掌握函數(shù)的概念及表示方法

1、 1 掌握函數(shù)的概念及表示方法；掌握函數(shù)的概念及表示方法；2 理解函數(shù)的單調性、有界性、奇理解函數(shù)的單調性、有界性、奇 偶性、周期性等基本性質；偶性、周期性等基本性質；3 理解復合函數(shù)、反函數(shù)、基本初理解復合函數(shù)、反函數(shù)、基本初 等函數(shù)、初等函數(shù)等概念。等函數(shù)、初等函數(shù)等概念。 第一章第一章 實數(shù)集與函數(shù)實數(shù)集與函數(shù)教學目標教學目標：第一章第一章 實實數(shù)集與函數(shù)數(shù)集與函數(shù) 1 實實 數(shù)數(shù) 數(shù)學分析研究的對象是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，因此先敘述一下實數(shù)的有關概念 一一 實實數(shù)及其性數(shù)及其性質質： 回顧中學中關于有理數(shù)和無理數(shù)的定義. 有理數(shù)有理數(shù)：( ,0)p qqp能用互質分數(shù) 為整數(shù)，表示的數(shù)

2、；q有限十進小數(shù)或無限十進循環(huán)小數(shù)表示的數(shù) 若規(guī)定： 012012.(1)999nna a aaa a aa 則有限十進小數(shù)都能表示成無限循環(huán)小數(shù)。 例如： 001. 2 記為 999000. 2 ；0 記為 000. 0 ； 8 記為 999. 7 實實數(shù)數(shù)大大小小的的比比較較 定定義義 1 給定兩個非負實數(shù) nnbbbbyaaaax210210.,. 其中 kkba , 為非負整數(shù)，9,0kkba。若由 1） ,2,1,0,kbakk 則稱 x 與 y 相等，記為 yx 2） 若存在非負整數(shù) l，使得 ),2,1,0(,lkbakk，而11llba，則稱 x 大于 y （或 y 小于 x

3、），分別記為 yx （或xy ）。 規(guī)定任何非負實數(shù)大于任何負實數(shù)；對于負實數(shù)yx ,，若按定義1 有 yx，則稱 xy 實實數(shù)數(shù)的的有有理理數(shù)數(shù)近近似似表表示示 定定義義2 2 設設 naaaax210.為非負實數(shù)，稱有理數(shù) nnaaaax210. 為實數(shù) x的n位不足近似值，而有理數(shù) nnnxx101 稱為 x的n位過剩近似值。 對于負實數(shù) naaaax210. x的n位不足近似值規(guī)定為：nnnaaaax101.210； x的n位過剩近似值規(guī)定為：nnaaaax210. 比如 21.4142 ，則 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 稱為 2 的不不足足近近似似值值； 1.

4、5, 1.42, 1.415, 1.4143, 稱為 2 的過過剩剩近近似似值值。 命命題題 設 01201 2.,.xa aayb bb 為? 個實數(shù)，則 ,nnxynxy存在非負整數(shù)使得 例 1 設yx , 為實數(shù)，yx ，證明：存在有理數(shù) r 滿足 yrx 證明 由 yx 存在非負整數(shù) n ，使得 nnyx ，取 2nnyxr 則 r 顯然為有理數(shù)，且 yyrxxnn 實實數(shù)數(shù)的的一一些些主主要要性性質質 1 四則? 算封閉性: 2 三? 性( 即有序性 ): 任何兩個實數(shù) ba ,，必滿足下述三個關系之一： bababa, 3 實數(shù)大小由傳遞性，即,abbc則有 ac. 4 Achim

5、edes 性: . , , 0 ,bnanabbaNR 5 稠密性: 有理數(shù)和無理數(shù)的稠密性, 給出稠密性的定義. 6 實數(shù)集的幾何表示： 數(shù)軸: 例 , 0, .0, a b +ababab 二二. . 絕絕對對值值與與不不等等式式 絕對值定定義義： ,0| |,0aaaa a 從數(shù)軸上看的絕對值就是到原點的距離： a 0 -a 絕絕對對值值的的一一些些主主要要性性質質 | | | 00| | 0- ; | |,04.5. | | | | |6.,0| |aaaaaaaahh a hahh a h haba bababa baabbb 1.當且僅當時2. -| |3. | | 性質4（三角不

6、等式）的證明：性質4（三角不等式）的證明： 由性質2 -|a| a |a|, -|b| b |b|兩式相加 -(|a|+|b|) a+b |a|+|b|由性質 3 上式等價于 |a+b| |a|+|b|把上式的 b 換成 -b 得 |a-b| |a|+|b| 由此可推出 | )(|)(|)(|AxfAAxfAAxf 三三. 幾幾個個重重要要不不等等式式: （1） ,222abba . 1 sin x . sin xx （2）對,21Rnaaa 記 ,1 )(121niiniannaaaaM (算術平均值) ,)(1121nniinniaaaaaG (幾何平均值) .1111111)(1121n

7、iiniiniananaaanaH (調和平均值) 有有均均值值不不等等式式: ),( )( )(iiiaMaGaH等號當且僅當naaa21時成立. （3） Bernoulli 不不等等式式: (在中學已用數(shù)學歸納法證明過) 對,0 x 由二項展開式 23(1)(1)(2)(1)1,2!3!nnn nn nnxnxxxx 有: (1)nh 上式右端任何一項. abab 2 2 數(shù)數(shù)集集. . 確確界界原原理理 一一 區(qū)區(qū)間間與與鄰鄰域域: : 區(qū)區(qū)間間 ： ),(ba記作bxax, ba記作稱稱為為開開區(qū)區(qū)間間, , 稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)間間, , bxaxabab ao bxax,( ba記作稱

8、稱為為半半開開區(qū)區(qū)間間, , ),xaxa 無限區(qū)無限區(qū)間間xaooxb),xaxa),(bxxb),(xaaaxaaa二二 有有界界數(shù)數(shù)集集 . 確確界界原原理理: 1. 有有界界數(shù)數(shù)集集: 定義(上、 下有界, 有界) 設 S為實數(shù)R上的一個數(shù)集， 若存在一個數(shù)M （ L） , 使得對一切 Sx 都有 )(LxMx，則稱S為有上界(下界)的數(shù)集。 若集合S既有上界又有下界，則稱S為有界集。 例如，閉區(qū)間、( , ) ( ,a ba b為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，集合 ) , ( ,sin xxyyE 也是有界數(shù)集. 無無界界數(shù)數(shù)集集: 若對任意0M ，存在 , |xSxM，則稱S為無界

9、集。 例如，) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (，有理數(shù)集等都是無界數(shù)集, 例1 證明集合 ) 1 , 0 ( ,1 xxyyE是無界數(shù)集. 證明：對任意0M , 存在 11(0,1),11xyEyMMMx 由無界集定義，E為無界集。 確確界界，先給出確界的直觀定義：若數(shù)集 S 有上界，則顯然它有無窮多個上界，其中最小的一個上界我們稱它為數(shù)集 S 的上確界，記作 Ssup；同樣，有下界數(shù)集的最大下界，稱為該數(shù)集的下確界，記作 Sinf。 MM2M1上確界上界 m2mm1下確界下界確界的精確定義確界的精確定義定義 2 設 S 是 R 中的一個數(shù)集，若數(shù) 滿足一下兩條： （1） 對一

10、切 Sx 有 x，即 是數(shù)集 S 的上界； （2） 對任意0，存在 Sx 0 使得0 x（即是 S 的最小上界）， 則稱數(shù)為數(shù)集 S 的上確界。記作 Ssup 定義 3 設 S 是 R 中的一個數(shù)集，若數(shù) 滿足一下兩條： 1）對一切 Sx 有 x，即 是數(shù)集 S 的下界； 2）對任意0，存在 Sx 0使得0 x（即是 S 的最大下界）， 則稱數(shù)為數(shù)集 S 的下確界。記作 Sinf 0 x 0 x S 例 1 （1） ,) 1(1nSn 則._inf _,supSS （2） .), 0( ,sin xxyyE 則 ._inf _,supEE 定定理理 1.1 (確界原理). 設 S 為非空數(shù)集，

11、若 S 有上界，則 S 必有上確界；若 S 有下界，則 S 必有下確界。 證明(建教材 p7) 例2 非空有界數(shù)集的上（或下）? 界是唯一的. 例3 設S 和 A是非空數(shù)集，且有.AS 則有 .infinf ,supsupASAS. 例 4 設A和 B 是非空數(shù)集. 若對Ax和,By都有, yx 則有 .infsupBA 證 Ax和,By都有, yx y是 A的上界, 而Asup 是 A的最小上界 .sup yA 此式又Asup 是B 的下界,Asup Binf（B 的最大下界） 例 5 A和 B 為非空數(shù)集, .BAS 試證明: . inf , inf mininfBAS 證 ,Sx 有Ax

12、 或,Bx 由Ainf和Binf分別是 A和 B 的下界,有 Axinf或. inf , inf min .infBAxBx 即 inf , inf minBA是數(shù)集 S 的下界, . inf , inf mininf BAS 又SAS , 的下界就是 A的下界, Sinf是 S 的下界, Sinf 是 A的下界, ;infinf AS 同理有.infinfBS 于是有 inf , inf mininfBAS . 綜上, 有 inf , inf mininfBAS . 1. 數(shù)集與確界的關系: 確界不一定屬于原集合. 2. 確界與最值的關系: 設 E 為數(shù)集. E 的最值必屬于 E , 但確界

13、未必, 確界是一種臨界點. 非空有界數(shù)集必有確界(見下面的確界原理), 但未必有最值. 若Emax存在, 必有 .supmaxEE ，對下確界有類似的結論. 3 3 函函數(shù)數(shù)概概念念 函數(shù)是整個高等數(shù)學中最基本的研究對象, 可以說數(shù)學分析就是研究函數(shù)的. 因此我們對函數(shù)的概念以及常見的一些函數(shù)應有一個清楚的認識. 一一 函函數(shù)數(shù)的的定定義義 1. 函數(shù)的幾點說明. 函函數(shù)數(shù)的的兩兩要要素素: : 定義域和對應法則 約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值. 21,: 1,1yxD，例例如如21,:( 1,1)1yDx例例如如，()0 x0()fx對對應應法法則則 f xyDW函函

14、數(shù)數(shù)的的表表示示法法: 解析法, 列表法, 圖像法. 分段函數(shù) 1 ,0sgn0 ,01 ,0 xxxx 狄里克雷函數(shù) 1 ,( )0 xD xx為有理數(shù)，為無理數(shù) 黎曼函數(shù) 1,( )00 10 1pxqqR x既約真分數(shù)， 下 ，和 （ ，） 內的無理數(shù) 三三 函數(shù)的四則運算函數(shù)的四則運算y1-1xo 四四 復復合合函函數(shù)數(shù): 設有兩個函數(shù) ExxguDuufy,)(,)(，若 )(|*EDxgxE，則 *Ex， 通過函數(shù) g 對應 D 內唯一u ，而 u通過函數(shù) f 對應唯一 y 這樣，*Ex都有唯一 y 和它對應，因此確定了一個以 x為自變量，y 為因變量的函數(shù)，記作 )(xgfy ，

15、稱為函數(shù)gf 和的復合函數(shù)，并稱 f 為外函數(shù)， g為內函數(shù)，u 為中間變量。 E D E* g )(ufy )(|Dxgx f x )(xgu 五五 反反函函數(shù)數(shù) 0 x0y0 x0yxy)(xfy 函數(shù)ox)( yx反函數(shù)o)( xfy 直接函數(shù)xyo),(abQ),(baP)( xy反函數(shù)1 1 常常函函數(shù)數(shù) 2 冪冪函函數(shù)數(shù) xy 冪函數(shù) 35,xx clf,x=-1:0.02:1; y1=x.(-3);y2=x.(-5); plot(x,y1,x,y2),hold on axis(-1,1,-500,500); legend(x-3,x-5); plot(-2,2,0,0,r,0,0

16、,-500,500,r) -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-500-400-300-200-1000100200300400500 x-3x-5冪函數(shù) 21/2,xx 圖象 clf,x=0:0.02:1.6; y1=x.2;y2=x.(1/2); axis(-0.1,1.4,-0.1,1.2) legend(x,x1/2) plot(x,y1,x,y2,linewidth,2),hold on plot(-0.1,2,0,0,r,0,0,-0.1,1.5,r) -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.810501001502002503003

17、50400450500 x-2x-4冪函數(shù) 21/2,xx 圖象 00.20.40.60.811.21.400.20.40.60.811.2x x1/2 31/3,xx 00.20.40.60.811.21.400.20.40.60.811.2x3 x1/3 xx2log,2圖像00.511.522.53-4-202468log2x2x 5 三角函數(shù)6 反三角函數(shù) arcsinx , arccosx 圖像-1-0.500.51-1.5-1-0.500.511.5xasin (x)-1-0.500.5100.511.522.53xacos (x)-6-4-20246-1.5-1-0.500.51

18、1.5xatan(x)arctgx 圖圖 像像-MyMxoy=f(x)X有界函數(shù)有界函數(shù)4 具具有有某某些些特特性性的的函函數(shù)數(shù) 1. 有有界界函函數(shù)數(shù) 若函數(shù))(xf在定義域D上既有上界又有下界， 則稱 f 為D上的有界函數(shù)。這個定義顯然等價于，對一切Dx，恒有 Kxf| )(| 有界函數(shù)的幾何意義 M-MxoX0 xy無界函數(shù)無界函數(shù)請同學們利用有界函數(shù)的定義給出無界函數(shù)的定義。 例 ), 0 (,sin)(xxxxf 是無界函數(shù)。 證明 對任意的 0M，存在 Mnn22:，取22 nxm ，則 )(xfy )(1xf)(2xfxyoIMnxfm22)( 2 2. . 單單調調函函數(shù)數(shù) 看

19、下面函數(shù)的圖像，給出單調函數(shù)的定義 )(xfy)(1xf)(2xfxyoIo-2-424-224-4奇奇函函數(shù)數(shù)與與偶偶函函數(shù)數(shù) （1）定義域關于原點對稱 （2）奇函數(shù)（偶函數(shù)）對任何Dx 有 )()(xfxf， （)()(xfxf） 奇函數(shù))(xfyx)(xfox-x)(xfy 兩條缺一不可。 clf, x=-2:1/20:2; y1=x.3; y2=x.2-1; subplot(1,2,1) plot(x,y1,r,linewidth,2),hold on plot(-1.8,1.8,0,0) plot(0,0,-6,6) legend(x3) subplot(1,2,2) plot(x,

20、y2,r,linewidth,2),hold on plot(-1.8,1.8,0,0) plot(0,0,-2,4) axis(-2,2,-2,4), legend(x2); 奇、偶函數(shù)的運算性質 請看下面幾個圖象，回答奇偶函數(shù)的運算性質 clf, x=-1.2*pi:1/20:1.2*pi; -2-1012-8-6-4-202468x3-2-1012-2-101234x2subplot(2,2,1); y1=sin(x).*x.3; plot(x,y1,r,linewidth,2), hold on plot(-4,4,0,0,b,0,0,-35,10,b) title(x3*sinx);hold on subplot(2,2,2) y2=cos(x).*x.2; plot(x,y2,r,linewidth,2) hold on plot(-4,4,0,0,b,0,0,-15,5,b) title(x2*cosx); subplot(2,2,3); y3=sin(x).*cos(x);plot(x,y3,r,linewidth,2) hold on plot(-4,4,0,0,b,0,0,-0.5,0.5,b) title(sinx*cosx); subplot(2,2,4);y4=3*sin(x)+sin(x./3); plot(x,y4,r,li