課題直線與平面垂直的判定

1、課題：直線與平面垂直的判定內(nèi)容出處：人教社A版教材必修2第二章第三節(jié)第一課時授課教師：北京市第五中學(xué) 熊丹【教學(xué)目標(biāo)】1通過觀察圖片和折紙試驗，使學(xué)生理解直線與平面垂直的定義，歸納和確認(rèn)直線與平面垂直的判定定理，并能簡單應(yīng)用定義和判定定理；2通過對判定定理的探究和運用，初步培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和抽象概括能力；3通過對探索過程的引導(dǎo)，努力提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生主動探究的習(xí)慣【教學(xué)重點】對直線與平面垂直的定義和判定定理的理解及其簡單應(yīng)用【教學(xué)重點】探究、歸納直線與平面垂直的判定定理，體會定義和定理中所包含的轉(zhuǎn)化思想【教學(xué)方式】 啟發(fā)式與試驗探究式相結(jié)合【教學(xué)手段】 計算機(jī)、自制課件、實

2、物模型【教學(xué)過程】一、實例引入，理解概念1通過復(fù)習(xí)空間直線與平面的位置關(guān)系，讓學(xué)生舉例感知生活中直線與平面相交的位置關(guān)系，其中最特殊、最常見的一種就是線面的垂直關(guān)系，從而引出課題設(shè)計意圖：希望通過學(xué)生的生活經(jīng)驗，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自覺性2給出學(xué)生非常熟悉的校園圖片，引導(dǎo)他們觀察直立于操場上籃球架的立柱與它在地面影子的關(guān)系，然后將其抽象為幾何圖形，再用數(shù)學(xué)語言對幾何圖形進(jìn)行精確描述，引出直線與平面垂直的定義即：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面互相垂直設(shè)計意圖：通過從“具體形象幾何圖形數(shù)學(xué)語言”的過程，讓學(xué)生體會定義的合理性3簡單介紹線面垂直在我國古代的重要應(yīng)用“日晷

3、”設(shè)計意圖：通過我國古代用來計時的一種儀器日晷，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情同時，引出探究判定定理的必要性二、通過試驗，探究定理準(zhǔn)備一個三角形紙片，三個頂點分別記作，如圖，過的頂點折疊紙片，得到折痕，將折疊后的紙片打開豎起放置在桌面上（使、邊與桌面接觸）問題1：折痕與桌面一定垂直嗎？又問：為什么折痕不一定與桌面垂直？（引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)定義進(jìn)行回答）設(shè)計意圖：從另一個角度理解定義：如果想說一條直線與平面不垂直，只需要在平面內(nèi)找到一條直線與它不垂直就夠了問題2：如何翻折才能使折痕與桌面所在的平面垂直？又問：為什么折痕與桌面是垂直的？（引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)定義進(jìn)行確認(rèn)）以折痕為軸轉(zhuǎn)動紙片，來

4、說明與平面內(nèi)過點的所有直線都垂直，平面內(nèi)不過點的直線，可以通過平移到點，說明它們與都垂直，于是符合直線與平面垂直的定義教師再用課件將上述過程進(jìn)行動畫演示（如右圖），然后引導(dǎo)學(xué)生歸納出直線與平面垂直的判定定理進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對判定定理中兩個關(guān)鍵條件“雙垂直”和“相交”進(jìn)行理解和確認(rèn)問題3：(1)如果一條直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，能判斷此直線和平面垂直嗎？(2)定理條件中的兩條直線必須相交嗎？要求學(xué)生擺出反例模型進(jìn)行說明，讓學(xué)生在操作過程中，確認(rèn)并理解判定定理的條件設(shè)計意圖：通過折紙試驗，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)定理的過程中，不僅有直觀上的感知，提高了幾何直觀能力，而且通過理性的說理，增加了邏輯思維的成分最后

5、，引導(dǎo)學(xué)生從文字語言、符號語言、圖形語言三個方面歸納直線和平面垂直的判定定理文字語言：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直符號語言：，圖形語言：三、應(yīng)用定理，加深理解例1 判斷下列命題是否正確，并說明理由（1）正方體中，棱和底面垂直（2）正三棱錐中，為棱的中點，則棱和平面垂直設(shè)計意圖：此題兩問都是對判定定理的直接應(yīng)用，第一問定理條件通過觀察即可得到，目的是進(jìn)一步強(qiáng)化定理的條件以及定理在應(yīng)用過程中的準(zhǔn)確表述；第二問定理條件需要用平面幾何的知識才能得到例2 求證：如果兩條平行線中的一條與一個平面垂直，則另一條也與該平面垂直分析：首先需要把文字語言敘述的命題分別用符號語言和

6、圖形語言敘述出來欲證線面垂直，需證線與面內(nèi)兩條相交直線垂直；而已知線面垂直，可得線線垂直，所以，在平面內(nèi)兩條相交直線作為輔助線，命題可證已知：，, 求證： 證明：在平面內(nèi)作兩條相交直線因為直線，根據(jù)直線與平面垂直的定義知又因為 ，所以 ，又因為，是兩條相交直線， 所以 設(shè)計意圖：此題是課本上的一個例題，使用時改用文字語言敘述，目的是讓學(xué)生在文字語言、符號語言、圖形語言的轉(zhuǎn)化上得到訓(xùn)練；此題重視對學(xué)生思維策略的引導(dǎo)和啟發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力；同時規(guī)范證明題的書寫例3 如圖，是Rt的斜邊，過點作所在平面的垂線，連、問：圖中有多少個直角三角形？分析：說明、為直角是比較容易的證明是直角有兩種方法：

7、一是通過線線與線面之間垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化得出是直角；二是依據(jù)勾股定理的逆定理，通過計算證明是直角三角形設(shè)計意圖：通過對是直角三角形進(jìn)行證明，意在培養(yǎng)學(xué)生熟練進(jìn)行線線和線面之間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，從而準(zhǔn)確和靈活地應(yīng)用判定定理和定義四、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識1學(xué)習(xí)小結(jié)：從知識和方法兩個方面進(jìn)行知識方面：線面垂直的定義、線面垂直的判定定理方法方面：轉(zhuǎn)化思想2布置作業(yè)：（1）閱讀課本相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)；（2）做課本79頁復(fù)習(xí)參考題A組第10題，B組第1題；（3）完成課本66頁課后探究題直線與平面垂直的判定教案說明北京市第五中學(xué) 熊丹一、教學(xué)內(nèi)容的分析本節(jié)課的內(nèi)容包括直線與平面垂直的定義和判定定理兩部分直線與平面

8、垂直的研究是直線與直線垂直研究的繼續(xù)，也為平面與平面垂直的研究做了準(zhǔn)備；這三類垂直問題的研究主線是類似的，都是以定義判定性質(zhì)為主線判定定理的教學(xué)，盡管新課標(biāo)在必修課程中不要求證明，但通過定理的探索過程，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直覺以及運用圖形語言進(jìn)行交流的能力，是本節(jié)課的重要任務(wù)二、教學(xué)目標(biāo)的確定新課標(biāo)中立體幾何的體系和內(nèi)容都發(fā)生了較大的變化，要求能通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出直線和平面垂直的判定定理根據(jù)教材特點、新課標(biāo)的教學(xué)要求和學(xué)生的認(rèn)知水平，我確定了如下教學(xué)目標(biāo)：1通過觀察圖片和折紙試驗，使學(xué)生理解直線與平面垂直的定義，歸納和確認(rèn)直線與平面垂直的判定定理，并能對定義和判定定理進(jìn)行簡單應(yīng)用；

9、2通過對判定定理的探究和運用，初步培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和抽象概括能力；3通過對探索過程的引導(dǎo)，努力提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生主動探究的習(xí)慣三、教學(xué)方法的特點本節(jié)課采用啟發(fā)式與試驗探究式相結(jié)合的教學(xué)方式在啟發(fā)式教學(xué)過程中，以問題引導(dǎo)學(xué)生的思維活動教學(xué)設(shè)計突出了對問題鏈的設(shè)計，教學(xué)中，結(jié)合學(xué)生的思維發(fā)展變化不斷追問，使學(xué)生對問題本質(zhì)的思考逐步深入，思維水平不斷提高嘗試通過試驗的方法進(jìn)行立體幾何的教學(xué)本節(jié)課主要是通過直觀感知、操作確認(rèn)歸納出直線和平面垂直的判定定理但借助什么去感知？怎樣操作才能歸納出判定定理？確認(rèn)到什么程度，才能在不對定理進(jìn)行證明的情況下，不失數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性？本節(jié)課立足

10、教材，重視對具體實例的觀察、分析，并且給學(xué)生提供動手操作的機(jī)會，引導(dǎo)學(xué)生通過自己的觀察、操作等活動獲得數(shù)學(xué)結(jié)論，把合情推理作為一個重要的推理方式融入到學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中四、教學(xué)診斷分析學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時主要有以下兩個困難：1理解直線與平面垂直的定義，讓學(xué)生認(rèn)識到線面垂直是用線線垂直來刻畫的，逐步形成概念體系，體會其中的轉(zhuǎn)化思想，這對于高一的學(xué)生來講是比較困難的所以在設(shè)計教學(xué)時，首先通過一組圖片讓學(xué)生直觀感知直線與平面垂直的具體形象，然后將其抽象為幾何圖形，再用數(shù)學(xué)語言對幾何圖形進(jìn)行精確的描述，讓學(xué)生在此過程中體會直線與平面垂直定義的合理性2用定義去判定直線與平面垂直是不方便的，如何在較短的時間

11、內(nèi)，讓多數(shù)學(xué)生找到判定直線與平面垂直的簡便方法，這需要一個較好的載體，去引導(dǎo)學(xué)生探究直線與平面垂直的判定定理，同時完成對定理條件的確認(rèn)所以，在教學(xué)過程中，通過折紙試驗，精心設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生歸納出直線與平面垂直的判定定理并且引導(dǎo)學(xué)生通過操作、擺出反例模型，對定理的兩個關(guān)鍵條件“雙垂直”和“相交”進(jìn)行理解和確認(rèn)五、教學(xué)效果分析本節(jié)課的實施從整體上說是比較順利的，學(xué)生的思維活動在教師的引導(dǎo)下展開的比較充分，基本達(dá)到了教學(xué)目標(biāo)具體給出兩個教學(xué)片斷加以說明教學(xué)片斷一：在折紙試驗的過程中，教師提出問題1：折痕與桌面一定垂直嗎？生：不一定（學(xué)生手拿紙片，折出不與桌面垂直的折痕）師：為什么你認(rèn)為這條折痕不與

12、桌面垂直？生：因為它與不垂直，與也不垂直師：這能說明它與桌面不垂直嗎？生：能，因為定義說如果折痕與桌面垂直，那么它就和桌面的任意一條直線都垂直師：非常好，其實這也是從另一個角度對定義進(jìn)行理解：如果想說一條直線與平面不垂直，只要在平面內(nèi)找到一條直線與它不垂直就夠了通過這個片斷的教學(xué)，使學(xué)生加深了對定義的認(rèn)識和理解教學(xué)片斷二：仍然是在折紙試驗過程中，教師提出問題2：如何翻折才能使折痕與桌面所在的平面垂直？生1：當(dāng)折痕是邊上的高時，所在直線與桌面所在平面垂直 師：如何保證此時折痕和桌面是垂直的？生1：因為折痕與、所成的角都是直角師：那折痕與、兩條直線垂直，就能說它與平面垂直嗎？生1：因為、是兩條相交直線，所以它們確定一個平面師：兩條平行直線也確定一個平面，能說如果一條直線與兩條平行直線都垂直，那么就和平面垂直嗎？生2：以邊為軸將三角形紙片繞軸旋轉(zhuǎn)，剛才已經(jīng)說明了折痕與、兩條直線垂直，旋轉(zhuǎn)的過程中與、與的垂直關(guān)系沒有發(fā)生改變，從而保證與桌面上過點的直線都垂直，其他不過點的直線可