Chap2隨機變量的分布與數(shù)字特征(2)

1、定義在概率空間 上的實值函數(shù) 稱為 上的一個隨機變量.),(P)()(XX),(P第二章 隨機變量的分布與數(shù)字特征)(XR 觀察股市今天收盤價，記相對于昨天收盤價的漲跌情形為隨機變量觀察股市今天收盤價，記相對于昨天收盤價的漲跌情形為隨機變量X X，則則X X作為樣本空作為樣本空間間 上的函數(shù)可以定義為上的函數(shù)可以定義為 漲,平,跌( )X1,0,1,漲 ,平 ,跌 .Remark：引入隨機變量的引入隨機變量的意義意義 隨機變量建立了隨機事件與隨機變量建立了隨機事件與數(shù)量數(shù)量的對應的對應關系，使得我們可以用關系，使得我們可以用數(shù)學的語言數(shù)學的語言去描述去描述隨機現(xiàn)象，從而能夠用隨機現(xiàn)象，從而能夠

2、用數(shù)學的方法數(shù)學的方法研究隨研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性. .隨機變量隨機變量: : 隨機事件隨機事件數(shù)量數(shù)量對應對應描述描述u 隨機事件的數(shù)量表示 RI I的原像的原像 為為 的子的子集，其為集，其為 上的隨機事件上的隨機事件. .將由形如將由形如 的事件及這些事件的可數(shù)并，的事件及這些事件的可數(shù)并，交，補，稱為由交，補，稱為由X生成的事件生成的事件. .,II R R|()XI (,)P XI 簡記簡記 X: 一次投擲中硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)，則一次投擲中硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)，則1X 硬幣出現(xiàn)正面 ，0 .X 硬幣出現(xiàn)反面 X: 明天商店到達的顧客數(shù)，則明天商店到達的顧客數(shù)，則.X

3、nn 到達顧客數(shù)超過 人 X: 電子元件使用壽命電子元件使用壽命 (單位單位:小時小時)，則，則.sXtst 元件壽命超過 小時但不超過 小時u 隨機變量與一般函數(shù)的隨機變量與一般函數(shù)的差別差別隨機變量隨機變量: :R以一定概率以一定概率一般函數(shù)一般函數(shù): :確定地確定地RR設 為 上的隨機變量，若 的值域有限或可數(shù)，則稱 為離散型隨機變量.X),(PXX設 為離散型隨機變量，其全部可能取值為 記 為 的概率分布. 亦可記為 .X,21xx,)(iixXPxpip)(ixpX,2, 1i概率分布 可用概率分布表表示，如下：)(ixp.2121iipppPxxxX二.離散型隨機變量的概率分布三.

4、分布函數(shù)u 引入分布函數(shù)的動機引入分布函數(shù)的動機: : 對于離散型隨機變量對于離散型隨機變量, ,概率分布已將其統(tǒng)計規(guī)律描述得一概率分布已將其統(tǒng)計規(guī)律描述得一清二楚清二楚. .但是但是, ,對于值域不可數(shù)的隨機變量對于值域不可數(shù)的隨機變量, ,會有如下困難：會有如下困難：（1 1）取值無法列舉）取值無法列舉, ,（2 2）在某點取值的概率一般為）在某點取值的概率一般為0.0. 在一般情況下在一般情況下, ,對于取值不可數(shù)的隨機變量對于取值不可數(shù)的隨機變量, ,我們更關心其我們更關心其在某一區(qū)域取值的概率在某一區(qū)域取值的概率, ,如燈泡壽命大于某個值的概率如燈泡壽命大于某個值的概率, ,某地區(qū)某

5、地區(qū)某年齡段兒童身高在某年齡段兒童身高在1-1.21-1.2米范圍內的概率等米范圍內的概率等. .,().P Xx 為給出隨機變量X在任意區(qū)間上的概率 僅需給出形如的概率13( )F x 的幾何意義：xXRemarkRemark：(1)(1)分布函數(shù)適合描述分布函數(shù)適合描述任意任意隨機變量隨機變量; ;(2)(2)分布函數(shù)分布函數(shù)完全地完全地刻畫隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性刻畫隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性. .u 分布函數(shù)性質分布函數(shù)性質1.單調性：; )()(2121xFxFxx2.規(guī)范性：; 1)(lim)(, 0)(lim)(xFFxFFxx3.右連續(xù)性：. )()(lim)0(xFtFxFxt Rem

6、ark: (1) (1) 上面三條性質可作為分布函數(shù)的公理化定義條件上面三條性質可作為分布函數(shù)的公理化定義條件. .(2) (2) 反之，反之， 附：右連續(xù)性的證明附：右連續(xù)性的證明1)1(nnxXP由 的有界性及單調性, 存在.)(limtFxt)(xF1lim)1(lim)(limnxXPnxFtFnnxt（概率的上連續(xù)性）xXP. )(xFu 其他性質：其他性質：1.分布函數(shù)無左連續(xù)性;.2xXPxXPxXP. )0()(xFxF)(lim)(tFxFxt特別,PX=a=0的充要條件是a是F(x)的連續(xù)點.分布函數(shù)圖像xxxF(x)F(x)F(x)111000設 的概率分布為（其中）X.

7、2121iipppPxxxX21xx則 的分布函數(shù)X)(xXPxF.21kpppkxXP（ 滿足）k1kkxxx四.離散型隨機變量的分布函數(shù)離散型分布函數(shù)的圖像1x2x3x4x1p2p3p5x4pxyo1可見， 為離散型隨機變量當且僅當 的分布函數(shù) 為階梯型函數(shù).XX)(xF且的取值點恰為 的間斷點，且X)(xF,)0()(iiiixFxFxXPp當然，亦可表為.)0()(xFxFxXP五.連續(xù)型隨機變量及其概率密度u 密度函數(shù)的其它性質;)() 1 (badttfaXPbXPbXaP;0)()2(xxdttfxXP（3）在 的連續(xù)點，有)(xf; )()(xfxF)()4(xFX為連續(xù)型隨機

8、變量為連續(xù)函數(shù)；)(xF反之然否？不然！詳情請參閱概率論與數(shù)理統(tǒng)計-上冊p121,梁之舜等編著, 高等教育出版社.密度函數(shù)的圖像密度函數(shù)的圖像)(xFxabx)(xfo)(xfbXaPu 是否有既非離散型，亦非連續(xù)型的隨機變量？例：記.1,1,10,21,0,0)(xxxxxF可驗證 滿足分布函數(shù)的三條公理，故存在隨機變量 )(xF. )(xFX由 非階梯型，故 非離散型； )(xFX由 不連續(xù)，故 非連續(xù)型. )(xFXoxy121)(xF28解：解： 1( )f t dt1 ( )F xP Xx2 2 ()( )4.53P XkF kk3 使160329cdtdt23c13c010103

9、0 01 0131 13312 3639 1 6xxxdtxdtxdtdtxx0 03 011 3 13(23) /9 361 6xxxxxxx2()3P Xk， 01( )2 9 360 cxf xx其他 例：設例：設X X的概率密度為的概率密度為 (1)(1)求常數(shù)求常數(shù)c c的值；的值； (2) (2) 寫出寫出X X的分布函數(shù)；的分布函數(shù)； (3)(3)要使要使 求求k k的值的值. .u 本節(jié)小結:r.v. 概率特性概率特性分布函數(shù)分布函數(shù)統(tǒng)一統(tǒng)一離散型離散型: 概率分布概率分布連續(xù)型連續(xù)型: 密度函數(shù)密度函數(shù)其其 它它: 分布函數(shù)分布函數(shù)2.2 隨機變量的數(shù)字特征一. 離散型隨機變

10、量的數(shù)學期望則當則當1|iiipxX時時, , 稱稱 為為 的的數(shù)學期望數(shù)學期望, ,簡稱簡稱期望期望, , 或或均值均值, ,記作記作 , , 或或1iiipx)(XE.EX.2121iipppPxxxX定義2.6 設設 為離散型隨機變量為離散型隨機變量, ,其概率分布為其概率分布為: :X 條件 是為了保證 任意重排后仍收斂.,|1iiipx1iiipx二.連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望離散型離散型:.)(1iiipxXE連續(xù)型連續(xù)型:.)()(dxxxfXE?則當則當dxxfx)(|時時, ,稱稱 為為 的的數(shù)學期望數(shù)學期望, ,簡稱簡稱期望期望, ,或或均值均值, ,記作記作X., )(EX

11、XE 設設 為連續(xù)型隨機變量為連續(xù)型隨機變量, ,其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為X. )(xfdxxfx)( 無論什么類型的隨機變量無論什么類型的隨機變量, , 其數(shù)學期其數(shù)學期望均可表為望均可表為: :.)(xFdx三.隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望設設 為隨機變量，為隨機變量， 為實函數(shù)為實函數(shù), , 則則亦為隨機變量亦為隨機變量, , 稱為稱為隨機變量函數(shù)隨機變量函數(shù). .X)(xg)(XgY 設隨機變量設隨機變量 為實函數(shù)為實函數(shù), ,若若 則則 的期望存在的期望存在, ,且且)(, )(xgxFX,)(| )(|xFdxg)(Xg. )()()(xFdxgXgEX特別地特別地, ,若若 為離散型隨

12、機變量為離散型隨機變量, ,X;)()(1iiipxgXgE若若 為連續(xù)型隨機變量為連續(xù)型隨機變量, ,.)()()(xdxfxgXgE設 為任意的隨機變量函數(shù)， 存在，則)(, )(21XgXg)(, )(21XgEXgE,lk. )()()()(2121XgElXgEkXglXgkE特別地，取 有,1)(,)(21XgXXg;)(lEXklXkE再取有,0, 1lX.kkE. )()()()(222XhEXgEXhXgE四.數(shù)學期望的性質五.隨機變量的方差設設 為隨機變量為隨機變量, ,其數(shù)學期望其數(shù)學期望 存在存在, ,則稱則稱為為 的的離差離差. . 若若 存在存在, ,則稱則稱之為之

13、為 的的方差方差(Variance), (Variance), 記為記為 或或 而而 稱為稱為 的的標準差標準差. .XEXEXX X2)(EXXEX, )(XD,DX,XVarDXX方差描述的是隨機變量方差描述的是隨機變量 對于其中心對于其中心 的平均偏離程度的平均偏離程度, ,通?？捎靡院饬匡L險程度通常可用以衡量風險程度. .XEX方差討論的是偏離程度的平方方差討論的是偏離程度的平方, , 免不了免不了對偏差有所夸大；但較之于絕對離差對偏差有所夸大；但較之于絕對離差 方差更便于用微積分進行研究方差更便于用微積分進行研究. ., |EXXEu 方差的性質2.;)()(222EXEXEXXED

14、X1.;)()(2xFdEXxDX特別地,對于離散型隨機變量,;)(12iiipEXxDX對于連續(xù)型隨機變量,;)()(2xdxfEXxDX3.;0aD4.;)(DXaXD5.;)(2DXaXaD6.有唯一最小值, 且當 時, 取得最小值為 即 的最優(yōu)估計為2)()(cXEcl,DXEXc )(cl.EXX六.隨機變量的矩證證: Th.2.3中中, 令令 h(X)=|X|k, 再以再以 k 代替定理中的代替定理中的 即可即可.證證: Th.2.3中中, 令令h(X)=|X-EX|2, 再以再以 2 代替定理中的代替定理中的 即可即可.2.3 常用的離散型分布xaop1一.退化分布（單點分布）（

15、單點分布）概率分布：概率分布：1 aXP期望：期望：aEX方差：方差：0DX期望：期望：pEX方差：方差：pqDX概率分布：概率分布：.1,0,qpqppqPX10此時稱此時稱 服從服從參數(shù)為 的0-1分布. XppX注注: : 稱為稱為參數(shù)為 的Bernoulli隨機變量.二. 兩點分布(01 分布)x1oppqRemark: Remark: 兩點分布通常用于描述只有兩種情形的隨機事件，如：“賭博中輸與贏”, “抽簽的中與不中”, “設備的好與壞”, “民意測驗中的贊成與反對”等，即用“X=1”來表示“贏”,“中”,“好”,“贊成”等,而用“X=0”來表示“輸”,“不中”,壞”,“不贊成”等

16、. 三.n點均勻分布(古典概型)x1xopn12xnx期望：期望：xxnEXdefnii 11方差：方差：概率分布：概率分布：nnnPxxxXn11121niixxnDX12)(1四.二項分布( (Bernoulli 概型) )Binomial Distribution RecallRecall：在在 重重BernoulliBernoulli試驗中試驗中, , 記記表示事件表示事件 發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù), ,nXA.10,)(ppAP則則 （* *）, 1 , 0,)1 (nkppCkXPknkkn亦可記為亦可記為,),;(pnkbkXP一般地一般地, , 若隨機變量若隨機變量 的概率分布由（

17、的概率分布由（* *）給出給出, , 則稱則稱 服從服從參數(shù)為參數(shù)為 的二項分布的二項分布, ,記為記為XX.),(pnbXpn,Figure10n3.0p7.0pk),;(pnkb109876543210u 二項分布的數(shù)字特征期望：期望：npEX方差：方差：npqDXu 二項分布的計算ExcelExcel函數(shù)：函數(shù)：BINOMDIST(k,n,p,0/1).BINOMDIST(k,n,p,0/1).BINOMDIST(k,n,p,BINOMDIST(k,n,p,0 0)=)=BINOMDIST(k,n,p,BINOMDIST(k,n,p,1 1)=)= (1);kkn knC pp0(1).

18、kiin iniC pp例例 ( (人壽保險問題人壽保險問題) )有有2000個同一年齡的人購買了某個同一年齡的人購買了某保險公司的人壽保險保險公司的人壽保險. .每個投保人在每個投保人在1月月1日付出保費日付出保費800元元, ,如果投保人在當年死亡如果投保人在當年死亡, ,則保險公司必須向投則保險公司必須向投保人的家屬支付保人的家屬支付200000元的費用元的費用. .設在投保的當年每設在投保的當年每個投保人死亡的概率是個投保人死亡的概率是0.002. .求到了這一年的年底的求到了這一年的年底的時候保險公司虧本的概率時候保險公司虧本的概率p p1 1和保險公司獲利不少于和保險公司獲利不少于

19、400000元的概率元的概率p p2 2. . 五.幾何分布(Bernoulli 概型)Geometric DistributionRecallRecall：在獨立重復試驗中：在獨立重復試驗中, , 記記 表示直到事件表示直到事件 首次發(fā)生時的試驗次數(shù)首次發(fā)生時的試驗次數(shù), ,XA.10,)(ppAP則則（*）,2, 1,1kpqkXPk亦可記為亦可記為,),(pkgkXP一般地一般地, , 若隨機變量若隨機變量 的概率分布由（的概率分布由（* * *）給出給出, , 則稱則稱 服從服從參數(shù)為參數(shù)為 的幾何分布的幾何分布. .XXp Figure3.0p7.0pk),(pkgu 幾何分布的數(shù)字

20、特征u 幾何分布的無記憶性Remark: 反之，具有無記憶性的離散型隨機反之，具有無記憶性的離散型隨機變量，必服從幾何分布。變量，必服從幾何分布。證：證： 設設X具有無記憶性具有無記憶性, 記記 qk=P(Xk).則則 qm+n= qm qn，由此得，由此得 qk=q1k= qk ,于是于是P(X=k)=P(Xk-1)-P(Xk)= qk-1 qk=pqk-1 ,即即X為幾何分布。為幾何分布。六.超幾何分布（無放回抽樣） Hypergeometric Distribution設袋中有 個球，其中白球 個，黑球 個，任取 個，記 表示抽到的白球數(shù)目，則 1N2N.21NNNnNX., 1 ,02

21、1nkCCCkXPnNknNkN一般地，若隨機變量 的概率分布由上式給出，則稱 服從超幾何分布.XXExcel函數(shù)：HYPGEOMDIST().NNnk,1超幾何分布的數(shù)字特征與極限分布期望：NNnEX1方差：)1()(221NNnNNNnDX若,lim1pNNN則.)1(lim21knkknnNknNkNNppCCCC可見，超幾何分布分布的極限分布為二項分布，即當樣本容量足夠大時，無放回抽樣可近似于有放回抽樣.七.泊松分布 Poisson Distribution9876543210kkXP5.35.122020(1)!kkkkkkEXkek kekekkk2222220(2)!kkkkee

22、eekk Poisson分布的數(shù)字特征ExcelExcel函數(shù)：函數(shù)：POISSON(POISSON( ). ).1/0,ku 泊松分布的計算POISSON( ,POISSON( ,0 0)=)=POISSON( ,POISSON( ,1 1)=)= 0.!ikiei, k;!kek, ku 二項分布的泊松近似表：二項分布與其泊松近似表：二項分布與其泊松近似=BINOMDIST(2,800,0.005,1)=0.2373690.2373690.005u Poisson 分布的應用在一定時間段內:n銀行收到的存款次數(shù); n保險公司收到的索賠單數(shù);n來到某公共設施的顧客數(shù);n發(fā)生的事故、錯誤、故障

23、及災害性事件數(shù)目;n放射物質放射出粒子的數(shù)目(著名的Rutherford等人利用云霧實驗室觀察鐳所發(fā)射出的 粒子數(shù)目試驗);2.4 常用的連續(xù)型分布稱一個隨機變量稱一個隨機變量 服從服從上的上的均勻均勻分布分布, ,記為記為 如果如果 的密度的密度函數(shù)為函數(shù)為X,ba, ,baUXX.,0,1)(otherwisebxaabxfx)(xfaboab1一.均勻分布(uniform distribution) 期望期望：2baEX方差方差：12)(2abDX分布函數(shù)：分布函數(shù)：u 均勻分布的分布函數(shù)和數(shù)字特征Example in Practice假定我們有興趣對一塊土地競標，而對手只有一個，價高者

24、得. 假設對手競標價 在10000美元至15000美元間服從均勻分布.1.若出價12000美元，則競標成功的概率有多大？2.若出價14000美元，則競標成功的概率有多大？X二.指數(shù)分布(exponential distribution) X則稱 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布, 記為)0(. )(eXX一個隨機變量 , 如果其密度函數(shù)為.0,0,0,)(xxexfx期望：期望：1EX方差：方差：21DXu 指數(shù)分布的分布函數(shù)和數(shù)字特征分布函數(shù)分布函數(shù): :x)(xfoFigure:Figure: 指數(shù)分布的密度函數(shù)指數(shù)分布的密度函數(shù)Figure:Figure: 指數(shù)分布的分布函數(shù)指數(shù)分布的分布函數(shù)Re

25、mark：指數(shù)分布的現(xiàn)實意義u 指數(shù)分布的無記憶性ExcelExcel函數(shù)：函數(shù)： EXPONDIST(EXPONDIST( ). ).1/0,xu 指數(shù)分布的計算EXPONDIST( ,EXPONDIST( ,0 0)=)=EXPONDIST( ,EXPONDIST( ,1 1)=)= 0.xtedt, x;xe, xExample in Practice(Internet Magazine ,2000.1 ) 對歐洲的網頁來說，ISP的下載時間平均大約為20秒. 假定下載一個網頁所需的時間服從指數(shù)分布.1.求一個網頁所需的下載時間少于10秒的概率；2.求一個網頁所需的下載時間多于30秒的概

26、率；3.求一個網頁所需的下載時間在10秒到30秒之間 的概率.三.正態(tài)分布（Normal Distribution）2期望：期望：;EX方差：方差：.2DXFigureFigurex)(xo21u 標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布u 正態(tài)分布的應用正態(tài)分布的應用正態(tài)分布是最重要的概率分布，有著非常廣泛的實際應用. 人的身高體重，智商能力，測量誤差(Gaussian Distribution),降雨量等等. 由中心極限定理，若某隨機變量是許多微小隨機因素作用的總后果，而且每一個因素的影響都很小，則該隨機變量近似地服從正態(tài)分布.1.1.正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)Remark: Remark: 不

27、能表示為顯式解析式.0( ),( )xxExcelExcel函數(shù)函數(shù)： NORMSDIST( x ), 反函數(shù)：反函數(shù)： NORMSINV( y ).2.2.標準正態(tài)分布表標準正態(tài)分布表1.若,0,),(2abaXYNX則. ),(22abaNY. )1 ,0(),(2NNX2.記稱為 的標準化，有,XX3.設 其分布函數(shù)記為 則, ),(2NX, )(x. )(1)(, )()(00 xxxx3.3.一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關系：一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關系：4.4.一般正態(tài)分布的概率計算一般正態(tài)分布的概率計算ExcelExcel函數(shù)：函數(shù)： NORMDIST(), 反函數(shù)：反函數(shù)： NORMINV().1/0,x,yExample in PracticeExample in Practice（US Airways Attache, 2000.9US Airways Attache, 2000.9）MensaMensa是國際高是國際高IQIQ成員組織，要想成為成員組織，要想成為MensaMensa會員，在會員，在