信息光學(xué)-1.2脈沖函數(shù)1.3卷積1.4相關(guān)

1、1.2 d d -Function 一、定義一、定義 fn(x)可以是Nrect(Nx), Nsinc(Nx), NGaus(Nx), 二維圓域函數(shù)等等. 物理系統(tǒng)已無法分辨更窄的函數(shù)-dxxx x1)( 0 , 0)( dd定義1.定義2. 基于函數(shù)系列的極限)( )( lim 1)( 0 ,0)( lim :nnnxxfdxxfx xfn-nd則若存在函數(shù)系列滿足:可描述:單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的密度,單位電量的點(diǎn)電荷的電荷密度,單位光通量的點(diǎn)光源的發(fā)光度,單位能量的無限窄電脈沖的瞬時功率等.0 xd (x)110 xd (x,y)yd -函數(shù)的圖示:定義3: 設(shè)任意函數(shù)f(x)在x = 0點(diǎn)連續(xù)

2、, 則-dxxxx x)0( )( )( 0 , 0)( ffddf(x)稱為檢驗(yàn)函數(shù).二、性質(zhì)二、性質(zhì)1. 篩選性質(zhì) sifting (由定義3直接可證) 設(shè)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù), 則)( )()( 00 xdxxxxfdf證明思路:二者對檢驗(yàn)函數(shù)在積分中的作用相同.)( 1)( xaaxdd推論: d (x)是偶函數(shù)2. 縮放性質(zhì) scaling通過此積分,可從f(x)中篩選出單一的f(x0)值.3. 乘積性質(zhì)設(shè)f (x)在x0點(diǎn)連續(xù), 則: f (x)d (x-x0) = f (x0)d (x-x0) 任意函數(shù)與d-函數(shù)的乘積,是幅度變化了的d-函數(shù)三、三、 d d -函數(shù)函數(shù) 的陣列的

3、陣列-梳狀函數(shù)梳狀函數(shù) comb(x)表示沿 x 軸分布、間隔為1的無窮多脈沖的系列.例如：不考慮縫寬度和總尺寸的線光柵.)( )(combnnxxd定義: n為整數(shù)梳狀函數(shù)與普通函數(shù)的乘積:)-( )()( )()(comb1)(nnnxnfnxxfxxfddf(x)0 x=x0 xcomb(x).0利用comb(x)可以對函數(shù)f(x)進(jìn)行等間距抽樣.xy二維梳狀函數(shù): comb(x,y)= comb(x) comb(y)1.3 卷積卷積 convolution一、概念的引入一、概念的引入物平面光軸上的單位脈沖在像平面產(chǎn)生的分布為h(x)像平面上的分布是物平面上各點(diǎn)產(chǎn)生的分布疊加以后的結(jié)果.

4、 需用卷積運(yùn)算來描述f(x)成像xx 0 x1f(x 1)h(x-x 1)x2f(x 2)h(x-x 2)f(0)h(x)x)()( ) () ()(xhxfdxhfxgxxx二、定義二、定義若f(x)與h(x)有界且可積, 定義xxxdxhfxhxfxg) () ( )()()(*: 卷積符號 g(x)是f(x)與h(x)兩個函數(shù)共同作用的結(jié)果.對于給定的x,第一個函數(shù)的貢獻(xiàn)是f(x),則第二個函數(shù)的貢獻(xiàn)是h(x- x).需要對任何可能的x求和. xxxddyxhfyxhyxfyxg ),(),(),(),(),(g(x)稱為函數(shù)f(x)與h(x)的卷積.二維函數(shù)的卷積:三、性質(zhì)1. 卷積滿

5、足交換律 Commutative Propertyf(x)*h(x) = h (x)* f (x) 2. 卷積滿足分配律 Distributive Propertyv(x) + w(x) * h(x) = v(x)* h (x) + w(x )* f (x) 3.卷積滿足結(jié)合律 Associative Property v(x) * w(x)*h(x) = v(x) * h(x) *w(x)= v(x)*w(x)* h(x)4. 卷積的位移不變性 Shift invariance 若f(x)*h(x) = g(x), 則 f(x- x0) * h(x) = g(x - x0) 或 f(x) *

6、 h(x - x0) = g(x - x0) 5. 卷積的縮放性質(zhì) Scaling 若f(x)*h(x) = g(x), 則 bxgbbxhbxf五、包含脈沖函數(shù)的卷積五、包含脈沖函數(shù)的卷積即任意函數(shù)與d(x) 卷積后不變)()()()()(xfdxfxxfxxdxd根據(jù) 1. d-函數(shù)是偶函數(shù), 2. d-函數(shù)的篩選性質(zhì), 有:任意函數(shù)與脈沖函數(shù)卷積的結(jié)果, 是將該函數(shù)平移到脈沖所在的位置. f(x)*d(x - x0) = f (x - x0) =*利用卷積的位移不變性可得:1.4 相關(guān)相關(guān) correlation信息處理中的重要運(yùn)算信息處理中的重要運(yùn)算一、互相關(guān)一、互相關(guān) cross c

7、orrelation考慮兩個復(fù)函數(shù)f(x)與g(x), 定義：作變量替換x+x =x , 則 ) () (*)()()(xxxdgxfxgxfxrfg(2)(1) 和 (2)兩個定義式是完全等價的.為函數(shù)f(x)與g(x)的互相關(guān)函數(shù).(1)xxxdxgfxgxfxrfg)()(*)()()(互相關(guān)是兩個函數(shù)間存在相似性的量度.與卷積的關(guān)系與卷積的關(guān)系由(2)式易見：(3)(*)()()(*)(xfxgdgxfxrfgxxx 1. 當(dāng)且僅當(dāng)f*(-x)=f(x) f(x)是厄米的, 相關(guān)才和卷積相同. 一般情況下,相關(guān)運(yùn)算與卷積是不同的運(yùn)算.2. 互相關(guān)不滿足交換律rfg(x)=f(x) g(x) g(x) f(x) = rgf (x)相關(guān)計(jì)算要嚴(yán)格注意兩個函數(shù)的順序,以及哪個函數(shù)取復(fù)共軛.二、自相