五年級(jí)上冊(cè)奧數(shù)試題-第2講巧求周長(zhǎng)與面積含答案

1、第四講巧求周長(zhǎng)與面積教學(xué)目標(biāo)：1 .掌握巧求周長(zhǎng)與面積的基本方法；2 .理解并掌握割補(bǔ)、平移等數(shù)學(xué)思想方法。巧求周長(zhǎng)【例1】（“希望杯”第一試）右圖中的陰影部分BCGF是正方形，線段FH長(zhǎng)18厘米，線段AC長(zhǎng)24厘米，則長(zhǎng)方形ADHE的周長(zhǎng)是厘米。ABCD【分析】由于圖中陰影部分BCGF是個(gè)正方形，其四條邊的邊長(zhǎng)都相等，且等于長(zhǎng)方形ADHE的寬。FHAC的和應(yīng)為長(zhǎng)方形ADHE的長(zhǎng)加上正方形BCGF的邊長(zhǎng)，所以等于長(zhǎng)方形ADHE的長(zhǎng)與寬之和。所以長(zhǎng)方形ADHE的周長(zhǎng)為:（1824）284厘米?！纠?】如右圖所示，在一個(gè)正方形內(nèi)畫(huà)中、小兩個(gè)正方形，使三個(gè)正方形具有公共頂點(diǎn)，這樣大正方形被分割成了正

2、方形區(qū)域甲，和L形區(qū)域乙和丙。甲的邊長(zhǎng)為4厘米，乙的邊長(zhǎng)是甲的邊長(zhǎng)的1.5倍，丙的邊長(zhǎng)是乙的邊長(zhǎng)的1.5倍，那么丙的周長(zhǎng)為多少厘米？EF長(zhǎng)多少厘米？【分析】乙的周長(zhǎng)實(shí)際上是正方形AHJE的周長(zhǎng)（我們可將乙與甲重合的兩條線段分別向左、向下平移），同樣的，丙的周長(zhǎng)也就是正方形ABCD的周長(zhǎng)。由于AE41.56,AD61.59,所以丙的周長(zhǎng)為9436厘米，EFAEAF642（厘米）?！纠?】用若干個(gè)邊長(zhǎng)都是2厘米的平行四邊形與三角形（如右圖）拼接成一個(gè)大的平行四邊形，已知大平行四邊形的周長(zhǎng)是244厘米,那么平行四邊形和三角形各有多少個(gè)？四升五競(jìng)賽班第四講教師版Page30【分析】大平行四邊形上、下兩

3、邊的長(zhǎng)為(24422)2120厘米，觀察上邊，每6厘米有兩個(gè)平行四邊形的邊，所以共有小平行四邊形1206240個(gè)，三角形的數(shù)量與小平行四邊形的數(shù)量相等，也是40個(gè)。拓展用若干個(gè)邊長(zhǎng)都是2厘米的平行四邊形與三角形(如右圖)拼接成一個(gè)大的平行四邊形,已知大平行四邊形的周長(zhǎng)是236厘米，那么平行四邊形和三角形各有多少個(gè)？分析大平行四邊形上、下兩邊的長(zhǎng)為(23622)2116厘米，觀察上邊，每6厘米有兩個(gè)平行四邊形的邊，116619L2,所以有三角形19238個(gè)，小平行四邊形38139個(gè)。【例4】有9個(gè)小長(zhǎng)方形，它們的長(zhǎng)和寬分別相等，用這9個(gè)小長(zhǎng)方形拼成白大長(zhǎng)方形(如圖)的面積是45平方厘米，求這個(gè)大

4、長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)?！痉治觥客卣狗治觥纠?】從圖上可以知道，小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的4倍等于寬的5倍，所以長(zhǎng)是寬的541.25倍。每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為4595平方厘米，所以1.25寬寬5,所以寬為2厘米,長(zhǎng)為2.5厘米。大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為(2.5422.5)229厘米。右圖的長(zhǎng)方形被分割成5個(gè)正方形，已知原長(zhǎng)方形的面積為120平方厘米，求原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬。大正方形邊長(zhǎng)的2倍等于小正方形邊長(zhǎng)的3倍，所以大正方形的邊長(zhǎng)是小正方形邊長(zhǎng)的1.5倍，大正方形的面積是小正方形面積的1.51.52.25倍，所以小正方形面積為120(2.2523)16平方厘米，所以小正方形的邊長(zhǎng)為4厘米，大正方形的邊長(zhǎng)為6厘米，原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為

5、4312厘米，寬為4610厘米。(希望杯培訓(xùn)題)如右圖所示，在一個(gè)正方形上先截去寬11分米的長(zhǎng)方形，再截去寬7分米的長(zhǎng)方形，所得圖形的面積比原正方形減少301平方分米。原正方形的邊長(zhǎng)是分米。11【分析】把截去的兩個(gè)長(zhǎng)方形拼在一起，如右下圖所示，再補(bǔ)上長(zhǎng)11分米、寬7分米的小長(zhǎng)方形，所得長(zhǎng)方形的面積是301117378平方分米，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于原正方形的邊長(zhǎng)，寬為11718分米，所以原正方形邊長(zhǎng)為：3781821分米。四升五競(jìng)賽班第四講教師版Page31巧求面積:例6如圖，一個(gè)矩形被分成八個(gè)小矩形，其中有五個(gè)矩形的面積如圖中所示（單位：平方厘米），問(wèn)大矩形的面積是多少平方厘米？36C16B20

6、E3012GF【分析】通過(guò)分析題目中的已知條件可以看出，面積為16平方厘米和面積為20平方厘米的兩個(gè)長(zhǎng)方形的寬相等，即BC相等，不妨假設(shè)BC2厘米，可以算得：AC8厘米，CD10厘米。于是可以算得：GC3684.5厘米，BE30103厘米，EF1281.5厘米。于是大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為10818厘米，寬為4.5231.511厘米，因此大長(zhǎng)方形的面積為1811198平方厘米?！纠?】【分析】一塊正方形的苗圃（如右圖實(shí)線所示），若將它的邊長(zhǎng)各增加30米（如圖虛線所示），則面積增加9900平；方米，問(wèn)原來(lái)這塊正方形苗圃的面積是多少平方：米？：小正方形的面積為：3030900平方米。用增加的k面積減去小正方

7、形的面積就得到增加的兩個(gè)長(zhǎng)方形卜。的面積和，為：99009009000平方米。而增加30的兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積相等，于是其中一個(gè)長(zhǎng)方形的.面積為900024500平方米。長(zhǎng)方形的寬為30米，那么長(zhǎng)為：450030150米，這就是原來(lái)這塊正方形苗圃的邊長(zhǎng)，原來(lái)這塊正方形苗圃的面積平方米）四升五競(jìng)賽班第四講教師版Page32【例8】長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是30厘米，以這個(gè)長(zhǎng)方形的每一條邊為邊長(zhǎng)向外畫(huà)正方形。已知這四個(gè)正方形的面積之和為290平方厘米，那么長(zhǎng)方形ABCD的面積是多少平方厘米？【分析】從圖形我們可以看出，AB的長(zhǎng)度恰好為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和，即為長(zhǎng)方形ABCD周長(zhǎng)的一

8、半，可以看出若以A1B和BCi為邊能構(gòu)成大正方形ABC1E1（如右圖b所示），其中包含兩個(gè)長(zhǎng)方形和兩個(gè)正方形，而且兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積是相等的，兩個(gè)正方形的面積剛好是290平方厘米的一半。這樣我們?nèi)菀浊蟪觯捍笳叫蜛1BC1E1的邊長(zhǎng)為30215厘米，面積為：1515225平方厘米，正方形CDDiCi與正方形ADEAi的面積之和為：2902145（平方厘米）。長(zhǎng)方形ABCD與長(zhǎng)方形EDDiEi的面積相等。所以，長(zhǎng)方形ABCD的面積為：（225i45）240（平方厘米）。鞏固用兩塊長(zhǎng)方形紙片和一塊正方形紙片拼成一個(gè)大正方形，長(zhǎng)方形紙片面積分別為44平方厘米與28平方厘米，原正方形紙片面積是多少平方厘

9、米？分析做輔助線，如右下圖，小正方形I的面積為4428i6,所以a4,b2847,原正方形面積為7749（平方厘米）?！纠?】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是5,E,F分別是AB和BC的中點(diǎn)，求四邊形BFGE的面積。【分析】如下圖，利用割補(bǔ)法，原正方形面積等于5個(gè)小正方形面積之和，所以每個(gè)小正方形面積是5555,而陰影部分面積等于1個(gè)小正方形面積，所以也是5。四升五競(jìng)賽班第四講教師版Page33綜合應(yīng)用:【例10把正三角形的每條邊三等分，以各邊的中間一段為邊向外作小正三角形，得到一個(gè)六角形。再將這個(gè)六角形的六個(gè)“角”（即小正三角形）的兩邊三等分，又以它的中間段為邊向外作更小的小正三角形，這樣就得到

10、如右圖所示的圖形。如果所作的最小的小正三角形的面積為1平方厘米，求如圖中整個(gè)圖形的面積?！痉治觥款}目中出現(xiàn)了大、中、小三種規(guī)格的正三角形（如圖a）,由已知，圖中最小的小正三角形的面積是1平方厘米，于是我們就以1平方厘米的小正三角形為單位，對(duì)圖a進(jìn)行分割，得到圖bo從圖b可以看出，一個(gè)大正三角形中包含9個(gè)中正三角形，一個(gè)中正三角形中包含9個(gè)小正三角形。由此可以求出，一個(gè)大正三角形中包含9981個(gè)小正三角形，在圖a中，除了一個(gè)大三角形之外，還有3個(gè)中正三角形和12個(gè)小正三角形，所以整個(gè)圖形中共含有小三角形的個(gè)數(shù)為：993912120個(gè)，而每個(gè)小正三角形的面積為1平方厘米，所以圖a中圖形的面積為12

11、0平方厘米?！纠?1】（“迎春杯”初賽）如右圖，甲、乙、丙、丁四個(gè)長(zhǎng)方形拼成一個(gè)正方形EFGH,中間陰影為正方形。已知甲、乙、丙、丁四個(gè)長(zhǎng)方形面積的和是32平方厘米，四邊形ABCD的面積是20平方厘米，求甲、乙、丙、丁四個(gè)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的總和。【分析】甲、乙、丙、丁四個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和的總和等于大正方形的周長(zhǎng)，所以甲、乙、丙、丁四個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)的總和等于大正方形的周長(zhǎng)的2倍。大正方形的面積等于四邊形ABCD的面積加上甲、乙、丙、丁面積和的一半，即2032236平方厘米,所以大正方形邊長(zhǎng)為6厘米，所以甲、乙、丙、丁四個(gè)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的總和為64248厘米。【例12】（2006年“希望杯”第二試）如右圖

12、，用標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5的五種大小不同的正方形拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是18,14,則標(biāo)號(hào)為5的正方形的面積是多少？【分析】如果標(biāo)號(hào)為5的正方形的邊長(zhǎng)是a,那么1號(hào)比2號(hào)大a,2號(hào)比3號(hào)大a,所以1號(hào)比3號(hào)大2a,又因?yàn)?號(hào)和3號(hào)的邊長(zhǎng)之和是14,1號(hào)和2號(hào)的邊長(zhǎng)之和是18,所以1號(hào)比3號(hào)大18144,即2a4,a2,標(biāo)號(hào)為5的正方形的面積是224。四升五競(jìng)賽班第四講教師版Page34（希望杯培訓(xùn)題）小軍用編號(hào)為1,2,3,4,5的大小不同的正方形拼出一個(gè)長(zhǎng)方形,如右圖所示，則中間陰影部分正方形的周長(zhǎng)是多少厘米？分析因?yàn)檎叫?的邊長(zhǎng)正方形2的邊長(zhǎng)正方形3的邊長(zhǎng)30厘米，正方

13、形1的邊長(zhǎng)正方形2的邊長(zhǎng)22厘米，所以正方形3的邊長(zhǎng)30228（厘米），正方形5的邊長(zhǎng)2正方形3的邊長(zhǎng)22厘米，所以正方形5的邊長(zhǎng)22826厘米，周長(zhǎng)為6424厘米。22厘米30厘米拓展一個(gè)大長(zhǎng)方形若能分割成若干個(gè)大小不同的小正方形，則稱為完美長(zhǎng)方形。下面一個(gè)長(zhǎng)方形是由9個(gè)小正方形組成的完美長(zhǎng)方形。圖中正方形A和B的邊長(zhǎng)分別是7厘米和4厘米，那么這個(gè)完美長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？ABDEFCABGH分析為了敘述方便，我們將圖中各個(gè)小正方形分別用字母表示（如圖）。設(shè)最小的正方形邊長(zhǎng)為x厘米，又因?yàn)樾≌叫蜛的邊長(zhǎng)為7厘米，小正方形B的邊長(zhǎng)為4厘米，所以小正方形C的邊長(zhǎng)可以表示為7x（厘米），小

14、正方形D的邊長(zhǎng)可以表示為7xx72x（厘米），小正方形E的邊長(zhǎng)可以表示為7x411x（厘米），小正方形F的邊長(zhǎng)可以表示為11x415x（厘米），小正方形G的邊長(zhǎng)可以表示為15x419x（厘米），小正方形H的邊長(zhǎng)可以表示為7x714x（厘米），觀察大長(zhǎng)方形可知：小正方形D、C、H的邊長(zhǎng)之和等于小正方形F、G的邊長(zhǎng)之和，可以列方程為：（72x）（7x）（14x）（15x）（19x）,解得x1。從而可得小正方形C、D、E、F、G、H的邊長(zhǎng)分別為8厘米、9厘米、10厘米、14厘米、18厘米、15厘米。大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：181533（厘米），寬為：141832（厘米），大長(zhǎng)方形的面積為：33321056（

15、平方厘米）。四升五競(jìng)賽班第四講教師版Page35【例13220平方米，那么小有一大一小兩塊正方形試驗(yàn)田，他們的周長(zhǎng)相差40米，面積相差正方形試驗(yàn)田的面積是多少平方米？0.50.50.55四升五競(jìng)賽班第四講教師版Page36【分析】根據(jù)已知條件，我們將兩個(gè)正方形試驗(yàn)田的一個(gè)頂點(diǎn)對(duì)齊，畫(huà)出示意圖（如圖a）,將大正方形在小正方形外的部分分割成兩個(gè)直角梯形，再拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖b）。由于兩個(gè)正方形的周長(zhǎng)相差40米，從而它們的每邊相差40410米，即圖b中的長(zhǎng)方形的寬是10米。又因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積是兩個(gè)正方形的面積之差，即為220平方米，從而長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：2201022（米）。由圖可知，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是大正

16、方形與小正方形的邊長(zhǎng)之和，長(zhǎng)方形的寬為大正方形與小正方形的邊長(zhǎng)之差，從而小正方形的邊長(zhǎng)為：（2210）26（米）。所以小正方形的面積為：6636（平方米）。附加題:【附1】從一塊正方形的玻璃板上鋸下寬為0.5米的一個(gè)長(zhǎng)方形玻璃條后，剩下的長(zhǎng)方形的面積為5平方米，請(qǐng)問(wèn)鋸下的長(zhǎng)方形玻璃條的面積等于多少？【分析】我們先按題目中的條件畫(huà)出示意圖（如圖a）,我們先看圖中剩下的長(zhǎng)方形，已知它的面積為5平方米，它的長(zhǎng)和寬相差0.5米，我們可以將這樣形狀的四個(gè)長(zhǎng)方形拼成一個(gè)弦圖（如圖b）。圖b是一個(gè)大正方形，它的邊長(zhǎng)等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之和，中間的那個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)，等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之差，即0.5米。所以中間

17、的小正方形的面積為0.50.50.25平方米，那么大正方形的面積為540.2520.25平方米。因?yàn)?.54.520.25,所以大正方形的邊長(zhǎng)等于4.5米。所以原題中剩下的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的和為4.5米，而長(zhǎng)與寬的差為0.5米，所以剩下的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：（4.50.5）22.5米，即原正方形的邊長(zhǎng)為2.5米。又知鋸下的長(zhǎng)方形玻璃條的寬為0.5米，于是可得鋸下的長(zhǎng)方形玻璃條的面積為2.50.51.25平方米。【附2】有紅、黃、綠三塊大小一樣的正方形紙片，放在一個(gè)正方形盒內(nèi)，它們之間相互疊合（如右圖），已知露在外面的部分中，紅色面積是20,黃色面積是12,綠色面積是8,那么正方形盒的底面積是多少？【分

18、析】黃色紙片露出部分與綠色紙片露出部分面積不同，由于三塊紙片的大小一樣，把黃色紙片向左移動(dòng)，在這個(gè)移動(dòng)過(guò)程中，黃色紙片露出部分減少的面積等于綠色紙片紙片露出部分增加的面積，它們露出部分的面積和不變，為81220。當(dāng)黃色紙片移動(dòng)到正方形盒的最左邊時(shí)，如右下圖所示，可知此時(shí)黃色紙片露出部分與綠色紙片露出部分的面積相等，所以黃色紙片露出部分面積為20210,綠色紙片露出面積也為10。右下圖中，由于紅色部分面積是綠色部分面積的20102倍,所以黃色部分面積是空白部分面積的2倍。所以空白部分的面積為1025,正方形盒的底面積為201010545。解答此題的關(guān)鍵是讓黃色紙片移動(dòng)，使復(fù)雜的圖形變?yōu)榛緢D形。

19、【附3】右圖中外側(cè)的四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為10厘米的正方形，求陰影部分的面積?！痉治觥咳缬蚁聢D所示，可知陰影部分面積與空白部分面積之差即為小長(zhǎng)方形OPMN的面積,為326平方厘米，所以陰影部分面積為（1006）253平方厘米。四升五競(jìng)賽班第四講教師版Page37鞏固練習(xí)1.右圖中正方形的邊長(zhǎng)為3厘米，每邊被3等分，求圖中所有正方形周長(zhǎng)的和?！痉治觥糠诸愡M(jìn)行統(tǒng)計(jì)：邊長(zhǎng)為1厘米的正方形的周長(zhǎng)的和是：14(33)36(厘米),邊長(zhǎng)為2厘米的正方形周長(zhǎng)的和是：24(22)32(厘米)，邊長(zhǎng)為3厘米的正方形周長(zhǎng)是：34(11)12(厘米)，圖中所有正方形周長(zhǎng)的和是：36321280(厘米)。2.用同樣的長(zhǎng)方

20、形條磚，在一個(gè)盆的周?chē)龀梢粋€(gè)正方形邊框，如右圖所示。已知外面大正方形的周長(zhǎng)是264厘米，里面小正方形的面積是900平方厘米，每塊長(zhǎng)方形條磚的長(zhǎng)是厘米，寬是厘米?！痉治觥客饷娲笳叫蔚倪呴L(zhǎng)為264466厘米，里面小正方形的邊長(zhǎng)為以看出，長(zhǎng)方形的寬為(6630)218厘米，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3.右圖的長(zhǎng)方形被分割成5個(gè)正方形，已知每個(gè)大正方形比每個(gè)小正方形面積大5平方厘米，求原長(zhǎng)方形的面積。30厘米，從圖中可大正方形邊長(zhǎng)的2倍等于小正方形邊長(zhǎng)的3倍,所以大正方形的邊長(zhǎng)是小正方形邊長(zhǎng)的1.5倍,大正方形的面積是小正方形面積的1.51.52.25倍，小正方形面積為5(2.251)4平方厘米，原長(zhǎng)方形的面積

21、為43(45)230平方厘米。1厘米，且小長(zhǎng)方4厘米，寬為2厘米。所4.有大、小兩個(gè)長(zhǎng)方形(右圖)，對(duì)應(yīng)邊的距離均為已知兩個(gè)長(zhǎng)方形之間部分的面積是16平方厘米，形的長(zhǎng)是寬的2倍，求大長(zhǎng)方形的面積。【分析】如圖，由于已知兩個(gè)長(zhǎng)方形之間部分的面積是16平方厘米，而4個(gè)角上的小正方形面積均為1平方厘米，所以劃分出來(lái)的四個(gè)新長(zhǎng)方形的面積之和為16412平方厘米，這四個(gè)新長(zhǎng)方形的寬均為1厘米，長(zhǎng)則分別為原來(lái)的小長(zhǎng)方形的四條邊，所以原來(lái)的小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬之和為12126厘米。由于小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的2倍，所以長(zhǎng)為以大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為6厘米，寬為4厘米，面積為6424平方厘米。四升五競(jìng)賽班第四講教師版Page38競(jìng)技跳水比賽主要包括跳臺(tái)和跳板，比賽時(shí)運(yùn)動(dòng)員要完成規(guī)定和自選動(dòng)作，最后以兩種動(dòng)作的總分決定名次。2008年北京奧運(yùn)會(huì)設(shè)男、女個(gè)人1。米跳臺(tái)和3米跳板，以及男、女雙人1。米跳臺(tái)和3米跳板共8個(gè)項(xiàng)目。比賽在北京奧林匹克公園的國(guó)家游泳中心舉行。跳水池面積為25米X25米，池深5.4米。跳水的男子個(gè)人和雙人項(xiàng)目各需完成6個(gè)動(dòng)作，女子個(gè)人和雙人項(xiàng)目各需完成5個(gè)動(dòng)作。跳板比賽中，女子包括5個(gè)不同組別無(wú)難度系數(shù)限制的動(dòng)作，男子則包括6個(gè)無(wú)難度系數(shù)限制的動(dòng)作，其中5個(gè)動(dòng)作來(lái)自不同的組別，另1個(gè)動(dòng)作從5個(gè)組別中任選。跳臺(tái)的女子比賽含5