上海市虹口區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷及解析

1、上海市虹口區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷一.填空題（本大題共 12 題，1-6 每題 4 分，7-12 每題 5 分，共 54 分）1._（ 4 分）函數(shù) f （x） =lg（ 2-x）定義域為_.2. （4 分）已知 f（ x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，則 f （- 1） +f（ 0） +f（ 1） = .3 . （4 分）首項和公比均為一的等比數(shù)列an，S 是它的前 n 項和，貝 Ulim S =_ .4. （4 分）在厶 ABC 中，/ A，ZB，ZC 所對的邊分別是 a，b，c,如果a：b:c=2: 3: 4，那么 cosC=_.5._（4分）已知復(fù)數(shù) z=a+bi （a，b R）滿足|z|=1,

2、則 a?b 的范圍是_.6. （4 分）某學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這六門學(xué)科中選三門參加等級考，要求是物理、化學(xué)、生物這三門至少要選一門，政治、歷史、地理這三門也至少要選一門，則該生的可能選法總數(shù)是 _ .7 . （5 分）已知M、N 是三棱錐 P- ABC 的棱 AB、PC 的中點，記三棱錐 P-ABC的體積為乂，三棱錐 N-MBC 的體積為 V2,則丁等于_.2n8. （5 分）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線七的一個頂點與拋物線 y2=12x的焦點重合，則雙曲線的兩條漸近線的方程為 _.9. （5 分）已知 y=sinx 和 y=cosx 的圖象的連續(xù)的三個交點 A、B、C

3、構(gòu)成三角形 ABC，則厶 ABC 的面積等于_ .2 210 . （5 分）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為 F1、F2,過焦點 F1的直線交橢圓于 M、N 兩點，若 MNF2的內(nèi)切圓的面積為n貝吒匹仙巧=_.11 . （5 分）在厶 ABC 中，D 是 BC 的中點，點列 Pn（n N*）在線段 AC 上，且滿足-!L1 ! -.I，若a1=1，則數(shù)列an的通項公式 an=_ .12 . （5 分）設(shè) f （x） =x2+2a?x+b?2x，其中 a，b N，x R，如果函數(shù) y=f （x）與函數(shù) y=f （f （x）都有零點且它們的零點完全相同，則（a，b）為_ .選擇題（本大題共 4 題，每題

4、5 分，共 20 分）13.（5 分）異面直線 a 和 b 所成的角為9,貝U B的范圍是（）A.（0,今）B.（0, n）C. 0,D.（0, n14. （5 分）命題：若 x2=1，則 x=1”的逆否命題為（）A.若XM1,則XM1 或XM-1 B.若 x=1，則 x=1 或 x=- 1C.若XM1,則XM1 且XM-1 D.若 x=1，則 x=1 且 x=- 115.（5 分）已知函數(shù) F 仗）尸心,則 f （1）+f （2） +f （3） *+f （2017）x0=（ ）A. 2017 B. 1513CD.=-16. （5 分）已知 RtAABC 中，/ A=90, AB=4, AC=

5、6,在三角形所在的平面內(nèi)有兩個動點M和 N,滿足 *則口 的取值范圍是（）A.頊，何B. 4, 6C. 2 徧 驅(qū)D.詡 6 齊 12 在 J0)，動圓 M 過 點 F 且與直線 I 相切，記圓心 M 的軌跡為曲線 C,在曲線 C 上任取一點 A,過 A 作 I 的垂線，垂足為 E.(1) 求曲線 C 的軌跡方程；(2) 記點 A 到直線 I 的距離為 d，且二忖丄，求/ EAF 的取值范圍；43(3) 判斷/ EAF 的平分線所在的直線與曲線的交點個數(shù)，并說明理由.1Af (x)n)+cos(2KK)，其中 xC R,30,F21.(18 分)已知無窮數(shù)列an的各項均為正數(shù)，其前 n 項和為

6、 Sn, ai=4.(1)如果比=2,且對于一切正整數(shù) n,均有也二毒 1，求& ；(2) 如果對于一切正整數(shù) n,均有 an?an+i=S,求 Sn；(3) 如果對于一切正整數(shù) n,均有 an+an+i=3S,證明：a3n-1能被 8 整除.2018 年上海市虹口區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一.填空題(本大題共 12 題，1-6 每題 4 分，7-12 每題 5 分，共 54 分)1. (4 分)函數(shù) f (x) =lg (2 -x)定義域為(-, 2).【解答】解：要使函數(shù)有意義，可得 2- x0,即 xv2 .函數(shù) f(x)=lg(2-x)定義域為：(-X，2).故答案為

7、：(-X，2).2 . (4 分)已知 f (x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，則 f ( - 1) +f (0) +f (1) = 0 【解答】解：f (x)是定義在 R 上的奇函數(shù)， f (-1)=-f(1)，f(0)=0，即 f (- 1) +f (0) +f (1) =0，故答案為：0.3.(4 分)首項和公比均為寺的等比數(shù)列an，S 是它的前 n 項和，則HDSn= 1 .【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列an的首項和公比均為 T-,則其前 n 項和 Sn=r=1-(石)n，1 L2則 lim S =1;故答案為：1.4.(4 分)在厶 ABC 中，/ A，ZB，ZC 所對的邊分別是 a，b

8、，c,如果 a：b： c=2:3:4，那么 cosC.【解答】解：因為 a： b： c=2： 3： 4,所以設(shè) a=2k，b=3k, c=4k，故答案為:5. （4 分）已知復(fù)數(shù) z=a+bi （a, b R）滿足| z| =1,則 a?b 的范圍是_亠，丄【解答】解： z=aHbi (a, b R),且|z|=1.,即 a2+b2=1,令 a=cos Q b=sin Q6.（4 分）某學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這六門學(xué)科中選三 門參加等級考，要求是物理、化學(xué)、生物這三門至少要選一門，政治、歷史、地 理這三門也至少要選一門，則該生的可能選法總數(shù)是 18 .【解答】解：根據(jù)題意，

9、要求是物理、化學(xué)、生物這三門至少要選一門，政治、歷史、地理這三門也至少要選一門，分 2 種情況討論：1、從物理、化學(xué)、生物這三門中選 1 門，政治、歷史、地理這三門選 2 門，有C31C32=9 種選法，2、從物理、化學(xué)、生物這三門中選 2 門，政治、歷史、地理這三門選 1 門，有C31C32=9 種選法，則一共有 9+9=18 種選法；故答案為：18則根據(jù)余弦定理得:=:-1 -.42ab 12k22貝 U ab=cosQ ?sincosCT-e , ab故答案為:7.（5 分）已知M、N 是三棱錐 P- ABC 的棱 AB、PC 的中點，記三棱錐 P-ABC的體積為 V1,三棱錐 N-MB

10、C 的體積為 V2,則子等于斗一.【解答】解：如圖,設(shè)三棱錐 P-ABC 的底面積為 S,高為 h, M 是 AB 的中點，伍眈號,8.（5 分）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線勺-異二 1的一個頂點與拋物線 y2=12x a的焦點重合，則雙曲線的兩條漸近線的方程為尸蘭.【解答】解：根據(jù)題意，拋物線 y2=12x 的焦點為（3, 0）,若雙曲線|-y=l 的一個頂點與拋物線 y2=12x 的焦點重合，a則雙曲線的頂點坐標(biāo)為（土 3, 0）,則有 a2=9,則雙曲線的方程為： 才-y2=1,雙曲線的焦點在 x 軸上，則其漸近線方程為I 丄故答案為：尸士專9.(5 分)已知 y=sinx 和 y=cos

11、x 的圖象的連續(xù)的三個交點 A、B、C 構(gòu)成三角形 ABC,則厶 ABC 的面積等于/刃_.【解答】解：由題意正余弦函數(shù)的圖象可得：y=sinx 和 y=cosx 的圖象的連續(xù)的三 個交點 A、B、C 構(gòu)成三角形 ABC 是等腰三角形，底邊長為一個周期 T=2n高為血， ABC 的面積心八：=：,故答案為：庾開.2 2 110. (5 分)設(shè)橢圓 亠 -：-亠的左、右焦點分別為 Fi、F2,過焦點 Fi的直線交橢* O圓于M、N 兩點，若 MNF2的內(nèi)切圓的面積為n貝%仙丁廣 4 .【解答】解：橢圓彳+*；的左右焦點分別為 Fi, F2, a=2,過焦點 Fi的直線交橢圓于 M (xi, yi

12、), N (X2, y2)兩點， MNF2的內(nèi)切圓的面積為n MNF2內(nèi)切圓半徑 r=1. MNF2面積 S 丄X1X(MN+MF2+MF2)=2a=4,故答案為：4M11. (5 分)在厶 ABC 中，D 是 BC 的中點，點列 Pn(n N*)在線段 AC 上，且滿 足丨，若 ai=1，則數(shù)列an的通項公式 an=_ | 1_.【解答】解：如圖所示，TD 是 BC 的中點，_+I SF-*甲又 =i，一J+宀，12. (5 分)設(shè) f (x) =x2+2a?x+b?2x,其中 a, b N, x R,如果函數(shù) y=f (x)與 函數(shù) y=f (f (x)都有零點且它們的零點完全相同，則(a

13、, b)為 (0, 0)或 (1, 0).即 x2+2a?x+b?2x=0 的 1 個根為 x=0,分析可得 b=0,則 f (x) =x2+2a?x,解可得 X1=0 或 x2= 2a,務(wù)+|PJ+an(比我右E化為：_ 止=(1 - an- an+1)丄一.,1TL2 IL點列 Pn(n N*)在線段 AC 上, 1 an an+1+2Qan+1= 化為:=*1,又 ai=1,則數(shù)列an是等比數(shù)列，首項為 1,公比為-丄2、n-1n-1an=2f(f(x)=(x2+2a?x)2+2a(x2+2a?x),若函數(shù) y=f (x)與函數(shù) y=f (f (x)的零點完全相同,分析可得 a=0 或

14、a=1,則(a, b)為(0, 0)或(1, 0);故答案為(0, 0)或(1, 0).故選：C.14. （5 分）命題：若 x2=1，則 x=1”的逆否命題為（）A.若XM1,則XM1 或XM-1 B.若 x=1，則 x=1 或 x=- 1C.若XM1,則XM1 且XM-1 D.若 x=1，則 x=1 且 x=- 1 【解答】解：命題：若 x2=1，則 x=1”的逆否命題為若 xM1，則 x2M1” ；即若 xM1,貝 U xM1 且 xM-1”.故選：C.15(5分)已知函數(shù)鞏叫心):亠，則f(1)+f(2)+f(3) +-+f(2017)=( )A. 2017B. 1513【解答】解：函

15、數(shù)xQ.選擇題（本大題共4 題，每題 5 分，共 20 分）13.（5【解答】解：異面直線 a 和 b 所成的角為-9的范圍是（0,.D. f (1) +f (2) +f (3) +-+f (2017)2=1009Xf(-1)+1008Xf(0)=1009X2-1+1008X20=；!故選：D.16. (5 分)已知 RtAABC 中，/ A=90, AB=4, AC=6,在三角形所在的平面內(nèi)有 兩個動點M和 N,滿足而|二乩而二視，貝 U |環(huán)|的取值范圍是()A.頊，兩B. 4, 6C.也晶” W2 D. y-763-l 22 *“隱+12 也【解答】解：以 AB, AC 為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)

16、系，則 B (4, 0), C (0, 6),|=2,二 M 的軌跡是以 A 為圓心，以 2 為半徑的圓.v M ：,：,二 N 是 MC 的中點.設(shè) M(2cosa2sina,則 N(cosasina3),IBU=(cosa-4,sin +3),| BN|2=(cos4)2+(sin +3)2=6sin-8cosa26=10sin( a- )+26,當(dāng) sin(a-) =- 1 時，|IV|取得最小值 丨：7：=4,當(dāng) sin ( a- ) =1 時，|面|取得最大值 U10+2 6 =6.故選 B.當(dāng)疋0.今三解答題(本大題共 5 題，共 14+14+14+16+18=76 分)17. (

17、14 分)如圖，在三棱錐 P-ABC 中，PA=AC=PC=AB=aPAAB, AC 丄 AB, M 為AC 的中點.(1) 求證：PM 丄平面 ABC;(2) 求直線 PB 和平面 ABC 所成的角的大小.【解答】證明：（1）在三棱錐 P- ABC 中，PA=AC=PC=AB=aPA!AB, AC 丄 AB, M 為 AC 的中點. PM 丄 AC, AB 丄平面 PAC PM 丄 AB, ABAAC=A 二 PM 丄平面 ABC.解：（2）連結(jié) BM, PM 丄平面 ABC, / PBM 是直線 PB 和平面 ABC 所成的角,PA=AC=PC=AB=aPA!AB, AC 丄 AB, M

18、為 AC 的中點， tan/PBM 二直線 PB 和平面 ABC 所成的角為 arctan.TT18. (14分)已知函數(shù) f Cx)-VcosK)+COS(2K),其中 x R, w0,且此函數(shù)的最小正周期等于n(1) 求的值，并寫出此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求此函數(shù)在忙 0,的最大值和最小值.(1)v函數(shù)的最小正周期等于n即半二兀w-3 =2可得 f (x) =2sin (2x*),rh兀 /C 兀 /TT| 匚-y由 2kT 2xwF 肚兀，k Z得：w x 1);Cx-1汁當(dāng) x(1，2)時，Sv0，當(dāng) x(2，+x)時，S0，故 x=2 時，Smin=4.20.(16 分)已知平面

19、內(nèi)的定點 F 到定直線 I 的距離等于 p (p 0)，動圓M過 點 F 且與直線 I 相切，記圓心 M 的軌跡為曲線 C,在曲線 C 上任取一點 A,過 A 作 I 的垂線，垂.當(dāng) 2x 斗時，函數(shù) f (x)取得最大值為6 2當(dāng) 2x二空時，函數(shù) f (x)取得最小值為-時，函數(shù) f (x)取得最大值為2.當(dāng)2x十丄【解答】解：(1)設(shè) AQ=x, 岫誥晉島得：能得:（2x， ） 即 AP足為 E.(1) 求曲線 C 的軌跡方程；(2) 記點 A 到直線 I 的距離為 d，且 ：!:，求/ EAF 的取值范圍；1.(3)判斷/ EAF 的平分線所在的直線與曲線的交點個數(shù)，并說明理由.1.4

20、F【解答】解：(1)如圖，以 FK 的中點為坐標(biāo)原點 0,FK 所在的直線為 x 軸，過 0 的垂線為 y 軸建立直角坐標(biāo)系，即有 F (號，0)，直線 I: x=-蘿，動圓 M 過點 F 且與直線 I 相切，可得 | AE =| AF|，由拋物線的定義可得曲線 C 的軌跡為 F 為焦點、直線 I 為準(zhǔn)線的拋物線,可得方程為 y2=2px；(2)點 A 到直線 I 的距離為 d,可得|AE=|AF|=d,設(shè) A (xo，yo)，可得 yo2=2pxo，即有 d=xo-，貝Uxo=d_號，即有| EF|2=p2+yo2=p2+2p (d_號)=2pd，在厶 EAF 中,則/EAF的取值范圍是沁0

21、等_m：_ :丄(3)ZEAF 的平分線所在的直線與曲線的交點個數(shù)為設(shè) A (xo, yo),可得 yo2=2pxo,當(dāng) A 與 0 重合時，顯然一個交點；當(dāng) A 不與 0 重合，由/ EAF 的平分線交 x 軸于 M，連接 EM,可得/ AMF=/ MAF,lAE |2+ | AF 12-lEF I2cos/ EAF=OffiNATlEA略可得 arcc 吒噸近,可得-丄wcos/31 /X，即有 I MF| =| AF| =d,四邊形 AEMF 為菱形，EF 垂直平分 AM,可得/ AMF+ZEFM=90, tanZAMF=cotZ|EK| |yor可設(shè) yo 0,則直線 AM 的方程為

22、y- yoJ(x- xo),貝Uyoy- yo2=px- pxo,化為 yoy=px+pxo,代入拋物線的方程 y2=2px,消去 x 可得，y2- 2yoy+2pxo=O,即為(y- yo)2=0,可得 y=yo, x=xo,即ZEAF 的平分線所在的直線與曲線的交點個數(shù)為1.21.(18 分)已知無窮數(shù)列an的各項均為正數(shù)，其前 n 項和為 S, ai=4.(1) 如果 a2=2,且對于一切正整數(shù) n,均有務(wù)品二且求$;(2) 如果對于一切正整數(shù) n,均有 an?an+1=S,求 Sn；(3) 如果對于一切正整數(shù) n,均有 an+an+1=3S,證明：a3n-1能被 8 整除.【解答】解：(1)v無窮數(shù)列an的各項均為正數(shù)，其前 n 項和為 Sn, a1=4.&=2,且對于一切正整數(shù) n,均有 務(wù)曰沽 g 二且二 1，當(dāng) n=1 時,卜】=4,成立.假設(shè) n=k 時，成立，即二.：,由得務(wù)二 2 %11 an是首項為 4,公比