第三章 計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學描述5(脈沖傳遞函數(shù)矩陣)

1、3.8 脈沖傳遞函數(shù)矩陣脈沖傳遞函數(shù)矩陣在第在第1 1節(jié)中，我們已經(jīng)討論過用脈沖傳遞函數(shù)來描述單節(jié)中，我們已經(jīng)討論過用脈沖傳遞函數(shù)來描述單輸入單輸出的離散系統(tǒng)。脈沖傳遞函數(shù)矩陣的概念是脈沖輸入單輸出的離散系統(tǒng)。脈沖傳遞函數(shù)矩陣的概念是脈沖傳遞函數(shù)的推廣，用脈沖傳遞函數(shù)矩陣可以描述傳遞函數(shù)的推廣，用脈沖傳遞函數(shù)矩陣可以描述多輸入多多輸入多輸出輸出的離散系統(tǒng)。的離散系統(tǒng)。本節(jié)首先討論由離散狀態(tài)方程和輸出方程求多輸入多輸本節(jié)首先討論由離散狀態(tài)方程和輸出方程求多輸入多輸出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)矩陣，然后討論權(quán)序列矩陣，最后出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)矩陣，然后討論權(quán)序列矩陣，最后討論脈沖傳遞函數(shù)矩陣的相似變換。討

2、論脈沖傳遞函數(shù)矩陣的相似變換。1、脈沖傳遞函數(shù)矩陣對 r 個輸入和 m 個輸出的線性定常離散狀態(tài)方程可表示為 (3.160) (3.161)(1)( )( )kkkxGxHu( )( )( )kkkyCxDu對方程式（對方程式（3.1603.160）和（）和（3.1613.161）進行）進行Z Z變換，可得變換，可得 ( )(0)( )( )zzzz zXxGXHU( )( )( )zzzYCXDU當系統(tǒng)的初始狀態(tài)為靜止（即當系統(tǒng)的初始狀態(tài)為靜止（即 ）的條件）的條件下，得下，得 (3.162)(3.162)和和 (3.163)(3.163)其中其中 (3.164)(3.164)稱為脈沖傳遞函

3、數(shù)矩陣稱為脈沖傳遞函數(shù)矩陣 。它是一個。它是一個 維維矩陣，反映了多輸入多輸出離散系統(tǒng)的動態(tài)特征。矩陣，反映了多輸入多輸出離散系統(tǒng)的動態(tài)特征。1( ) ()( )zzzXI G HU1( ) () ( )zzzYCIGHD U( ) ( )zz FU1( )()zzFC I G H Dm r(0)0 x( ) zF因為矩陣因為矩陣 的逆陣可表示為的逆陣可表示為所以，所以， 脈沖傳遞函數(shù)矩陣可寫成脈沖傳遞函數(shù)矩陣可寫成 (3.165)(3.165)顯然，顯然， 的極點就是的極點就是 =0=0的零點。的零點。()z IG1adj()()|zzzIGIGIG( )F zadj()( )|zCzIG

4、HFDzIG( ) zF|z I G離散系統(tǒng)的特征方程式為離散系統(tǒng)的特征方程式為 (3.166)(3.166)或或 (3.167)(3.167)其中系數(shù)其中系數(shù) 與矩陣與矩陣 的各元素有關。的各元素有關。121210nnnnnzazaza z aiaG0zIG如果如果 個輸入端同時加上輸入信號的個輸入端同時加上輸入信號的z z變變換換 ，那么在第那么在第 個輸出端上的響應所對應的個輸出端上的響應所對應的z z變換式為變換式為 (3.170)(3.170)其中其中 的物理意義是，當系統(tǒng)的初始狀態(tài)為靜止的條的物理意義是，當系統(tǒng)的初始狀態(tài)為靜止的條件下，在第件下，在第 個輸入端施加一串單位脈沖個輸入

5、端施加一串單位脈沖 ，那末在，那末在第第 個輸出端上響應所對應的個輸出端上響應所對應的Z Z變換式就是變換式就是 。r12( ), ( ), , ( )rzzzUUU1( )( )( ) 1,2,riijjjzzzimYFUijFj( )kiijF (3.169)2、權(quán)序列矩陣、權(quán)序列矩陣將方程式（將方程式（3.1633.163）改寫為）改寫為1111211221222212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )rrmmmmrrY zFzFzFzUzYzFzFzFzUzYzFzFzFzUz i因為 可以展開為無窮級數(shù)，即 (3.171)將（3

6、.171）式代入（3.164）式中，得 (3.172)那么 (3.173)稱為權(quán)序列矩陣。 1()zIG11223()zIGIzGzG z122312231( ) kkzzFC I zGzGHDDCHzCGHzCG HzCGHz1()()kZFFz它的物理意義是，當系統(tǒng)的初始狀態(tài)為靜止的條件下，在它的物理意義是，當系統(tǒng)的初始狀態(tài)為靜止的條件下，在各輸入端各輸入端同時施加同時施加一串單位脈沖一串單位脈沖 ，那么系統(tǒng)的響應矩，那么系統(tǒng)的響應矩陣就是陣就是權(quán)序列矩陣權(quán)序列矩陣?？梢姡瑱?quán)序列矩陣的概念是單輸入單?？梢?，權(quán)序列矩陣的概念是單輸入單輸出系統(tǒng)的權(quán)序列輸出系統(tǒng)的權(quán)序列 的推廣。的推廣。( )

7、k( )g k參照參照Z Z變換的定義，變換的定義， 可寫成可寫成 (3.174)(3.174)( ) zF0()()kkzkzFF12(0)(1)(2)( )kzzk zFFFF比較式（比較式（3.1743.174）和式（）和式（3.1723.172）中）中 的的各項的系數(shù)，可得權(quán)序列矩陣為各項的系數(shù)，可得權(quán)序列矩陣為(0,1,2,)kzk1( 0 )(1 )( 2 )()kFDkFC HFC G HFC GH因此，權(quán)序列矩陣可寫成因此，權(quán)序列矩陣可寫成 (3.175)(3.175)10 0() 0 1, 2, 3,kkkkkFDC GH由方程式（3.163）可見，輸出信號 可以表示為權(quán)序列

8、矩陣和輸入信號的z變換的卷積和，即 (3.176)( )y k0( )() ( )kjkkjjyFu0,1,2,k例例3.11 3.11 求下述離散狀態(tài)方程和輸出方程的脈沖傳求下述離散狀態(tài)方程和輸出方程的脈沖傳遞函數(shù)矩陣和權(quán)序列矩陣遞函數(shù)矩陣和權(quán)序列矩陣11221122(1)( )010( )(1)( )0.1611( )( )11( )( )01xkxkkxkxkykxkykxku解：由方程式（解：由方程式（3.1643.164），得），得1( )()F zC zI GH D111100010.1611041111130.230.8010.810.5130.230.85151030.230.

9、8 1141130.230.8 zzzzzzzzzz411130.230.8114130.230.8 zzzz( )F z對 進行z反變換，可得權(quán)序列矩陣為1111141( 0.2)( 0.8)33( ) ( ) 1,2,14( 0.2)( 0.8)33kkkkkZkFF z或，由方程式（或，由方程式（3.1753.175），得），得1() 1, 2, 3,kkkFC GH因為因為 11()kZGzIGz4155( 0.2)( 0.8) ( 0.2)( 0.8)33330.80.814( 0.2)( 0.8) ( 0.2)( 0.8)3333kkkkkkkk所以所以11111111111141

10、(0.2)(0.8)1133()010.80.8(0.2)(0.8)3355(0.2)(0.8)033 141(0.2)(0.8)3341(0.2)(0.8)33 14(0.2)(0.8)33kkkkkkkkkkkkFk 1, 2, 3,k3、脈沖傳遞函數(shù)矩陣的不變性、脈沖傳遞函數(shù)矩陣的不變性對方程式（對方程式（3.1603.160）和）和(3.161)(3.161)所示的離散狀態(tài)方程進行所示的離散狀態(tài)方程進行線性非奇異變換線性非奇異變換時，脈沖傳遞函數(shù)矩陣是不變的。時，脈沖傳遞函數(shù)矩陣是不變的。1- 1 PG PGPHHC P=CD=D令 其中 P 為 nxn 非奇異矩陣，得 (3.177) (3.178)其中 G,H,C,D 與 、 、 、 有下述關系()()kkxPx(1)( )( )x kkkGxHu( )( )( )kkkyCxDuGHCD由（由（3.1603.160）式可見，當系統(tǒng)的狀態(tài)方程進行線性變換時，）式可見，當系統(tǒng)的狀態(tài)方程進行線性變換時，也就是說，取不同的狀態(tài)變量也就是說，取不同的狀態(tài)變量 時，系統(tǒng)的脈沖傳遞時，系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)矩陣是不變的。函數(shù)矩陣是不變的。 ( )x k還可以證明，當系統(tǒng)的狀態(tài)方程進行線性變換時，特征方還可以