材料力學(xué)-6-彎曲剛度課件

1、Nanjing University of Technology材料力學(xué)材料力學(xué) (6)材料力學(xué)第第6章章 彎曲剛度彎曲剛度限 制 彎 曲 變 形限 制 彎 曲 變 形（剛度問(wèn)題）（剛度問(wèn)題）工程中的彎曲變形問(wèn)題工程中的彎曲變形問(wèn)題 第第6章章 彎曲剛度彎曲剛度 機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中的齒輪機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中的齒輪軸，當(dāng)變形過(guò)大時(shí)軸，當(dāng)變形過(guò)大時(shí)( (圖中虛圖中虛線所示線所示) )，兩齒輪的嚙合處，兩齒輪的嚙合處也將產(chǎn)生較大的變形。也將產(chǎn)生較大的變形。加大齒輪磨損，產(chǎn)生很大的噪聲加大齒輪磨損，產(chǎn)生很大的噪聲限制彎曲變形（剛度問(wèn)題）限制彎曲變形（剛度問(wèn)題）影響兩個(gè)齒輪之間的嚙合影響兩個(gè)齒輪之間的嚙合第第6章

2、章 彎曲剛度彎曲剛度 各種車(chē)輛中用各種車(chē)輛中用于減振的板簧，都于減振的板簧，都是采用厚度不大的是采用厚度不大的板條疊合而成。板條疊合而成。 可以承受很大的力而不發(fā)生破壞可以承受很大的力而不發(fā)生破壞能承受較大的彈性變形，吸收車(chē)輛受到振動(dòng)和能承受較大的彈性變形，吸收車(chē)輛受到振動(dòng)和沖擊時(shí)產(chǎn)生的動(dòng)能，收到抗振和抗沖擊的效果。沖擊時(shí)產(chǎn)生的動(dòng)能，收到抗振和抗沖擊的效果。 利用彎曲變形（剛度問(wèn)題）利用彎曲變形（剛度問(wèn)題）第第6章章 彎曲剛度彎曲剛度求解靜不定問(wèn)題求解靜不定問(wèn)題第第6章章 彎曲剛度彎曲剛度ABF1/2L1/2L(+)(+)FL321FL5129FL5129建立補(bǔ)充方程建立補(bǔ)充方程利用彎曲變形（

3、求解靜不定問(wèn)題）利用彎曲變形（求解靜不定問(wèn)題） 6.1 6.1 梁的變形與位移梁的變形與位移 6.3 6.3 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 6.5 6.5 提高梁剛度的措施提高梁剛度的措施 6.4 6.4 梁的剛度問(wèn)題梁的剛度問(wèn)題 6.2 6.2 梁的小撓度微分方程及其積分梁的小撓度微分方程及其積分 第第6章章 彎曲剛度彎曲剛度 6.6 6.6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 6.1 6.1 梁的變形與位移梁的變形與位移 第第6章章 彎曲剛度彎曲剛度B x wA取梁的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，梁變形前的軸線為取梁的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，梁變形前的軸線為 x 軸軸（向右為正）（向右為正）

4、，橫截面的鉛垂對(duì)稱軸為，橫截面的鉛垂對(duì)稱軸為 w 軸（向下為軸（向下為正）正） ， x w 平面為平面為縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面。度量梁變形度量梁變形后橫截面位置改后橫截面位置改變，即變，即位移位移，有，有三個(gè)基本量。三個(gè)基本量。 6.1 6.1 梁的變形與位移梁的變形與位移 1. 基本概念基本概念 BAB x w轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 B撓度撓度wCC撓度撓度deflection（ ）：橫截面形心橫截面形心 C C （即軸線上的點(diǎn)）（即軸線上的點(diǎn)）的鉛垂位移。的鉛垂位移。轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角slope（ ）：變形后的橫截面相對(duì)于變形前位置繞中變形后的橫截面相對(duì)于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度。性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度。 6.1 6.

5、1 梁的變形與位移梁的變形與位移 AB x w轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 B撓度撓度w CC軸向位移軸向位移（ u ）：橫截面形心沿水平方向的位移。橫截面形心沿水平方向的位移。 在小變形情形下，上述位移中，軸向位移在小變形情形下，上述位移中，軸向位移u與撓與撓度度w相比為高階小量，故通常不予考慮。相比為高階小量，故通常不予考慮。 6.1 6.1 梁的變形與位移梁的變形與位移 xwwddtan撓曲線撓曲線 ：梁變形后的軸線。梁變形后的軸線。)(xww 撓曲線撓曲線AB x w轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 B撓度撓度wCC注意：注意：當(dāng)變形保持當(dāng)變形保持在彈性范圍內(nèi)在彈性范圍內(nèi)，撓曲線為，撓曲線為連續(xù)光滑曲線。連續(xù)光滑曲線。撓度方程撓

6、度方程：)(x轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程：2. 撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系 6.1 6.1 梁的變形與位移梁的變形與位移 在在小變形條件小變形條件下，撓度曲下，撓度曲線較為平坦。線較為平坦。即即 很小，因而上式中很小，因而上式中tan。于是有于是有 撓曲線撓曲線AB x w轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 Bw 撓度撓度CCxwwddtanxwwdd撓度與轉(zhuǎn)角的相互關(guān)系撓度與轉(zhuǎn)角的相互關(guān)系 6.1 6.1 梁的變形與位移梁的變形與位移 撓度和轉(zhuǎn)角符號(hào)的規(guī)定撓度和轉(zhuǎn)角符號(hào)的規(guī)定撓度：撓度：向下為正，向上為負(fù)。向下為正，向上為負(fù)。轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)角：順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。 撓曲線撓曲線AB x w轉(zhuǎn)

7、角轉(zhuǎn)角 Bw 撓度撓度CC 6.1 6.1 梁的變形與位移梁的變形與位移 6.2 6.2 梁的小撓度微分方程及其積分梁的小撓度微分方程及其積分 第第6章章 彎曲剛度彎曲剛度力學(xué)中的曲率公式力學(xué)中的曲率公式數(shù)學(xué)中的曲率公式數(shù)學(xué)中的曲率公式EIM1 23222dd1dd1xwxwx1. 小撓度微分方程小撓度微分方程 6.2 6.2 梁的小撓度微分方程及其積分梁的小撓度微分方程及其積分 純彎曲時(shí)曲率與彎矩的關(guān)系為純彎曲時(shí)曲率與彎矩的關(guān)系為橫力彎曲時(shí)橫力彎曲時(shí), M 和和 都是都是x的函數(shù)的函數(shù) 。細(xì)長(zhǎng)。細(xì)長(zhǎng)梁可以略去剪力對(duì)梁的位移的影響梁可以略去剪力對(duì)梁的位移的影響, 則則 EIxMx1AA中性層曲

8、率中心中性層曲率中心OO變形后變形后zd xyxd - yy 小撓度情形下小撓度情形下 對(duì)于彈性曲線的小撓度微分方程，式中的正負(fù)號(hào)與對(duì)于彈性曲線的小撓度微分方程，式中的正負(fù)號(hào)與w坐標(biāo)的取向有關(guān)。坐標(biāo)的取向有關(guān)。 EIxMxwxw23222dd1dd1dd22xw EIxMxw22dd 本書(shū)規(guī)定的坐標(biāo)系為：本書(shū)規(guī)定的坐標(biāo)系為： x 軸水平向右為正軸水平向右為正, w 軸豎直軸豎直向下為正。向下為正。 6.2 6.2 梁的小撓度微分方程及其積分梁的小撓度微分方程及其積分 MMoxwoxwMM因此因此, M 與與 w 的正負(fù)號(hào)正好相反，所以的正負(fù)號(hào)正好相反，所以EIMxw22dd0dd, 022xw

9、M0dd, 022xwMEIxMdxwd)(22（小撓度微分方程）（小撓度微分方程） 6.2 6.2 梁的小撓度微分方程及其積分梁的小撓度微分方程及其積分 近似原因：近似原因：（1） 略去了剪力的影響；（略去了剪力的影響；（2）小撓度略去了）小撓度略去了w 2 項(xiàng)。項(xiàng)。 對(duì)于對(duì)于等截面梁等截面梁，彎曲剛度為常量彎曲剛度為常量時(shí)時(shí) dddlM xwxCxEI EIxMdxwd)(222. 小撓度微分方程的積分小撓度微分方程的積分積分一次：積分一次：（轉(zhuǎn)角方程）（轉(zhuǎn)角方程）積分二次：積分二次：DCxdxdxEIxMw)(（撓度方程）（撓度方程）式中式中C、D為積分常數(shù)，由梁的約束條件決定。為積分常

10、數(shù)，由梁的約束條件決定。 6.2 6.2 梁的小撓度微分方程及其積分梁的小撓度微分方程及其積分 在固定端處：在固定端處：xwAB梁的邊界條件梁的邊界條件在固定鉸支座和滾動(dòng)鉸支座處：在固定鉸支座和滾動(dòng)鉸支座處：xABlw0, 0, 0wwxAA; 0, 0Awx. 0,Bwlx3. 小撓度微分方程積分常數(shù)的確定小撓度微分方程積分常數(shù)的確定梁的約束條件（邊界條件和連續(xù)性條件）梁的約束條件（邊界條件和連續(xù)性條件） 6.2 6.2 梁的小撓度微分方程及其積分梁的小撓度微分方程及其積分 PABC梁的梁的連續(xù)性條件連續(xù)性條件CCCCwwABlaCMCCww在集中力作用處：在集中力作用處：在中間鉸處：在中間

11、鉸處： 6.2 6.2 梁的小撓度微分方程及其積分梁的小撓度微分方程及其積分 寫(xiě)出下圖的邊界條件、連續(xù)性條件：寫(xiě)出下圖的邊界條件、連續(xù)性條件：0, 0AwxCCax，CCwwax，0,Bwlx0, 0AwxCCax，CCwwax，BDBlwlx,EAhFByAlFCabBEAhDAlFCabB練習(xí)練習(xí) 由由M的方向的方向確定軸線的確定軸線的凹凸性凹凸性。 由由約束性質(zhì)約束性質(zhì)及及連續(xù)光滑性連續(xù)光滑性確定撓度曲線的確定撓度曲線的大致大致形狀及位置形狀及位置。4. 梁的連續(xù)光滑撓曲線的繪制梁的連續(xù)光滑撓曲線的繪制 6.2 6.2 梁的小撓度微分方程及其積分梁的小撓度微分方程及其積分 試根據(jù)連續(xù)光滑

12、性質(zhì)以及試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫(huà)出梁的撓度曲線約束條件，畫(huà)出梁的撓度曲線的大致形狀。的大致形狀。彎矩？彎矩？約束？約束？連續(xù)光滑？連續(xù)光滑？ 試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫(huà)出梁的撓度及約束條件，畫(huà)出梁的撓度曲線的大致形狀。曲線的大致形狀。彎矩？彎矩？約束？約束？連續(xù)光滑？連續(xù)光滑？ 試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫(huà)出梁的以及約束條件，畫(huà)出梁的撓度曲線的大致形狀。撓度曲線的大致形狀。彎矩？彎矩？約束？約束？連續(xù)光滑？連續(xù)光滑？梁的撓度與轉(zhuǎn)角方程，梁的撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。 左端固定、右端自由的懸左端固

13、定、右端自由的懸臂梁承受均布荷載。均布荷載臂梁承受均布荷載。均布荷載集度為集度為q ，梁的彎曲剛度為，梁的彎曲剛度為EI 、長(zhǎng)度為、長(zhǎng)度為l。q、EI 、l 均已均已知。知。 6.2 6.2 梁的小撓度微分方程及其積分梁的小撓度微分方程及其積分 5 5、積分法求解小撓度微分方程舉例積分法求解小撓度微分方程舉例解：解：1建立建立Oxw坐標(biāo)系坐標(biāo)系 2建立梁的彎矩方程建立梁的彎矩方程 6.2 6.2 梁的小撓度微分方程及其積分梁的小撓度微分方程及其積分 xM(x)FQ(x)21( )02M xq lxxl 3 建立微分方程并積分建立微分方程并積分將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得將上述彎矩方程代

14、入小撓度微分方程，得 212EIwMq lx EIxMdxwd)(22 例題例題1積分后，得到積分后，得到 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD212EIwMq lx 6.2 6.2 梁的小撓度微分方程及其積分梁的小撓度微分方程及其積分 例題例題14 利用約束條件確定積分常數(shù)利用約束條件確定積分常數(shù)固定端處的約束條件為：固定端處的約束條件為： 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD00 xw，d00dwxx， =33,624qlCqlD 6.2 6.2 梁的小撓度微分方程及其積分梁的小撓度微分方程及其積分 例題例題15 確定撓度與轉(zhuǎn)角方程確定撓度與轉(zhuǎn)角方程

15、316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD33,624qlCqlD 336qlxlEI 434424qwlxl xlEI 6.2 6.2 梁的小撓度微分方程及其積分梁的小撓度微分方程及其積分 6 確定最大撓度與最大轉(zhuǎn)角確定最大撓度與最大轉(zhuǎn)角 從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角均為最從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角均為最大值。大值。 于是，將于是，將 x = l，分別代入撓度方程與轉(zhuǎn)角方程，得到：，分別代入撓度方程與轉(zhuǎn)角方程，得到： 3max6BqlEI4max8BqlwwEI 例題例題1加力點(diǎn)加力點(diǎn)B的撓度和的撓度和支承支承A、C處的轉(zhuǎn)角。處的轉(zhuǎn)角。

16、 簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。FP、EI、l均為已知。均為已知。 6.2 6.2 梁的小撓度微分方程及其積分梁的小撓度微分方程及其積分 解：解：1確定梁約束力確定梁約束力 首先，應(yīng)用靜力學(xué)方法求得首先，應(yīng)用靜力學(xué)方法求得梁在支承梁在支承A、C二處的約束力分別二處的約束力分別如圖中所示。如圖中所示。 AB段段 解：解： 2. 分段建立梁的彎矩方程分段建立梁的彎矩方程BC段段 于是，于是，AB和和BC兩段的彎矩方程分別為兩段的彎矩方程分別為 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxl 6.2 6.2 梁的小撓度微分方程及其積分梁的小撓度微分方程及其積分 例題例題2

17、3 將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別積分將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別積分 211P2d30d44wlEIMxF xxx 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxl 222PP2d3d444wllEIMxF xFxxlx 6.2 6.2 梁的小撓度微分方程及其積分梁的小撓度微分方程及其積分 例題例題2積分后，得積分后，得 211P2d30d44wlEIMxF xxx 12P183CxFEI113P181DxCxFEIw4 利用約束條件和連續(xù)性條件確定積分常數(shù)利用約束條件和連續(xù)性條件確定積分常數(shù) x0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ; xl/4

18、， 1 1= = 222P2P242183ClxFxFEI223P3P246181DxClxFxFEIw 222PP2d3d444wllEIMxF xFxxlx 6.2 6.2 梁的小撓度微分方程及其積分梁的小撓度微分方程及其積分 D1D2 =02P211287lFCC 例題例題25確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程以及指確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程以及指定橫截面的撓度與轉(zhuǎn)角定橫截面的撓度與轉(zhuǎn)角 將所得的積分常數(shù)代入后將所得的積分常數(shù)代入后,得得到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為：到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為： 22P378128FxxlEIAB段段 BC段段 xlxEIFxw23P128781 222P317824128Flx

19、xxlEI xllxxEIFxw233P128746181算得加力點(diǎn)算得加力點(diǎn)B處的撓度和支承處處的撓度和支承處A和和C的轉(zhuǎn)角分別為的轉(zhuǎn)角分別為 EIlFwB3P25632P7128AF lEI2P5128BF lEI 6.2 6.2 梁的小撓度微分方程及其積分梁的小撓度微分方程及其積分 例題例題2處理具體問(wèn)題時(shí)的注意點(diǎn)處理具體問(wèn)題時(shí)的注意點(diǎn)EIxMdxwd)(22 確定約束力確定約束力 分段建立撓度微分方程并積分分段建立撓度微分方程并積分 利用約束條件確定積分常數(shù)利用約束條件確定積分常數(shù) 確定確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度與轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度與轉(zhuǎn)角 分段寫(xiě)出彎矩方程分

20、段寫(xiě)出彎矩方程 6.3 6.3 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第第6章章 彎曲剛度彎曲剛度1. 疊加法前提疊加法前提 在小變形，在小變形，服從胡克定律的前提下服從胡克定律的前提下?lián)隙?、轉(zhuǎn)角與荷載均為一次線性關(guān)系撓度、轉(zhuǎn)角與荷載均為一次線性關(guān)系 6.3 6.3 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 實(shí)用的工具：實(shí)用的工具：撓度表（撓度表（P157） 為方便工程計(jì)算，已將各種支承條件下的靜定為方便工程計(jì)算，已將各種支承條件下的靜定梁，在各種典型荷載作用下的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式一梁，在各種典型荷載作用下的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式一一列出，并形成手冊(cè)。一列出，并形成手冊(cè)。重要的方法

21、：重要的方法：疊加法疊加法（superposition method） 應(yīng)用疊加原理及常見(jiàn)靜定梁在簡(jiǎn)單荷載作用下應(yīng)用疊加原理及常見(jiàn)靜定梁在簡(jiǎn)單荷載作用下的撓度和轉(zhuǎn)角，得到常見(jiàn)靜定梁在復(fù)雜荷載作用下的撓度和轉(zhuǎn)角，得到常見(jiàn)靜定梁在復(fù)雜荷載作用下的撓度與轉(zhuǎn)角。的撓度與轉(zhuǎn)角。懸臂梁受集懸臂梁受集中荷載為例中荷載為例EIlFw33PmaxEIlF22Pmax 6.3 6.3 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 6.3 6.3 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 6.3 6.3 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 簡(jiǎn)支梁受力如簡(jiǎn)支梁受力如圖所示，圖所示，q、l、E

22、I均為已知。均為已知。C截面的撓截面的撓度度wC ；B截面的轉(zhuǎn)截面的轉(zhuǎn)角角 B。 6.3 6.3 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 2. 第一類(lèi)疊加法第一類(lèi)疊加法應(yīng)用于多個(gè)荷載作用的情形應(yīng)用于多個(gè)荷載作用的情形321CCCCwwww1. .將梁上的荷載變將梁上的荷載變?yōu)槿N簡(jiǎn)單的情形。為三種簡(jiǎn)單的情形。123BBBB 6.3 6.3 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 例題例題32.由撓度表查得三種情形下由撓度表查得三種情形下C截面的撓度和截面的撓度和B 截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角。EIqlwEIqlwEIqlwCCC4342411614813845,EIqlEIqlE

23、IqlBBB33323131161241 6.3 6.3 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 例題例題33. 應(yīng)用疊加法，將簡(jiǎn)單荷載應(yīng)用疊加法，將簡(jiǎn)單荷載作用時(shí)的結(jié)果分別疊加。作用時(shí)的結(jié)果分別疊加。 ,EIqlwwiCiC43138411EIqliBiB3314811 6.3 6.3 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 例題例題3處理具體問(wèn)題時(shí)的注意點(diǎn)處理具體問(wèn)題時(shí)的注意點(diǎn) 將所得結(jié)果疊加將所得結(jié)果疊加 將其分解為各種荷載單獨(dú)作用的情形將其分解為各種荷載單獨(dú)作用的情形 由撓度表分別查得各種情形下的撓度和轉(zhuǎn)角由撓度表分別查得各種情形下的撓度和轉(zhuǎn)角二梁的受力二梁的受力(

24、 (包括荷載與約束力包括荷載與約束力) )是否相同？是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的變形是否相同？二梁的變形是否相同？二梁的位移是否相同？二梁的位移是否相同？位移不僅與變形有關(guān)，而且與約束有關(guān)。位移不僅與變形有關(guān)，而且與約束有關(guān)。 BC段有沒(méi)有變形？有沒(méi)有位移？段有沒(méi)有變形？有沒(méi)有位移？沒(méi)有變形沒(méi)有變形為什么會(huì)有位移？為什么會(huì)有位移？FPABC 總體變形是微段變形累加的結(jié)果。總體變形是微段變形累加的結(jié)果。 有位移不一定有變形。有位移不一定有變形。BC段梁均視為段梁均視為剛體剛體。 懸臂梁受力如圖所懸臂梁受力如圖所示，示，q、l、EI均為已知。均為已知。C截面的撓度截面的

25、撓度wC和和轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 C。 6.3 6.3 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 3. 第二類(lèi)疊加法第二類(lèi)疊加法應(yīng)用于間斷性分布荷載作用的情形應(yīng)用于間斷性分布荷載作用的情形1.1. 首先，將梁上的荷首先，將梁上的荷載變成有表可查的情形載變成有表可查的情形 6.3 6.3 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 2 2再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)單荷載作用的情形，計(jì)算各個(gè)單荷載作用的情形，計(jì)算各個(gè)簡(jiǎn)單荷載引起的撓度和轉(zhuǎn)角簡(jiǎn)單荷載引起的撓度和轉(zhuǎn)角 例題例題4EIqlwC4181EIqlC31612CwEIqllEIqBC33224812612Bw22lB428

26、1lEIq22613llEIq將簡(jiǎn)單荷載作用的結(jié)果將簡(jiǎn)單荷載作用的結(jié)果疊加疊加 ,EIqlwwiCiC42138441EIqliCiC321487 6.3 6.3 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 例題例題4 6.4 6.4 梁的剛度問(wèn)題梁的剛度問(wèn)題 第第6章章 彎曲剛度彎曲剛度 對(duì)于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，對(duì)于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計(jì)就是剛度設(shè)計(jì)就是根據(jù)對(duì)零件和構(gòu)件的不同工藝要求，將最大撓度和轉(zhuǎn)根據(jù)對(duì)零件和構(gòu)件的不同工藝要求，將最大撓度和轉(zhuǎn)角角（或者指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角或者指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角）限制在一定范圍限制在一定范圍內(nèi)，即滿足內(nèi)，即滿足彎曲剛度條件彎曲剛

27、度條件： w 許用撓度許用撓度 許用轉(zhuǎn)角許用轉(zhuǎn)角均根據(jù)對(duì)于不同零件或構(gòu)件的工藝要求而確定。均根據(jù)對(duì)于不同零件或構(gòu)件的工藝要求而確定。 1 1、 彎曲剛度條件彎曲剛度條件 wwmax max 6.4 6.4 梁的剛度問(wèn)題梁的剛度問(wèn)題 剛度計(jì)算的三方面：剛度計(jì)算的三方面： ? ? I ? ? P F 3.6 3.6 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件 剛度校核剛度校核 截面尺寸設(shè)計(jì)截面尺寸設(shè)計(jì) 確定許可荷載確定許可荷載 wwmax max懸臂梁受集懸臂梁受集中荷載為例中荷載為例EIlFw33PmaxEIlF22Pmax？ 鋼制圓軸，左端受力為鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P20 k

28、N，al m，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B處的許用轉(zhuǎn)角處的許用轉(zhuǎn)角 =0.5。 試求：試求：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。 B 6.4 6.4 梁的剛度問(wèn)題梁的剛度問(wèn)題 B解：解：1查表確定查表確定B處的轉(zhuǎn)角處的轉(zhuǎn)角EIlaFB3P由撓度表中查得承受集中荷載由撓度表中查得承受集中荷載的外伸梁的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為處的轉(zhuǎn)角為 6.4 6.4 梁的剛度問(wèn)題梁的剛度問(wèn)題 2根據(jù)剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則確定軸的直徑根據(jù)剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則確定軸的直徑 B 例題例題5統(tǒng)一單位，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入統(tǒng)一單位，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入5 . 0180102063

29、642110201803493dEIalFPB從而得到軸的直徑從而得到軸的直徑 mm111m1011. 1m5 . 01020631806421102014293d 矩形截面懸臂梁承受均布載荷如圖所示。已知矩形截面懸臂梁承受均布載荷如圖所示。已知q=10kN/m，l=3m，E=196GPa，s s=118MPa，許用最大撓度與梁跨度比值許用最大撓度與梁跨度比值wmax/l=1/250，且已知截面高與寬之比為，且已知截面高與寬之比為2，即，即h=2b。 試：試：確定截面尺寸確定截面尺寸b和和h。 6.4 6.4 梁的剛度問(wèn)題梁的剛度問(wèn)題 6.4 6.4 梁的剛度問(wèn)題梁的剛度問(wèn)題 解：解：1.1.

30、 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件mkN45310102121232maxqlM mm8310118210453233633maxsMb ssWMmaxmax223/62/62/3Wbhbbb2.2. 剛度條件剛度條件lwlwmaxmax4max8qlwEI312bhI mm6 .89101961625031010316349434max4lwEqlb89 6mm,b 179mmh 綜合上述設(shè)計(jì)結(jié)果，取剛度設(shè)計(jì)所得到的尺寸綜合上述設(shè)計(jì)結(jié)果，取剛度設(shè)計(jì)所得到的尺寸,作為梁的最作為梁的最終尺寸終尺寸,即即 例題例題6 6.5 6.5 提高梁剛度的措施提高梁剛度的措施第第6章章 彎曲剛度彎曲剛度ZmaxmaxWMs

31、s1. 1. 降低降低 Mmax 設(shè)法降低橫截面的正應(yīng)力數(shù)值。設(shè)法降低橫截面的正應(yīng)力數(shù)值。2. 2. 增大增大 WZ 5.6 5.6 梁的合理設(shè)計(jì)梁的合理設(shè)計(jì) 6.5 6.5 提高梁剛度的措施提高梁剛度的措施以懸臂梁受集中荷載為例以懸臂梁受集中荷載為例EIlFw33PmaxEIlF22Pmax提高梁的高度提高梁的高度，主要是減少梁的彈性位移（撓度和位移）。主要是減少梁的彈性位移（撓度和位移）。 梁的變形除了與荷載與梁的約束有關(guān)（撓度表）外，梁的變形除了與荷載與梁的約束有關(guān)（撓度表）外，還取決于以下因素：還取決于以下因素： 減小跨長(zhǎng)可以有效減小彈性位移。當(dāng)梁的長(zhǎng)度無(wú)法減減小跨長(zhǎng)可以有效減小彈性位

32、移。當(dāng)梁的長(zhǎng)度無(wú)法減小時(shí)，則可增加中間支座（即采用靜不定結(jié)構(gòu)）。小時(shí)，則可增加中間支座（即采用靜不定結(jié)構(gòu)）。減小跨長(zhǎng)減小跨長(zhǎng)EIlFw33PmaxEIlF22Pmax 例如，在車(chē)床上加工較長(zhǎng)的工件時(shí)，為了減小切削例如，在車(chē)床上加工較長(zhǎng)的工件時(shí)，為了減小切削力引起的撓度，以提高加工精度，可在卡盤(pán)與尾架之間力引起的撓度，以提高加工精度，可在卡盤(pán)與尾架之間再增加一個(gè)中間支架。再增加一個(gè)中間支架。 選擇合理的截面形狀選擇合理的截面形狀截面的慣性矩截面的慣性矩IEIlFw33PmaxEIlF22Pmax 此外，選用彈性模量此外，選用彈性模量E較高的材料也能提高梁的較高的材料也能提高梁的剛度。但是，對(duì)于各

33、種鋼材，彈性模量的數(shù)值相差剛度。但是，對(duì)于各種鋼材，彈性模量的數(shù)值相差甚微，因而與一般鋼材相比，選用甚微，因而與一般鋼材相比，選用高強(qiáng)度鋼材高強(qiáng)度鋼材并不并不能提高梁的剛度。能提高梁的剛度。增大彈性模量增大彈性模量EIlFw33PmaxEIlF22Pmax 可以拓展到圓軸扭轉(zhuǎn)和拉壓情況可以拓展到圓軸扭轉(zhuǎn)和拉壓情況減小軸的長(zhǎng)度減小軸的長(zhǎng)度 6.5 6.5 提高梁剛度的措施提高梁剛度的措施iiiiEAlFlN選擇合理的截面形狀選擇合理的截面形狀增大切變模量（效果不明顯）增大切變模量（效果不明顯）iPiixiGIlM 6.6 6.6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 第第6章章 彎曲剛度彎曲剛度靜不定次

34、數(shù)靜不定次數(shù)：未知力個(gè)數(shù)與獨(dú)立平衡方程數(shù)之差：未知力個(gè)數(shù)與獨(dú)立平衡方程數(shù)之差靜定問(wèn)題與靜定結(jié)構(gòu)靜定問(wèn)題與靜定結(jié)構(gòu)：未知力（內(nèi)力或外力）個(gè)數(shù)等于獨(dú)：未知力（內(nèi)力或外力）個(gè)數(shù)等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)立的平衡方程數(shù)靜不定問(wèn)題與靜不定結(jié)構(gòu)靜不定問(wèn)題與靜不定結(jié)構(gòu)：未知力個(gè)數(shù)多于獨(dú)立的平衡方：未知力個(gè)數(shù)多于獨(dú)立的平衡方程數(shù)程數(shù)多余約束多余約束：保持結(jié)構(gòu)靜定：保持結(jié)構(gòu)靜定多余的約束多余的約束 6.6 6.6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 1. 基本概念基本概念B Alq2. 求解靜不定問(wèn)題，需要以下三方面的聯(lián)立。求解靜不定問(wèn)題，需要以下三方面的聯(lián)立。 物理方程物理方程（或稱（或稱本構(gòu)方程本構(gòu)方程）：建立的力與位

35、移或變）：建立的力與位移或變形之間的關(guān)系。形之間的關(guān)系。 變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程（或稱為（或稱為幾何方程幾何方程）：根據(jù)多余約束）：根據(jù)多余約束對(duì)位移或變形的限制，建立的各部分位移或變形之間對(duì)位移或變形的限制，建立的各部分位移或變形之間的幾何關(guān)系。的幾何關(guān)系。 平衡方程平衡方程。 6.6 6.6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 求：求：梁的約束力。梁的約束力。已知：已知：A端固定、端固定、B端鉸支梁端鉸支梁的彎曲剛度為的彎曲剛度為EI，長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為l。 6.6 6.6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 B Alq解：解：1. 確定靜不定次數(shù)，并選擇基本靜定梁。確定靜不定次數(shù)，并選擇基本靜定梁。多余

36、約束的數(shù)目多余約束的數(shù)目=1 6.6 6.6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 ( (2)2)簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁( (1)1)懸臂梁懸臂梁 選擇合適的多余約束，選擇合適的多余約束，將其除去，使靜不定結(jié)構(gòu)變將其除去，使靜不定結(jié)構(gòu)變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)，在解除約束處為靜定結(jié)構(gòu)，在解除約束處代之以約束力。代之以約束力。化為靜定結(jié)構(gòu)的辦法：化為靜定結(jié)構(gòu)的辦法： 一般來(lái)說(shuō)，懸臂梁最為簡(jiǎn)單，其次是簡(jiǎn)支梁，最后為外一般來(lái)說(shuō)，懸臂梁最為簡(jiǎn)單，其次是簡(jiǎn)支梁，最后為外伸梁。伸梁。 B AlqBl AqBl AqBFAM 例題例題72. 列出列出變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程（幾何方程）。（幾何方程）。 根據(jù)基本靜定梁的一根據(jù)基本靜定梁的一

37、切情況要與原超靜定梁完切情況要與原超靜定梁完全相同的要求，得到變形全相同的要求，得到變形協(xié)調(diào)條件。協(xié)調(diào)條件。0Bw0A 6.6 6.6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 B AlqBl AqBFBl AqAM 例題例題7( (1)1)懸臂梁：懸臂梁：3. 根據(jù)根據(jù)物理方程物理方程（用積分法或疊加法求變形），列出補(bǔ)充（用積分法或疊加法求變形），列出補(bǔ)充方程，并求出多余未知力。方程，并求出多余未知力。僅有僅有作用，作用，B點(diǎn)撓度為：點(diǎn)撓度為：EIqlwBq84僅有僅有 作用，作用，B點(diǎn)撓度為：點(diǎn)撓度為：BFEIlFwBBF33因此因此BqBFBwwwEIql84EIlFB330解得：解得：)(83ql

38、FB 6.6 6.6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 Bl AqBF 例題例題70Bw4. 根據(jù)根據(jù)平衡方程平衡方程在基本靜定梁上求出其余的約束力。在基本靜定梁上求出其余的約束力。0 xF, 0AxF0yF),(85qlFAy0AM281qlMA（ ） 6.6 6.6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 ( (1)1)懸臂梁：懸臂梁：Bl AqBFAxFAyFAM 例題例題7(+)QF(-)ql85ql83l85M281ql21289ql因此因此2max81qlMqlFQ85maxqlFQmax2max21qlM5. 在基本靜定梁上按照靜定梁的方法求解內(nèi)力、應(yīng)力和變形。在基本靜定梁上按照靜定梁的方法求

39、解內(nèi)力、應(yīng)力和變形。 6.6 6.6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 Bl AqBFAxFAyFAM 例題例題7Bl Aq處理具體問(wèn)題時(shí)的注意點(diǎn)處理具體問(wèn)題時(shí)的注意點(diǎn) 確定靜不定次數(shù)，并選擇基本靜定梁。確定靜不定次數(shù)，并選擇基本靜定梁。 列出列出變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程。 根據(jù)根據(jù)物理方程物理方程（用積分法或疊加法求變形），列出補(bǔ)充（用積分法或疊加法求變形），列出補(bǔ)充 方程，并求出多余未知力。方程，并求出多余未知力。 根據(jù)根據(jù)平衡方程平衡方程在基本靜定梁上求出其余的約束反力。在基本靜定梁上求出其余的約束反力。 在基本靜定梁上按照靜定梁的方法求解內(nèi)力、應(yīng)力和變形。在基本靜定梁上按照靜定梁的方法求解

40、內(nèi)力、應(yīng)力和變形。力法：力法：以力作為未知量以力作為未知量, ,將位移表示為力的形式，從而求將位移表示為力的形式，從而求解未知力，進(jìn)而求解位移的方法。解未知力，進(jìn)而求解位移的方法。B Alq梁梁AB和和BC在在B處鉸接，處鉸接，A、C兩端固定，梁的抗彎剛兩端固定，梁的抗彎剛度均為度均為EI，F(xiàn) = 40kN= 40kN，q = = 20kN/m20kN/m。畫(huà)梁的剪力圖和。畫(huà)梁的剪力圖和彎矩圖。彎矩圖。 6.6 6.6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 解：解：、從、從B 處拆開(kāi)，使超靜定結(jié)構(gòu)處拆開(kāi)，使超靜定結(jié)構(gòu)變成兩個(gè)懸臂梁。變成兩個(gè)懸臂梁。、變形協(xié)調(diào)方程為：、變形協(xié)調(diào)方程為：21BBwwFBw

41、B1 FBwB2、物理方程、物理方程EIFEIqwBB3484341EIFEIFEIFwBB34222323232 6.6 6.6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 例題例題8kN75. 8BF代入變形協(xié)調(diào)方程：代入變形協(xié)調(diào)方程：EIFEIFEIFEIFEIqBB3422232348432334、平衡方程確定、平衡方程確定A端和端和C端約束力端約束力04, 0qFFFBAykN25.71AF0424, 0BAAFqMMmkN125AM 6.6 6.6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 例題例題8FBwB1 FBwB20, 0FFFFCBykN75.48CF042, 0BCCFFMMkN.m115CMA

42、、B 端約束力已求出端約束力已求出、最后作梁的剪力圖和彎矩圖、最后作梁的剪力圖和彎矩圖)( )( 25.7175. 875.48kNQF)(kN25.71AF)kN(75.48CF)(mkN125AM)m(kN115CM 6.6 6.6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 例題例題8)( 1251155 .17)mkN(M)( 914. 1課外作業(yè)P168169：62 (c) ，64，65，66 (a) P170171：610 ，611補(bǔ)充習(xí)題補(bǔ)充習(xí)題1，*補(bǔ)充習(xí)題補(bǔ)充習(xí)題2*P323：1217Nanjing University of Technology作業(yè)中存在的問(wèn)題作業(yè)中存在的問(wèn)題2、看清題

43、意。、看清題意。1、地面、固定接觸面的畫(huà)法。、地面、固定接觸面的畫(huà)法。3、靜不定解題，一定要畫(huà)出基本的靜定結(jié)構(gòu)圖。、靜不定解題，一定要畫(huà)出基本的靜定結(jié)構(gòu)圖。附錄：附錄： 第第6 6章章習(xí)題解答習(xí)題解答62 試寫(xiě)出積分法求圖示各梁撓度曲線試寫(xiě)出積分法求圖示各梁撓度曲線時(shí)時(shí)，確定積分常數(shù)的，確定積分常數(shù)的約束條件和連續(xù)約束條件和連續(xù)條件條件。附錄：附錄： 第第6 6章章習(xí)題解答習(xí)題解答6 62 2(c)解：解：1. 1. 確定約束條件確定約束條件0, 0AwxBBx, 2BBwwx, 2EAlFBCNBC2294149dEqdEq6 64 464 具有中間鉸的梁受力如圖所示。試具有中間鉸的梁受力如

44、圖所示。試畫(huà)出畫(huà)出撓度曲線的大致形狀，并說(shuō)明需要撓度曲線的大致形狀，并說(shuō)明需要分幾段建立小撓度微分方程，積分常數(shù)有幾個(gè)，確定積分常數(shù)的條件是什么。分幾段建立小撓度微分方程，積分常數(shù)有幾個(gè)，確定積分常數(shù)的條件是什么。解：解：1. 1. 需要分三段建立小撓度需要分三段建立小撓度微分方程，積分常數(shù)有微分方程，積分常數(shù)有6 6個(gè)。個(gè)。0, 0, 0AAwxBBwwlx,CCCCwwlx,20EIxMdxwd)(222. 2. 確定約束條件確定約束條件3. 3. 撓曲線如圖所示撓曲線如圖所示附錄：附錄： 第第6 6章章習(xí)題解答習(xí)題解答6 65 565 試用積分法求圖示懸臂梁的撓曲線方程及自由端的撓度和轉(zhuǎn)

45、角。設(shè)試用積分法求圖示懸臂梁的撓曲線方程及自由端的撓度和轉(zhuǎn)角。設(shè)EI=常量。常量。附錄：附錄： 第第6 6章章習(xí)題解答習(xí)題解答解：解：1. 建立彎矩方程（圖略）建立彎矩方程（圖略）AC： )0(,eaxMxM1eCxMEI112e21DxCxMEIwBC： )(, 0lxaxM2. 分段建立小撓度微分方程分段建立小撓度微分方程AC：eMwEI BC：0 wEI積分，得積分，得2CEI22DxCEIw3. 由約束條件由約束條件;,; 0, 0, 0212111wwaxwx代入小撓度微代入小撓度微分方程，解得分方程，解得2e2e21121; 0aMDaMCDC4. 求得撓度方程和轉(zhuǎn)角方程求得撓度方

46、程和轉(zhuǎn)角方程AC： EIxMxwEIxMx2;2e1e1BC： 2;e2e2axEIaMxwEIaMx2;eealEIaMwEIaMBB66 試用疊加法求下列各梁中截面試用疊加法求下列各梁中截面A的撓度和截面的撓度和截面B的轉(zhuǎn)角。圖中的轉(zhuǎn)角。圖中q、l、EI等為已知。等為已知。6 66 6(a)解：解：1. .將梁上的荷載變?yōu)閮煞N簡(jiǎn)單的情形。將梁上的荷載變?yōu)閮煞N簡(jiǎn)單的情形。qql2/22. 根據(jù)撓度表查得簡(jiǎn)單荷載作用時(shí)的根據(jù)撓度表查得簡(jiǎn)單荷載作用時(shí)的結(jié)果，并應(yīng)用疊加法分別疊加。結(jié)果，并應(yīng)用疊加法分別疊加。 21AAAwwwEIlqlllllEIlq222246224222222EIqlEIql

47、EIql384716384174442121ABBBBEIlqlEIql22623EIqlEIqlEIql1246333附錄：附錄： 第第6 6章章習(xí)題解答習(xí)題解答610 圖示一端外伸的軸在飛輪重量作用下發(fā)生變形，已知飛輪重圖示一端外伸的軸在飛輪重量作用下發(fā)生變形，已知飛輪重W20 kN，軸材料的軸材料的E200 GPa，軸承，軸承B處的許用轉(zhuǎn)角處的許用轉(zhuǎn)角 =0.5。試設(shè)計(jì)軸的直徑。試設(shè)計(jì)軸的直徑。6 61010解：解：1查撓度表確定查撓度表確定B處的轉(zhuǎn)角處的轉(zhuǎn)角 EIalFB3PEIWalEIalFB33P1805 . 064102003211020493d2由剛度條件由剛度條件解得解得 mm112m112. 0d附錄：附錄： 第第6 6章章習(xí)題解答習(xí)題解答6 61111611 圖示承受均布載荷的簡(jiǎn)支梁由圖示承受均布載荷的簡(jiǎn)支梁由兩根兩根豎向放置的普通槽鋼組成。已知豎向放置的普通槽鋼組成。已知q10 kN/m，l =4 m，材料的，材料的s s =100 MPa，許用撓度，許用撓度w=ll 000，E=200 GPa。試確定槽鋼型號(hào)。試確定槽鋼型號(hào)。解：解：1. 1. 由強(qiáng)度條件由強(qiáng)度條件( (彎矩圖略彎矩圖略) )334cm200m102W ssWMmaxmax2. 2. 由剛度條件由剛度條件 wwmax623210100410108181WWqlEIqlw