(cuò)誤.故選C.必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 角度三樣本的數(shù)字特征與優(yōu)化決策問題交匯角度三樣本的數(shù)字特征與優(yōu)化決策問題交匯典例典例4甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次,每次中靶

20、環(huán)數(shù)情況如圖所示.必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 (1)請(qǐng)?zhí)顚懴卤?寫出計(jì)算過程):平均數(shù)方差命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)甲乙(2)從下列三個(gè)不同的角度對(duì)這次測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析:從平均數(shù)和方差相結(jié)合看(分析誰的成績(jī)更穩(wěn)定);從平均數(shù)和命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看(分析誰的成績(jī)更好些);從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢(shì)看(分析誰更有潛力).必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 解析解析由題圖知,甲射擊10次中靶環(huán)數(shù)分別為9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.將它們由小到大排列為5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.乙射擊10次中靶環(huán)數(shù)分別為2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.將它們由小到大排列

21、為2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.(1)=(5+62+74+82+9)=7(環(huán)),=(2+4+6+72+82+92+10)=7(環(huán)),=(5-7)2+(6-7)22+(7-7)24+(8-7)22+(9-7)2=(4+2+0+2+4)=1.2,x甲110 x乙1102s甲110110必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 =(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(7-7)22+(8-7)22+(9-7)22+(10-7)2=(25+9+1+0+2+8+9)=5.4.填表如下:2s乙110110平均數(shù)方差命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)甲71.21乙75.43必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 (2)

22、平均數(shù)相同,甲的成績(jī)比乙穩(wěn)定.平均數(shù)相同,甲命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)比乙少,乙的成績(jī)比甲好些.甲的成績(jī)?cè)谄骄鶖?shù)上下波動(dòng),而乙處于上升趨勢(shì),且從第三次開始就沒有比甲少的情況發(fā)生,乙更有潛力.2s甲2s乙必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù):(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平;標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大,越不穩(wěn)定;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,越穩(wěn)定.(2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 1.(2020陜西渭南月考)甲、乙、丙、丁四人參加某運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目選拔賽,四人的平均成績(jī)和方差如下表所示:甲乙丙丁平均環(huán)數(shù)8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4x從這四個(gè)人中選擇一人參加該運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目比賽,則最佳人選是()A.甲B.乙C.丙D.丁 C必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 解析解析由表格中數(shù)據(jù)可知,乙、丙的平均環(huán)數(shù)最高,但丙的方差最小,說明丙的成績(jī)好,且技術(shù)穩(wěn)定.必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 2.(2020課標(biāo)全國(guó),3,5分)在一組樣本數(shù)據(jù)中,1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為p1,p2,p3,p4,且pi=1,則下面四種情形中,對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()A.p