專題訓(xùn)練七四種特殊的等腰三角形的運(yùn)用

1、專題訓(xùn)練（七）四種特殊的等腰三角形的運(yùn)用?類型一等腰直角三角形定義：有一個(gè)角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.性質(zhì)：（1）兩條直角邊相等；（2）頂角是90°,底角是45°.判定：利用定義.1 .如圖7ZT-1,輪船從B處以每小時(shí)50nmile的速度沿南偏東30°方向勻速航行，在B處觀測燈塔A位于南偏東75°方向上，輪船航行半小時(shí)后到達(dá)C處，在C處觀測燈塔A位于北偏東60。方向上，則C處與次T塔A的距離是nmile.圖7ZT12 .如圖7ZT2,ZABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,BE是角平分線，EDXBC于點(diǎn)D.（1）請你寫出圖中所

2、有的等腰三角形；（2）若BC=10,求AB+AE的長.圖7ZT23 .如圖7ZT3,在那BC中，AB=AC,D是BC的中點(diǎn)，BEXAC,垂足為E,/ABE的平分線交AD于點(diǎn)F,判斷4DBF的形狀，并證明你的結(jié)論.圖7ZT34 .如圖7ZT4,在等腰三角形ABC中，AC=BC,分別以BC和AC為直角邊向上作等腰直角三角形BCD和ACE,AE與BD相交于點(diǎn)F,連接CF并延長交AB于點(diǎn)G.求證：CG垂直平分AB.圖7ZT4?類型二等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形.性質(zhì)：（1）三邊都相等；（2）三個(gè)角都是60°.60°的等腰三角判定：（1）定義；（2）三個(gè)角都相等的

3、三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角是形是等邊三角形.cm,AB的垂直5 .如圖7ZT5所示，在AABC中，AB=AC,/A=120°,BC=6平分線交BC于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N,交AC于點(diǎn)F,則MN的長為（）圖7ZT5C. 2cmAD平分/BAC,/6 .如圖7ZT6,在祥BC中，AB=AC,D,E是那BC內(nèi)兩點(diǎn),cm.EBC=/E=60°若BE=6cm,DE=2cm,貝UBC=圖7ZT6/AEF=60°,EF交7 .如圖7ZT7,AABC是等邊三角形，E是BC邊上任意一點(diǎn),那BC的外角/ACD的平分線于點(diǎn)F.求證：AE=EF.圖7ZT

4、7類型三有一個(gè)角是30。的等腰三角形8 .2017荊州如圖7ZT8,在4ABC中，AB=AC,ZA=30°,AB的垂直平分線l交AC于點(diǎn)D,則/CBD的度數(shù)為（）A.30°B,45°C.50°D,75°9 .如圖7ZT9,在RtAABC中，ZC=90°,ZB=30°,BC=3,D是BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B,C重合），過點(diǎn)D作DELBC交AB邊于點(diǎn)E,將/B沿直線DE翻折，點(diǎn)落在射線BC上的點(diǎn)F處，當(dāng)AAEF為直角三角形時(shí)，BD的長為.圖圖7ZT910 .如圖7ZT10,在AABC中，/ABC=45°,D是AABC的邊

5、BC上一點(diǎn)，DC2DB,/ADC=60°,CEXAD,垂足為E,連接BE.求證：EA=EB=EC.圖7ZT10?類型四有一角是36。的等腰三角形有一角是36。的等腰三角形包括兩種情況：（1）頂角是36。的等腰三角形，此時(shí)底角是72。；（2）底角是36。的等腰三角形，此時(shí)頂角是108。這兩類等腰三角形具有一些共性.11 .如圖7ZT11,過正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)A作直線l/BE,則/1的度數(shù)為（）圖7ZT11A.30°B,36°C.38D. 4512 .2017益陽如圖7ZT12,在AABC中，AB=AC,ZBAC=36°,DE是線段AC的垂直平分線，若

6、BE=a,AE=b,則用含a,b的式子表示AABC的周長為.圖7ZT1213 .如圖7ZT13所示，在AABC中，AB=AC,D為BC上一點(diǎn)，且AB=BD,AD=DC,則/BAC=度.圖7ZT1314 .如圖7ZT14,在4ABC中，AB=AC,ZA=36°,稱滿足此條件的三角形為黃金等腰三角形.請完成以下操作：(畫圖不要求使用圓規(guī)，以下問題所指的等腰三角形個(gè)數(shù)均不包括AABC)圖7ZT14(1)在圖中畫1條線段，使圖中有2個(gè)等腰三角形，并直接寫出這2個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)分別是度和度；(2)在圖中畫2條線段，使圖中有4個(gè)等腰三角形；(3)繼續(xù)按以上操作發(fā)現(xiàn)：在圖中畫n條線段，則圖中

7、有個(gè)等腰三角形，其中有個(gè)黃金等腰三角形.教師詳解詳析1.答案25解析由題意知/ABC=45°,ZACB=90°,于是/A=45°,.ABC是等腰直角三角一一一_一1.形.AC=BC=50><2=25(nmile).2.解：(1)如圖，,ABC是等腰直角三角形，/BAC=90°,/ABC=/8=45°.又EDXBC,./EDC=90°,/7=/8=45°DE=DC,故ADCE為等腰三角形；BE是/ABC的平分線，/BAC=/EDB=90°,AE=DE,故那DE為等腰三角形；BE是/ABC的平分線，1=72

8、.又./BAE=/EDB=90°,BE=BE,ABEDBE.AB=BD,故"BD為等腰三角形.故圖中所有的等腰三角形為那BC,ADCE,祥DE,AABD,共四個(gè).(2)由(1)可知4ADE,祥BD,ADCE均為等腰三角形,AB=BD,AE=DE=CD.AB+AE=BD+CD=BC=10.3.解：ADBF是等腰直角三角形.證明：AB=AC,D是BC的中點(diǎn)，AD±BC,AD平分/BAC. BF平分/ABE,BEXAC, ./DFB=ZDAB+ZABF=1(ZBAE+ZABE)=2(180-ZAEB)=45/DBF=90°-ZDFB=45°DB=DF

9、. .DBF是等腰直角三角形.4 .證明：.AC=BC,/CAB=/CBA.ACE和ABCD均為等腰直角三角形，/CAE=/CBD=45°/FAG=/FBG.AF=BF.在AACF和ABCF中，AF=BF,AC=BC,CF=CF, .ACFABCF(SSS). ./ACF=/BCF. .AG=BG,CG±AB(三線合一)，即CG垂直平分AB.5 .C6 .答案8解析延長AD交BC于點(diǎn)M,由AB=AC,AD平分/BAC可得AM±BC,BM=MC1. 一=BC.延長ED交BC于點(diǎn)N,則AEBN是等邊二角形，故EN=BN=BE=6cm,z.DN=61-2=4(cm),在

10、RtDMN中，/MDN=90-ZDNM=30,，MN=/DN=2cm.BM=6 2=4(cm).BC=2BM=8cm.7 .證明：如圖，在AB上截取AG=CE,連接EG.ABC是等邊三角形，AB=BC,ZB=ZACB=60°.：.BG=BE. .BEG是等邊三角形.BGE=60°. ./AGE=120°. CF平分/ACD,1.ACF=2(180-ZACB)=60. ./ECF=120°：./AGE=ZECF. ./AEC=ZB+ZGAE=ZAEF+/CEF,且/AEF=/B=60°, ./GAE=ZCEF.AGEAECF(ASA).，AE=E

11、F.8 .解析B.AB=AC,/A=30°,./ABC=/ACB=75°；AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,.AD=BD.A=/ABD=30°CBD=/ABC/ABD=7530°=45故選B.BFC圖FAB=90-FAC=30°在(2)若/EAF=圖9 .答案1或2解析根據(jù)題意，得/AEF=2/B=60°.（嘴/AFE=90°,如圖，則/AEF=30°,FAB=/B.，AF=BF./B=30°,./BAC=60°RtAFAC中,FC=BD=BF=2.綜上所述，BD的長為1或2.10.證明：CEXAD

12、,/ADC=60°,./DCE=30°.：.DC=2DE.DC=2DB,DE=DB./EBC=/ADC=30。./EBC=/ECB=30°EB=EC./DAB=ZADC-ZABC=15°,/EBA=/ABC-ZEBC=45°-30/DAB=/EBA.EA=EB.EA=EB=EC.AF=1BF=1BC=1,BF=BC-FC=2.BD=1BF=1;22321190,如圖，同理可得FC=AF.在RtABAF中，F(xiàn)A=BF.15°,FC=；BF=1BC=1.BF=BC+CF=4.4312. 答案2a+3b解析根據(jù)題意可知AC=AB=a+b.AB=AC,ZBAC=36°, ./B=ZACB=72°.DE是線段AC的垂直平分線，/BAC=36°, .AE=CE./ACE=/BAC=36°. ./B=ZBEC=72°.BC=CE=AE=b.ABC的周長=2(a+b)+b=2a+3b.13. 10814.A圖解：（1）如圖所示（畫圖不唯一）.空格處分別填：108,36.提示：當(dāng)