中考數(shù)學(xué)壓軸題精選幾何綜合題

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題(幾何綜合題)1、如圖1,4ABC中，ZACB=90°,AC=4厘米，BC=6厘米，D是BC的中點.點E從A出發(fā)，以a厘米/秒(a>0)的速度沿AC勻速向點C運動，點F同時以1厘米/秒的速度從C出發(fā)，沿CB勻速向點B運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，過點E作AC的垂線，交AD于點G,連接EF,FG.設(shè)它們運動的時間為t秒(t>0).(1)當t=2時，ECMBCA,求a的值；(2)當a=1時，以點E、FD、G為頂點的四邊形是平行四邊形，求t的值；2(3)當a=2時，是否存在某個時間，使4DFG是直角三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，

2、請說明理由.(第27題)解：（1）t=2,CF=2厘米，AE=2a厘米,.EC=（4-2a）厘米.ECSBCAECCFCBAC(2)由題意,AE=1.t厘米，CD=3厘米，CF=t厘米.21.EG/CD,AE8ACD.1t.EGAEEG2CDAC34EG=3t.8以點E、FD、G為頂點的四邊形是平行四邊形，EG=DF.當0Wtv3時，3t3t,ta.811一324當3vtw6時，3tt3,t4.85綜上t絲或24115(3)由題意，AE=2t厘米，CF=t厘米，可得：AE8AACD535AG=-t厘米，EG=_t,DF=3t厘米，DG=5t（厘米）.222若/GFA90。，則EG=OF,3t=

3、t."=0,舍去.2若/FGA90°,則ACMFGD.ADZD-3L.t=32.ODGD'355t195-I綜上：t=32,4DFG是直角三角形.192、如圖，矩形ABCD,AB=2,BC=10,點E為AD上一點，且AE=AB,點F從點E出發(fā)，向終點D運動，速度為1cm/s,以BF為斜邊在BF上方作等腰直角BFG,以BG,BF為鄰邊作DBFHG,連接AG,設(shè)點F的運動時間為t秒.(1)試說明：ABGsEBF;(2)當點H落在直線CD上時，求t的值；(3)點F從E運動到D的過程中，直接寫出HC的最小值.解：(1)根據(jù)SAS證明ABGsEBF;(2)作GILAD于點I,

4、HJXAD于點J,顯然EF=t,由(1)之AG=?EF=7t,且/BAG=ZBEF=135°,從而/GAE=45°,則AI=GI=工t2，1由GIF0FJH,得GI=FJ=-t2，一13貝UAJ=AE+EF+FJ=2+t+-t=2+-t,22當點H在直線CD上時，AJ=AD=10,求得t=16;3(3)HC的最小值為2U10.3、如圖，ABC中，。0經(jīng)過A、B兩點，且交AC于點D,連接BD,/DBC=/BAC.(1)證明BC與。0相切；(2)若。的半徑為6,/BAC=30°,求圖中陰影部分的面積.連接DE.BE是。O的直徑， ./BDE=90°, ./E

5、BD+ZE=90°, ./DBC=ZDAB,/DAB=ZE,./EBD+ZDBC=90°,即OBXBC,又點B在。O上，BC是。O的切線；(2)連接OD,./BOD=2ZA=60°,OB=OD,.BOD是邊長為6的等邊三角形,SSABOD=-pX62=93,S扇形DOB=1-S陰影=S扇形DOBSABOD=6兀9n.4、如圖，在ABC中，/BAC=90°,AB=AC,ADBC于點D.(1)如圖1,點E,F在AB,AC上，且/EDF=90°,求證：BE=AF;(2)點M,N分別在直線AD,AC上，且/BMN=90°.如圖2,當點M在AD

6、的延長線上時，求證：AB+AN=JAM;當點M在點A,D之間，且/AMN=30°時，已知AB=2,直接寫出線段AM的長.解：(1)./BAC=90°,AB=AC, ./B=ZC=45°,AD±BC, .BD=CD,ZBAD=ZCAD=45 ./CAD=ZB,AD=BD, ./EDF=ZADC=90°, ./BDE=ZADF,BDEAADF(ASA),BE=AF;(2)如圖1,過點M作MPXAM,交AB的延長線于點P, ./AMP=90°, /PAM=45°,P=ZPAM=45°,AM=PM, ./BMN=ZAMP=

7、90°, ./BMP=ZAMN, ./DAC=ZP=45°,AMNAPMB(ASA),AN=PB,.AP=AB+BP=AB+AN,在RtAMP中，/AMP=90°,AM=MP,.AP=JAM,AB+AN=a/2AM;在RtABD中，AD=BD=挈ab=V!./BMN=90°,/AMN=30°,./BMD=90°30°=60°,5、在ABC中，ZABC=45°,BC=4,tanC=3,AH±BC于點H,點DH=CH,連接BD.(1)如圖1,將BHD繞點H旋轉(zhuǎn)，得到EHF(點B、D分別與點接AE,當

8、點F落在AC上時(F不與C重合)，求AE的長；D在AH上，且E、F對應(yīng))，連CF與AE相交于(2)如圖2,AEHF是由BHD繞點H逆時針旋轉(zhuǎn)30。得到的，射線點G,連接GH,試探究線段GH與EF之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由解：（1）如圖,在RtAAHC中,/tanC=3,A,設(shè)CH=x,BH=AH=3x,BC=4,3x+x=4,.AH=3,CH=1,由旋轉(zhuǎn)知，/EHF=ZBHD=ZAHC=90°,EH=AH=3,CH=DH=FH,./EHF+ZAHF=ZAHC+ZAHF,./EHA=ZFHC,.EHAAFHC, ./EAH=ZC,.tan/EAH=tanC=3,過點H作HPXAE,

9、 .HP=3AP,AE=2AP,在RtAHP中，AP2+HP2=AH2, AP2+(3AP)2=9,AP=AE=10(2)如圖1,EHF是由BHD繞點H逆時針旋轉(zhuǎn)30。得到，HD=HF,ZAHF=30°./CHF=900+30=120°,由（1）有，AEH和FHC都為等腰三角形，./GAH=ZHCG=30,CGXAE,.點C,H,G,A四點共圓，ZCGH=ZCAH,設(shè)CG與AH交于點Q,AQC=ZGQH,/.AAQCAGQH,.ACaq1HG"GQ"sinSO.EHF是由BHD繞點H逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到，EF=BD,由（1）知，BD=AC,EF

10、=AC工1=2HGsin30一,即：EF=2HG6、（1）如圖，RtABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,點D是AB邊上任意一點，則CD的最小值為.（2）如圖,矩形ABCD中，AB=3,BC=4,點M、點N分另U在BD、BC±,求CM+MN的最小值.（3）如圖，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,點E是AB邊上一點，且AE=2,點F是BC邊上的任意一點，把BEF沿EF翻折，點B的對應(yīng)點為G,連接AG、CG,四邊形AGCD的面積是否存在最小值，若存在，求這個最小值及此時BF的長度.若不存在,請說明理由.解：(1)如圖，過點C作CDLAB于D,根據(jù)點到直線的距離垂線段最小

11、，此時CD最小，在RtABC中，AC=3,BC=4,根據(jù)勾股定理得，AB=5,LacXBC=-i-ABXCD,22i毗xbc12故答案為5(2)如圖，作出點C關(guān)于BD的對稱點E,過點E作ENXBC于N,交BD于M,連接CM,此時CM+MN=EN最小;四邊形ABCD是矩形，/BCD=90°,CD=AB=3,根據(jù)勾股定理得，BD=5,.CEXBC,即：CM+MN的最小值為9625(3)如圖3,四邊形ABCD是矩形,.-.CD=AB=3,AD=BC=4,/ABC=/D=90。，根據(jù)勾股定理得，AC=5,.AB=3,AE=2,.點F在BC上的任何位置時，點G始終在AC的下方,設(shè)點G到AC的距

12、離為h,S四邊形AGCD=SaACD+SaACG=ADXCD蔣ACxh215x4x3+-x5xh=-h+622.要四邊形AGCD的面積最小，即：h最小,點G是以點E為圓心，BE=1為半徑的圓上在矩形ABCD內(nèi)部的一部分點,EGLAC時，h最小,由折疊知/EGF=ZABC=90°,延長EG交AC于H,則EHXAC,在RtABC中，sinZBAC=過點F作FM，AC于M,EH±FG,EHXAC,，四邊形FGHM是矩形,FM=GH=/FCM=/ACB,/CMF=CBA=90.CMFsCBA,.史MACAB'.-.CF=1.BF=BC-CF=4-1=3.AD莖7、如圖，AB

13、是。的直徑，血=葭，E是OB的中點，連接CE并延長到點F,使EF=CE.連接AF交。O于點D,連接BD,BF.(1)求證：直線BF是。的切線；證明：(1)連接OC,.AB是。的直徑，菽=耘,BOC=90°,.E是OB的中點,.OE=BE,在OCE和BFE中，rOE=BE.Z0EC=ZBEF,CE=EF/.AOCEABFE（SAS）,.-.ZOBF=ZCOE=90°,，直線BF是。的切線；解：（2）OB=OC=2,由（1）得：OCEABFE,BF=OC=2,-AF=Vab2+bf2=山2+?2=2Vs，SaAbf=%BBF=；AFBD，Ufci4X2=2f/5?BD,8、如圖

14、，在RtAABO中，ZBAO=90,AO=AB,BO=8e，點A的坐標(-8,0),點C在線段AO上以每秒2個單位長度的速度由A向O運動，運動時間為t秒，連接BC,過點A作ADLBC,垂足為點E,分別交BO于點F,交y軸于點D.(1)用t表示點D的坐標；(2)如圖1,連接CF,當t=2時，求證：ZFCO=ZBCA；(3)如圖2,當BC平分/ABO時，求t的值.解：(1)ADXBC,，/AEB=90°=/BAC=/AOD, ./ABC+/BAE=90°,/BAE+ZOAD=90°, ./ABC=ZOAD, ./ABC=ZOAD,AB=OA,ABCAOAD(ASA),

15、.-.OD=AC=2t,D(0,2t).故答案為(0,2t)(2)如圖1中,圖1,.AB=AO,ZBAO=90°,OB=8后,AB=AO=8, .t=2,AC=OD=4,，OC=OD=4, .OF=OF,/FOD=ZFOC,FODAFOC(SAS), ./FCO=ZFDC, /ABCAOAD, ./ACB=ZADO, ./FCO=ZACB.(3)如圖2中，在AB上取一點K,使得AK=AC,連接CK.設(shè)AK=AC=m,則CK=二m. CB平分/ABO, ./ABC=22.5°, /AKC=45°=/ABC+/KCB, ./KBC=ZKCB=22.5°,KB

16、=KC=V5m,m+Vm=8,m=8(i2-1), .t=g可T)=4(退1).占9、問題：如圖(1),點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，/EAF=45。，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請你利用圖（1）證明上述結(jié)論.【類比引申】如圖（2）,四邊形ABCD中，/BADW90。，AB=AD,ZB+ZD=180°,點E、F分別在邊BC、CD上，則當/EAF與/BAD滿足關(guān)系時，仍有EF=BE+FD.【探究應(yīng)用】如圖（3）,在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=

17、80米，/B=60°,/ADC=120°,/BAD=150°,道路BC、CD上分別有景點E、F,ZEAF=75°且AEAD,DF=40晨后T）米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：在=1.41,6=1.73）解：【發(fā)現(xiàn)證明】如圖（1）,ADGAABE,.AG=AE,/DAG=/BAE,DG=BE,又./EAF=45°,即/DAF+ZBEA=ZEAF=45°,G圖./GAF=ZFAE,在GAF和FAE中，AG=AE,/GAF=/FAE,AF=AF,AFGAAFE(SAS).GF=EF.又.DG=B

18、E,.-.GF=BE+DF,BE+DF=EF.【類比引申】/BAD=2/EAF.理由如下：如圖(2),延長CB至M,使BM=DF,連接AM, ./ABC+ZD=180°,ZABC+ZABM=180°, ./D=ZABM,加二仙在ABM和ADF中，lb=dfABMAADF(SAS),AF=AM,/DAF=ZBAM, ./BAD=2/EAF,./DAF+ZBAE=ZEAF, /EAB+/BAM=/EAM=/EAF,在FAE和MAE中，*ZPAE=ZMAE,FAEAMAE(SAS),EF=EM=BE+BM=BE+DF,即EF=BE+DF.故答案是：/BAD=2/EAF.【探究應(yīng)用

19、】如圖3,把ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)150°至ADG,連接AF. ./BAD=150°,/DAE=90°,./BAE=60°.又./B=60°, .ABE是等邊三角形，BE=AB=80米.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：/ADG=ZB=60°,又./ADF=120°, ./GDF=180。，即點G在CD的延長線上.易得，ADGAABE, .AG=AE,/DAG=/BAE,DG=BE,又./EAG=/BAD=150°,/FAE=75° ./GAF=ZFAE,在GAF和FAE中，AG=AE,ZGAF=ZFAE,AF=AF,

20、AFGAAFE（SAS）.GF=EF.又.DG=BE,.GF=BE+DF, .EF=BE+DF=80+40（府T）=109（米），即這條道路EF的長約為109米.10、已知如圖1,在ABC中，/ACB=90°,BC=AC,點D在AB上,DE，AB交BC于E,點F是AE的中點(1)寫出線段FD與線段FC的關(guān)系并證明；(2)如圖2,將BDE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)“(0。Va<90。)，其它條件不變，線段FD與線段FC的關(guān)系是否變化，寫出你的結(jié)論并證明；(3)將BDE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)一周，如果BC=4,BE=圍.2J2,直接寫出線段BF的范0J口圖1解：(1)結(jié)論：FD=FC,DFXCF.

21、理由：如圖1中，BE副 ./ADE=ZACE=90°,AF=FE,DF=AF=EF=CF, ./FAD=ZFDA,/FAC=ZFCA, ./DFE=/FDA+/FAD=2/FAD,/,.CA=CB,/ACB=90°, ./BAC=45°, ./DFC=ZEFD+/EFC=2(/FAD+ .DF=FC,DF±FC.(2)結(jié)論/、變.理由：如圖2中，延長AC到M使得CM圉？EFC=ZFAC+/FCA=2/FAC,/FAC)=90°,=CA,延長ED至ijN,使得DN=DE,連接BN、BM.EM、AN,延長ME交AN于H,交AB于O. BC1AM,A

22、C=CM,BA=BM,同法BE=BN,ABM=ZEBN=90, ./NBA=ZEBM,ABNAMBE,.AN=EM,ZBAN=ZBME, .AF=FE,AC=CM,.CF=EM,FC/EM,同法FD=AN,FD/AN,FD=FC, .ZBME+ZBOM=90,ZBOM=ZAOH, /BAN+ZAOH=90°,AHO=90,AN±MH,FD±FC.(3)如圖3中，當點E落在AB上時，BF的長最大，最大值=372如圖4中，當點E落在AB的延長線上時,BF的值最小，最小值=題.11.如圖，OA和OB是。的半徑，OB=2,OAXOB,P是OA上任一點，BP的延長線交。于點

23、Q,過點Q的。O的切線交OA延長線于點R.(I)求證：RP=RQ;(n)若OP=PQ,求PQ的長.解：(1)連接OQ,.QR是切線, ./OQR=90°, ./BQO+ZPQR=90°, /OAXOB,BOA=90°,./B+/BPO=90°,又/BPO=/RPQ,B+ZRPQ=90由OB=OQ得：ZB=ZBQO, ./RPQ=ZRQP, .PR=QR；（2）.OP=PQ,.POQ=/PQO,又OB=OQ,.B=ZPQO,設(shè)/B=ZPQO=/POQ=x,又/BOP=90°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得：/B+/BOP+/POQ+/PQO=180

24、76;,即x+90°+x+x=180°,解得：x=30°,即/B=30°（2分） ./RPQ=/BPO=60°,又PR=QR, .PQR為等邊三角形，即PQ=QR=PR,在直角三角形OQR中，OQ=OB=2,根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得：PQ二導(dǎo)后（2分）12、如圖，AB為。O的直徑，點C,D在。O上，且點C是BD的中點，過點C作AD的垂線EF交直線AD于點E.(1)求證：EF是。的切線；(2)連接BC,若AB=5,BC=3,求線段AE的長.證明：（1）連接OC, .OA=OC,./OCA=ZBAC, 點C是面的中點, ./EAC=ZBAC, ./E

25、AC=ZOCA, .OC/AE, .AEXEF, OCXEF,即EF是。的切線;解：（2）AB為。O的直徑， ./BCA=90°, 1-ac=7aB2-BC2=4, /EAC=/BAC,ZAEC=ZACB=90°,AECAACB,AEAC-=,ACABAE=AC213、（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖，小明畫了一個等腰三角形ABC,其中AB=AC,在ABC的外側(cè)分別以AB,AC為腰作了兩個等腰直角三角形ABD,ACE,分別取BD,CE,BC的中點M,N,G,連接GM,GN.小明發(fā)現(xiàn)了：線段GM與GN的數(shù)量關(guān)系是;位置關(guān)系是.（2）類比思考：如圖，小明在此基礎(chǔ)上進行了深入思考.把等腰三角

26、形ABC換為一般的銳角三角形，其中AB>AC,其它條件不變，小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎？請說明理由.（3）深入研究:如圖，小明在（2）的基礎(chǔ)上，又作了進一步的探究.向ABC的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形ABD,ACE,其它條件不變，試判斷GMN的形狀，并給與證明.解：（1）連接BE,CD相交于H,.ABD和ACE都是等腰直角三角形,AB=AD,AC=AE,/BAD=/CAE=90°./CAD=ZBAE,ACDAAEB(SAS),.CD=BE,ZADC=ZABE,./BDC+/DBH=ZBDC+ZABD+ZABE=ZBDC+ZABD+ZADC=ZADB+ZABD=90°,.

27、/BHD=90°,CDXBE,點M,G分別是BD,BC的中點,.MG=NG,MG±NG,故答案為：MG=NG,MG±NG;MGCD,BE,同理：ngZ.2董W（2）連接CD,BE相交于點H,同（1）的方法得，MG=NG,MG，NG；（3）連接EB,DC,延長線相交于H,同（1）的方法得，MG=NG,同（1）的方法得，ABEAADC, ./AEB=ZACD, ./CEH+/ECH=/AEH-/AEC+180°-ZACD-ZACE=ZACD-45°+180°-ZACD-45°=90°, ./DHE=90°,同

28、（1）的方法得，MGNG, .MGN是等腰直角三角形.14、小儒在學(xué)習(xí)了定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”之后做了如下思考：（1）他認為該定理有逆定理，即“如果一個三角形某條邊上的中線等于該邊長的一半，那么這個三角形是直角三角形”應(yīng)該成立，你能幫小儒證明一下嗎？如圖，在ABC中，AD是BC邊上的中線，若AD=BD=CD,求證：/BAC=90°.（2）接下來，小儒又遇到一個問題：如圖，已知矩形ABCD,如果在矩形外存在一點E,使得AEXCE,求證：BEXDE,請你作出證明，可以直接用到第（1）問的結(jié)論.（3）在第（2）問的條件下，如果AED恰好是等邊三角形，直接用等式表示出此

29、時矩形的兩條鄰邊AB與BC的數(shù)量關(guān)系.解：（1）.AD=BD,./B=ZBAD,AD=CD,./C=ZCAD,在ABC中，/B+ZC+ZBAC=180°,.B+ZC+/BAD+/CAD=/B+ZC+ZB+ZC=180.B+ZC=90°,./BAC=90°,(2)如圖，連接AC,BD,OE, 四邊形ABCD是矩形，.-.OA=OB=OC=OD="AC=BD,22 .AEXCE, ./AEC=90°, .OE=/AC,.-.OE=BD, ./BED=90°,.BESE；(3)如圖3,四邊形ABCD是矩形，AD=BC,/BAD=90

30、6;,.ADE是等邊三角形，.AE=AD=BC,ZDAE=ZAED=60°,由(2)知，/BED=90°, ./BAE=ZBEA=30°,過點B作BFXAETF,AE=2AF,在RtAABF中，/BAE=30°,.AB=2BF,AF=V3BF, .AE=27jBF,AE=V3AB,BC=VSAB.15、如圖1,四邊形ABCD中，ABXBC,AD/BC,點P為DC上一點，且AP=AB,分別過點A和點C作直線BP的垂線，垂足為點E和點F.(1)證明：ABEsBCF；(2)(3)若的值;如圖2,若AB=BC,設(shè)/DAP的平分線AG交直線BP于G.當CF=1,時

31、，求線段AG的長.證明：（1）ABXBC, ./ABE+ZFBC=90°又CFXBF, ./BCF+ZFBC=90° ./ABE=ZBCF又./AEB=ZBFC=90°,/.ABEc/dABCF又AP=AB,AEXBF,BP=2BE.BP_aE_3一百"EF5/AD/BC,/.DPHcAcpbAB=BC,由(1)可知ABEABCF.-.CF=BE=EP=1,HE=791=2BP=2,代入上式可得HP£,/ABEAHAE,be=ae3=詈AE|AEAE一地2AP=AB,AE±BF,AE平分/BAP./EAG=ZBAH=又AG平分/DAP

32、,45.AEG是等腰直角三角形.AG=2AE=316、已知：PA=6,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖，當/APB=45°時，求AB及PD的長；(2)當/APB變化，且其它條件不變時，求PD的最大值，及相應(yīng)/APB的大小.解：（1）如圖，作AEPB于點E,.APE中，/APE=45°,PA=V2,.AE=PE=&X孚=1,PB=4,BE=PB-PE=3,在RtAABE中，/AEB=90°,ab=VaP7be=-解法一：如圖，因為四邊形ABCD為正方形，可將PAD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到P'AB,可

33、得PADAP'AB,PD=P'B,PA=P'A.，/PAP'=90°,/APP'=45°,/P'PB=90°PP'=V2PA=2,PD=P'B=解法二：如圖，過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F,與DA的延長線交PB于G.在RtAAEG中,EG=可得AG=-2PG=PE-EG=.在RtAPFG中,'FG1；可得PF=PG?cos/FPG=PG?cos/ABE=在RtAPDF中，可得,PD3F2+tAD4AG+FG)2=2)=2s(2)如圖所示,將PAD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到P'

34、;AB,PD的最大值即為P'B的最大值，.P'PB中，P'BVPP'+PB,PP'=6PA=2,PB=4,且P、D兩點落在直線AB的兩側(cè)，.當P'、P、B三點共線時，P'B取得最大值(如圖)此時P'B=PP'+PB=6,即P'B的最大值為6.此時/APB=180°-/APP'=135度.D17、我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.例如圖1,圖2,圖3中，AF,BE是ABC的中線，AFLBE,垂足為P.像ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.特例探索(1

35、)如圖1,當/ABE=45°,c=2%反時，a=,b=;如圖2,當/ABE=30°,c=4時，求a和b的值.歸納證明(2)請你觀察(1)中的計算結(jié)果，猜想三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式.(3)利用(2)中的結(jié)論，解答下列問題：在邊長為3的菱形ABCD中，O為對角線AC,BD的交點，E,F分別為線段AO,DO的中點，連接BE,CF并延長交于點M,BM,CM分別交AD于點G,H,如圖4所示，求MG2+MH2的值.圖1IS3典4解：如圖1、2、3、4,連接EF,則EF是4ABC的中位線,貝(JEF=LaB,EF/AB,EFPsBPA,2.PBPAAB

36、1小PEPFEF2'(1)在圖1中，PB=ABsin45°=2=PA,由得：PF=1,b=2BF=2Jp謂+pF2=2/S=a;同理可得：a=2j1M,b=2”斤；(2)關(guān)系為：a+(cosa)2=5c2;+b2=5c2,證明：如圖3,設(shè)：/EAB=%則：PB=ABcosa=ccosa,PA=csina,由得:PF=7-PA=icsina,PE="csina,則a2+b2=(2AE)2+(2BF)2=c2X5(sina).GH/BC,EF/BC,MB,.HG/EF,MG='|-ME=II同理：mh=Lmc,3則MG2+MH2=(MB2+MC2)=X5XBC2=5.18、(1)如圖1,已知EK垂直平分BC,垂足為D,AB與EK相交于點F,連接CF.求證：/AFE之CFD(2)如圖2,在RtAGMN中，/M=90,P為MN的中點.用直尺和圓規(guī)在GN邊上求作點Q,使彳3/GQM=/PQN(保留作圖痕跡，不要求寫作法)；在的條件下，如果