實(shí)變與泛函分析初步自學(xué)考試大綱

1、實(shí)變與泛函分析初步自學(xué)考試大綱第一章 集合（一）重點(diǎn)集合的概念、集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、D.Morgan法則、集合的直積；上限集、下限集、極限集、單調(diào)集列及其極限集；單射、滿射、一一映射、映射基本性質(zhì)、集合的勢(shì)、對(duì)等、對(duì)等基本性質(zhì)、基數(shù)、基數(shù)的比較、伯恩斯坦定理；可數(shù)集、可數(shù)集性質(zhì)、有理數(shù)集；不可數(shù)集存在性、連續(xù)集及其性質(zhì)、不存在基數(shù)最大的無(wú)限集；中的距離、鄰域、區(qū)間、開(kāi)球、閉球、球面；開(kāi)集、開(kāi)集性質(zhì)、內(nèi)點(diǎn)、內(nèi)核、邊界點(diǎn)、邊界；收斂點(diǎn)列、聚點(diǎn)、聚點(diǎn)的等價(jià)定義、孤立點(diǎn)、孤立點(diǎn)集、導(dǎo)集、閉集、閉集性質(zhì)；集合、集合、集合和集合的性質(zhì)、Borel集；中開(kāi)集與閉集的構(gòu)造、中開(kāi)集與閉集

2、的構(gòu)造。識(shí)記：集合的概念、集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、D.Morgan法則、集合的直積；上限集、下限集、極限集、單調(diào)集列及其極限集；單射、滿射、一一映射、集合的勢(shì)、對(duì)等、對(duì)等基本性質(zhì)、基數(shù)、基數(shù)的比較、伯恩斯坦定理；可數(shù)集、可數(shù)集性質(zhì)、有理數(shù)集；不可數(shù)集存在性、連續(xù)集及其性質(zhì)、不存在基數(shù)最大的無(wú)限集；中的距離、鄰域、區(qū)間、開(kāi)球、閉球、球面；開(kāi)集、開(kāi)集性質(zhì)、內(nèi)點(diǎn)、內(nèi)核、邊界點(diǎn)、邊界；收斂點(diǎn)列、聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)、孤立點(diǎn)集、導(dǎo)集、閉集、閉集性質(zhì)、集合、集合、集合和集合的性質(zhì)、Borel集；中開(kāi)集與閉集的構(gòu)造、中開(kāi)集與閉集的構(gòu)造。理解：集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、D.Mor

3、gan法則、集合的直積；上限集、下限集、極限集、單調(diào)集列及其極限集；一一映射、映射基本性質(zhì)、集合對(duì)等的基本性質(zhì)、基數(shù)的比較、伯恩斯坦定理；可數(shù)集、可數(shù)集性質(zhì)、有理數(shù)集；不可數(shù)集存在性、連續(xù)集及其性質(zhì)；中的距離、鄰域、開(kāi)球、閉球、球面；開(kāi)集、開(kāi)集性質(zhì)、內(nèi)點(diǎn)、內(nèi)核、邊界點(diǎn)、邊界；聚點(diǎn)、聚點(diǎn)的等價(jià)定義、孤立點(diǎn)、孤立點(diǎn)集、導(dǎo)集、閉集、閉集性質(zhì)； 集合和集合的性質(zhì)、Borel集；中開(kāi)集與閉集的構(gòu)造、中開(kāi)集與閉集的構(gòu)造。應(yīng)用：集合的并、交、余、D.Morgan法則；上限集、下限集、單調(diào)集列及其極限集；一一映射、映射基本性質(zhì)、集合對(duì)等的基本性質(zhì)、伯恩斯坦定理；可數(shù)集、可數(shù)集性質(zhì)；連續(xù)集及其性質(zhì)；中的距離、鄰

4、域、開(kāi)球、閉球；開(kāi)集、開(kāi)集性質(zhì)、內(nèi)點(diǎn)、內(nèi)核、邊界點(diǎn)、邊界；聚點(diǎn)、聚點(diǎn)的等價(jià)定義、孤立點(diǎn)、孤立點(diǎn)集、導(dǎo)集、閉集、閉集性質(zhì)； 集合和集合的性質(zhì)、Borel集；中開(kāi)集與閉集的構(gòu)造、中開(kāi)集與閉集的構(gòu)造。（二）次重點(diǎn)完全集；開(kāi)集與閉集構(gòu)造的定理；開(kāi)集與閉集構(gòu)造的簡(jiǎn)單應(yīng)用。識(shí)記：完全集；開(kāi)集與閉集構(gòu)造的定理。理解：完全集；開(kāi)集與閉集構(gòu)造的定理的含義。應(yīng)用：開(kāi)集與閉集構(gòu)造的簡(jiǎn)單應(yīng)用。（三）一般集合族（類(lèi)）、環(huán)與環(huán)、代數(shù)（域）與代數(shù)（域）；環(huán)、環(huán)、代數(shù)（域）、代數(shù)（域）之間的關(guān)系；稠密集、疏朗集；中集合之間的距離以及集合之間距離的可達(dá)性，中閉集的隔離性；集合的特征函數(shù)、特征函數(shù)性質(zhì)以及集合在研究函數(shù)性質(zhì)中的簡(jiǎn)

5、單應(yīng)用。識(shí)記：集合族（類(lèi)）、環(huán)與環(huán)、代數(shù)（域）與代數(shù)（域）；稠密集、疏朗集；中集合之間的距離；中閉集的隔離性；集合的特征函數(shù)。理解：環(huán)、環(huán)、代數(shù)（域）、代數(shù)（域）之間的關(guān)系；稠密集、疏朗集；中集合之間的距離以及集合之間距離的可達(dá)性，中閉集的隔離性；集合的特征函數(shù)、特征函數(shù)性質(zhì)。應(yīng)用：集合在研究函數(shù)性質(zhì)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。第二章 測(cè)度論（一）重點(diǎn)外測(cè)度的定義；外測(cè)度的基本性質(zhì)，即非負(fù)性、單調(diào)性、次可加性；可測(cè)集的定義、可測(cè)集的等價(jià)條件；可測(cè)集的基本性質(zhì)，即可測(cè)集的并、交、余，可測(cè)集的可數(shù)可加性，可測(cè)集列的極限性質(zhì)；可測(cè)集的判別方法；常見(jiàn)的可測(cè)集類(lèi)，即零測(cè)集、區(qū)間、開(kāi)集、閉集、Borel集等；可測(cè)集與B

6、orel集的幾種關(guān)系，即集與可測(cè)集、集與可測(cè)集，可測(cè)集與Borel集的關(guān)系。識(shí)記：外測(cè)度的定義；外測(cè)度的基本性質(zhì)；可測(cè)集的定義；可測(cè)集的基本性質(zhì)；常見(jiàn)的可測(cè)集類(lèi)；可測(cè)集與Borel集的幾種關(guān)系。理解：外測(cè)度的定義；外測(cè)度的基本性質(zhì)以及簡(jiǎn)單的應(yīng)用；可測(cè)集的定義及等價(jià)條件；可測(cè)集的基本性質(zhì)及性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用；常見(jiàn)的可測(cè)集類(lèi)；可測(cè)集與Borel集的幾種關(guān)系。應(yīng)用：外測(cè)度的基本性質(zhì)以及簡(jiǎn)單的應(yīng)用；可測(cè)集的定義及等價(jià)條件及可測(cè)集的判別方法；可測(cè)集的基本性質(zhì)及性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用；常見(jiàn)的可測(cè)集類(lèi)；可測(cè)集與Borel集的幾種關(guān)系。（二）次重點(diǎn)勒貝格（Lebesgue）外測(cè)度的分離性；外測(cè)度與測(cè)度的計(jì)算；可測(cè)集與Bo

7、rel集之間幾種關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用。識(shí)記：勒貝格（Lebesgue）外測(cè)度的分離性；幾類(lèi)典型集合的外測(cè)度或測(cè)度。理解：勒貝格（Lebesgue）外測(cè)度的分離性；幾類(lèi)典型集合的外測(cè)度或測(cè)度的計(jì)算步驟。應(yīng)用：可測(cè)集與Borel集之間幾種關(guān)系的簡(jiǎn)單。（三）一般乘積空間與乘積測(cè)度。識(shí)記：乘積空間與乘積測(cè)度。理解：乘積測(cè)度的計(jì)算公式。應(yīng)用：乘積測(cè)度的計(jì)算公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用。第三章 可測(cè)函數(shù)（一）重點(diǎn)簡(jiǎn)單函數(shù)、非負(fù)可測(cè)函數(shù)、一般可測(cè)函數(shù)的定義及可測(cè)函數(shù)的等價(jià)定義；可測(cè)函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，比如：幾乎處處性，可測(cè)函數(shù)的和、差、積、商，函數(shù)的正部、負(fù)部的可測(cè)性，可測(cè)函數(shù)列的上確界、下確界，可測(cè)函數(shù)列的極限的可測(cè)性；可測(cè)函數(shù)

8、與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系；可測(cè)函數(shù)列的幾種收斂（幾乎處處收斂，依測(cè)度收斂）的含義，可測(cè)函數(shù)的幾種收斂性的關(guān)系，比如：幾乎處處收斂與一致收斂的關(guān)系（包括依果洛夫（Egoroff）定理、依果洛夫逆定理）、幾乎處處收斂與依測(cè)度收斂的關(guān)系、依測(cè)度收斂的性質(zhì)、勒貝格（Lebesgue）定理、黎斯（Riesz）定理；可測(cè)集上的連續(xù)函數(shù)、魯津（Lusin）定理及逆定理、可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系，直線上連續(xù)函數(shù)的延拓。識(shí)記：簡(jiǎn)單函數(shù)、非負(fù)可測(cè)函數(shù)、一般可測(cè)函數(shù)的定義及可測(cè)函數(shù)的等價(jià)定義；可測(cè)函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)；可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系；可測(cè)函數(shù)列的幾種收斂的含義；依測(cè)度收斂的性質(zhì)、勒貝格定理、黎斯定理；魯津定理及逆定理、

9、可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系。理解：可測(cè)函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)；可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系；可測(cè)函數(shù)的幾種收斂性的關(guān)系；依測(cè)度收斂的性質(zhì)、勒貝格（Lebesgue）定理、黎斯（Riesz）定理；可測(cè)集上的連續(xù)函數(shù)、魯津（Lusin）定理及逆定理、可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系，直線上連續(xù)函數(shù)的延拓。應(yīng)用：可測(cè)函數(shù)的判別方法；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理以及魯津定理及逆定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，依測(cè)度收斂的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用。（二）次重點(diǎn)可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系的證明思路；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的證明思路；魯津定理的證明思路。識(shí)記：可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系的的條件和結(jié)論；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的條件和結(jié)論；魯津定理及逆定

10、理的條件和結(jié)論。理解：可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系的證明思路；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的證明思路；魯津定理及逆定理的證明思路。應(yīng)用：依果洛夫定理、依果洛夫逆定理以及魯津定理的進(jìn)一步應(yīng)用。（三）一般函數(shù)可測(cè)的進(jìn)一步判斷；可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系的證明；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的證明；魯津定理及逆定理的證明；依測(cè)度收斂的判斷及依測(cè)度收斂性質(zhì)的進(jìn)一步應(yīng)用。識(shí)記：可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理；魯津定理及逆定理。理解：可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系的證明；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的證明；魯津定理的證明。應(yīng)用：函數(shù)可測(cè)的進(jìn)一步判斷；依測(cè)度收斂的判斷及依測(cè)度收斂性質(zhì)的進(jìn)一步應(yīng)用。第四章

11、Lebesgue積分（一）重點(diǎn)非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分定義、狄利克萊函數(shù)的勒貝格積分；非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分的基本性質(zhì)，比如：的唯一性、單調(diào)性、線性、有限可加性、簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分的極限性質(zhì)；非負(fù)可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分的定義；非負(fù)可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分的基本性質(zhì)，比如：唯一性、單調(diào)性、有限可加性；非負(fù)可測(cè)函數(shù)列的積分收斂性質(zhì)，比如：勒維（Levi）單調(diào)收斂定理、逐項(xiàng)積分定理、法都（Fadou）定理；函數(shù)的正部、負(fù)部；一般可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分的定義；函數(shù)勒貝格可積與正部、負(fù)部勒貝格可積的關(guān)系；一般可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分的基本性質(zhì)，比如：絕對(duì)可積性、積分的線性性、可積函數(shù)的幾乎處處有限性、積分的絕對(duì)

12、連續(xù)性；勒貝格控制收斂定理（包括有界控制收斂定理）；黎曼（Riemann）積分與勒貝格積分的關(guān)系。識(shí)記：狄利克萊函數(shù)的勒貝格（Lebesgue）積分；非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分的基本性質(zhì)；非負(fù)可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分的基本性質(zhì)；函數(shù)的正部、負(fù)部；函數(shù)勒貝格可積與正部、負(fù)部勒貝格可積的關(guān)系；非負(fù)可測(cè)函數(shù)列的積分收斂性質(zhì)；一般可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分的基本性質(zhì)；勒貝格控制收斂定理（包括有界控制收斂定理）；黎曼（Riemann）積分與勒貝格積分的關(guān)系。理解：非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分定義；非負(fù)可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分的定義；一般可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分的定義；非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分的基本性質(zhì)；非負(fù)可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分

13、的基本性質(zhì)；非負(fù)可測(cè)函數(shù)列的積分收斂性質(zhì)；函數(shù)勒貝格可積與正部、負(fù)部勒貝格可積的關(guān)系；一般可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分的基本性質(zhì)；勒貝格控制收斂定理（包括有界控制收斂定理）；黎曼（Riemann）積分與勒貝格（Lebesgue）積分的關(guān)系。應(yīng)用：非負(fù)可測(cè)函數(shù)列的積分收斂性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用；勒貝格（Lebesgue）積分的基本性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用；勒貝格控制收斂定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。（二）次重點(diǎn)維他利（Vitali）控制收斂定理；函數(shù)在一點(diǎn)的振幅；連續(xù)函數(shù)的等價(jià)條件；函數(shù)黎曼（Riemann）可積的充分必要條件。識(shí)記：維他利（Vitali）控制收斂定理；函數(shù)在一點(diǎn)的振幅；連續(xù)函數(shù)的等價(jià)條件；函數(shù)黎曼（Riemann）可

14、積的充分必要條件。理解：維他利（Vitali）控制收斂定理；函數(shù)在一點(diǎn)的振幅；連續(xù)函數(shù)的等價(jià)條件；函數(shù)黎曼（Riemann）可積的充分必要條件。應(yīng)用：維他利（Vitali）控制收斂定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用；函數(shù)黎曼（Riemann）可積的充分必要條件的簡(jiǎn)單應(yīng)用。（三）一般函數(shù)族的等度連續(xù)；托尼（Tonelli）定理、富比尼（Fubini）定理；富比尼定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用（包括函數(shù)卷積及其性質(zhì)、分布函數(shù)）識(shí)記：函數(shù)族的等度連續(xù)；托尼（Tonelli）定理；富比尼（Fubini）定理。理解：函數(shù)族的等度連續(xù)；托尼（Tonelli）定理、富比尼（Fubini）定理。應(yīng)用：富比尼（Fubini）定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。第五章

15、 微分與積分（一）重點(diǎn)有界變差函數(shù)的定義、變差、全變差、有界變差函數(shù)與有界函數(shù)的關(guān)系；有界變差函數(shù)的基本性質(zhì)，比如：有界變差函數(shù)的線性性、有界變差函數(shù)列的極限性；變差函數(shù)、若當(dāng)（Jordan）分解定理；絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的定義、絕對(duì)連續(xù)函數(shù)與有界變差函數(shù)的關(guān)系、不定積分的定義、不定積分與絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的關(guān)系、牛頓萊布尼茲公式。識(shí)記：有界變差函數(shù)的定義、變差、全變差、有界變差函數(shù)與有界函數(shù)的關(guān)系；有界變差函數(shù)的基本性質(zhì)，比如：有界變差函數(shù)的線性性、有界變差函數(shù)列的極限性；變差函數(shù)、若當(dāng)（Jordan）分解定理；絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的定義、絕對(duì)連續(xù)函數(shù)與有界變差函數(shù)的關(guān)系、不定積分的定義、不定積分與絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的關(guān)系、牛頓萊布尼茲公式。理解：有界變差函數(shù)與有界函數(shù)的關(guān)系；有界變差函數(shù)的基本性質(zhì)；若當(dāng)（Jordan）分解定理；絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的定義、絕對(duì)連續(xù)函數(shù)與有界變差函數(shù)的關(guān)系；不定積分與絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的關(guān)系。應(yīng)用：有界變差函數(shù)的判定；絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的判定。（二）次重點(diǎn)單調(diào)函數(shù)的可微性、變上限函數(shù)、變上限函數(shù)的可微性、有界變差函數(shù)的可微性；絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的可微性；若當(dāng)（Jordan）分解定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。識(shí)記：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)的可微性、變上限函數(shù)、變上限函數(shù)的可微性、有界變差函數(shù)的可微性；絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的可微性。理解：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)的可微