金融工程第十二章布萊克斯科爾斯莫頓模型

1、整理ppt第第13章章 整理ppt內(nèi)容提綱內(nèi)容提綱股票價格和收益的分布性質(zhì)波動率布萊克-斯科爾斯-默頓微分方程風(fēng)險中性定價布萊克-斯科爾斯定價公式隱含波動率股息對期權(quán)定價的影響整理ppt313.1 股價的對數(shù)正態(tài)分布性質(zhì)股價的對數(shù)正態(tài)分布性質(zhì) lognormal property of stock prices令股價為S定義：m 為股票每年的收益率期望；s為股票價格每年的波動率在 Dt時間段股票收益的均值值為m Dt, 股票收益服從正態(tài)分布: 代表期望為m,標(biāo)準(zhǔn)差為v的正態(tài)分布ttSSDsDmD2, mv整理ppt412.6節(jié)證明了：lnST 服從正態(tài)分布, 則ST 服從對數(shù)正態(tài)分布 or s

2、smssmTTSSTTSSTT220220,2lnln,2lnln整理ppt對數(shù)正態(tài)分布圖對數(shù)正態(tài)分布圖 E SS eSS eeTTTTT()()()002221 var mms整理ppt6整理ppt713.2收益率的分布收益率的分布 The distribution of the rate of return若 x代表從0T之間以連續(xù)復(fù)利的收益率,則 = 2ssmTxSSTxeSSTxTT200,2ln1整理ppt8整理ppt913.3 預(yù)期收益率預(yù)期收益率 The expected return（13.4）表明股價的期望值為S0emT股價的預(yù)期收益率為m s2/2 ；而不是 m原因：00l

3、n (/)ln(/),( )TTTE SSESSE xmm因此，整理ppt10m =E(DS/S)，是日均收益率ms2/2 則是所有數(shù)據(jù)所覆蓋的的區(qū)間上的期望收益整理ppt1113.4 波動率波動率 volatility股票波動率可以被定義為按連續(xù)復(fù)利時股票在年內(nèi)所提供收益率的標(biāo)準(zhǔn)差在Dt時間內(nèi)股票價格變化百分比的標(biāo)準(zhǔn)差為: 如果股價為$50 ，波動率為 30% ，對應(yīng)于每周價格百分比變化的標(biāo)準(zhǔn)差近似地等于：tDs50*(30* 1/52)50*4.16%2.08美元整理ppt12在時間長度為t年內(nèi)，觀察到股價為 S0, S1, . . . , Sn 。計算第i個區(qū)間結(jié)束時的股票收益率計算ui

4、的標(biāo)準(zhǔn)差 s由（13-2）得： ui的標(biāo)準(zhǔn)差 也為 ，因此有：uSSiiiln1tsss t整理ppt13整理ppt1413.4.2 交易日天數(shù)與日歷天數(shù)交易日天數(shù)與日歷天數(shù)交易所開盤交易時的波動率比關(guān)閉時的波動率要高因此，由歷史數(shù)據(jù)計算波動率或期權(quán)期限時，采用的是交易日天數(shù)而不是日歷天數(shù)整理ppt15 背景：1973年，美國芝加哥大學(xué)教授 Fischer Black & Myron Scholes提出了著名的B-S定價模型，用于確定歐式股票期權(quán)價格，在學(xué)術(shù)界和實務(wù)界引起了強烈反響；同年，Robert C. Merton獨立地提出了一個更為一般化一般化的模型。舒爾斯和默頓由此獲得了19

5、97年的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。我們將循序漸進，盡量深入淺出地介紹布萊克-斯科爾斯-默頓期權(quán)定價模型（下文簡稱B-S-M模型），并由此導(dǎo)出衍生證券定價的一般方法。 13.5布萊克布萊克-斯科爾斯斯科爾斯-默頓微分方程的概念默頓微分方程的概念 Concepts underlying the Black-Scholes-Merton differential equation整理ppt16基本思路基本思路我們?yōu)榱私o股票期權(quán)定價，必須先了解股票本身的走勢。因為股票期權(quán)是其標(biāo)的資產(chǎn)（即股票）的衍生工具，在已知執(zhí)行價格、期權(quán)有效期、無風(fēng)險利率和標(biāo)的資產(chǎn)收益的情況下，期權(quán)價格變化的唯一來源就是股票價格的變化，股票

6、價格是影響期權(quán)價格的最根本因素。要研究期權(quán)的價格，首先必須研究股票價格的變化規(guī)律。在 了解了股票價格的規(guī)律后，我們試圖通過股票來復(fù)制期權(quán)，并以此為依據(jù)給期權(quán)定價。整理ppt17構(gòu)建無風(fēng)險交易組合構(gòu)建無風(fēng)險交易組合構(gòu)建：可由期權(quán)與標(biāo)的股票所組成的無風(fēng)險組合，組合收益率等于無風(fēng)險利率r原因：股票價格和期權(quán)價格均受到同一種不定性因素（股價）的影響；在任意短時期內(nèi)，衍生品價格與股價強相關(guān)性在短時間內(nèi)，股票盈虧可抵消期權(quán)帶來的盈虧例：假設(shè)c=0.4S，可構(gòu)造無風(fēng)險交易組合0.4只股票的長頭寸一個看漲期權(quán)的短頭寸整理ppt18整理ppt19ms假設(shè)：1、股票價格遵循幾何布朗運動，即 和 為常數(shù)；2、允許賣

7、空標(biāo)的證券；3、沒有交易費用和稅收，所有證券都是完全可分的4、衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付；5、存在無風(fēng)險套利機會；6、證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的；7、衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險利率r為常數(shù)。 整理ppt20 ：zStSSDDDsmSdzSfdtSSftfSSfdfssm)21(2222zSSftSSftfSSffDDDssm)21(2222SdzSdtdSsm13.6 布萊克布萊克-斯科爾斯斯科爾斯-默頓微分方程的推導(dǎo)默頓微分方程的推導(dǎo) derivation of the Black-Scholes-Merton differential equation由于證券價格S遵

8、循幾何布朗運動，因此有：其在一個小的時間間隔t中，S的變化值S: 設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價格，則f一定是S和t的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得：在一個小的時間間隔中，f的變化值f為:整理ppt21 zDSfffSx ffSSD D DDtDtSSftfDD)21(2222s為了消除風(fēng)險源 ，可以構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和 單位標(biāo)的證券多頭的組合。令 代表該投資組合的價值，則：在 時間后，該投資組合的價值變化 為： 代入f 和S可得整理ppt22tSSftfDD)21(2222s中不含任何風(fēng)險源，因 此組合必須獲得無風(fēng)險收益，即trDD代入上式可得tSSffrtSSftfDD)()21(222

9、2s化簡為rfSfSSfrStf222221s*這就是著名的布萊克舒爾斯微分分程舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標(biāo)的證券價格S的所有衍生證券的定價。整理ppt23 )0 ,max(XSET)0 ,max()(XSEecTtTrE邊界條件邊界條件 key boundary conditions在風(fēng)險中性的條件下，無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)到期時（T時刻）的期望值為：其中 ：表示風(fēng)險中性條件下的期望值。根據(jù)風(fēng)險中性定價原理，歐式看漲期權(quán)的價格c等于將此期望值按無風(fēng)險利率進行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即： 整理ppt24整理ppt25觀察布萊克舒爾斯微分方程，我們可以發(fā)現(xiàn)，受制于主觀的風(fēng)險收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期

10、收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。這意味著，無論風(fēng)險收益偏好狀態(tài)如何，都不會對f的值產(chǎn)生影響。因此我們可以作出一個可以大大簡化我們工作的假設(shè)：在在對衍生證券定價時，所有投資者都是風(fēng)險中性的。對衍生證券定價時，所有投資者都是風(fēng)險中性的。盡管這只是一個人為的假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險的所有情況。在風(fēng)險中性的條件下，所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險利率r，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險中性定價原理。 13.7 風(fēng)險中性定價風(fēng)險中性定價 risk-free neutral valuation整理ppt2

11、6應(yīng)用于股票遠期合約應(yīng)用于股票遠期合約遠期合約到期時刻的價值：遠期合約到期時刻的價值：遠期合約在時間遠期合約在時間0的價值：的價值：整理ppt27對右邊求值是一種積分過程，結(jié)果為：其中，)()(2)(1dNXedSNctTrtTdtTtTrXSdtTtTrXSdsssss12221)(2/()/ln()(2/()/ln( N（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)(即這個變量小于x的概率)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)特性，我們有 。 )(1)(xNxN 這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價公式。)0 ,max()(XSEecTtTr13.8 布萊克布萊克-斯科爾斯定價公式斯科爾斯定價公式 Black

12、-Scholes pricing formulas整理ppt28整理ppt29 在B-S公式中，N(d2)是在風(fēng)險中性世界中ST大于X的概率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率，e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。SN(d1)= e-r(T-t)STN(d1)是ST的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值 。 因此，這個公式就是未來收益期望值的貼現(xiàn)。定價公式的理解：定價公式的理解：整理ppt30 根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價公式：)()(12)(dSNdNXeptTr無收益資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán)的定價公式無收益資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán)的定價公式 整理p

13、pt31B-S公式的性質(zhì)公式的性質(zhì)當(dāng)前股票價格很大，期權(quán)價格：當(dāng)前股票價格很大，期權(quán)價格：股票波動率接近于零，期權(quán)價格：股票波動率接近于零，期權(quán)價格：整理ppt32整理ppt33估計無風(fēng)險利率：一般來說，在美國人們大多選擇美國國庫券利率作為無風(fēng)險利率的估計值，在中國過去通常使用銀行存款利率，現(xiàn)在則可以從銀行間債券市場的價格中確定國債即期利率作為無風(fēng)險利率，并且要轉(zhuǎn)化為連續(xù)復(fù)利的形式，才可以在B-S-M公式中應(yīng)用。其次，要注意選擇利率期限。如果利率期限結(jié)構(gòu)曲線傾斜嚴(yán)重，須選擇距離期權(quán)到期日最近的利率作為無風(fēng)險利率。估計標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率：比估計無風(fēng)險利率困難得多，也更為重要。估計標(biāo)的資產(chǎn)價格波

14、動率有兩種方法：歷史波動率和隱含波動率。13.11 隱含波動率隱含波動率 implied volatility整理ppt34我們已經(jīng)知道，B-S-M期權(quán)定價公式中的期權(quán)價格取決于下列五個參數(shù)：標(biāo)的資產(chǎn)市場價格、執(zhí)行價格、到期期限、無風(fēng)險利率和標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率（即標(biāo)的資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差）。在這些參數(shù)當(dāng)中，前三個都是很容易獲得的確定數(shù)值。但是無風(fēng)險利率和標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率則需要通過一定的計算求得估計值。波動率波動率 volatility 整理ppt35歷史波動率：從標(biāo)的資產(chǎn)價格的歷史數(shù)據(jù)中計算出價格對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，具體方法一般有兩種，第一種直接用一般統(tǒng)計方法計算樣本對數(shù)收益率標(biāo)準(zhǔn)差，第二種則

15、包括廣義自回歸條件異方差模型GARCH、隨機波動率模型等。隱含波動率：資本市場具有強大的信息功能。資本市場上股票價格、債券價格、期權(quán)價格等都包含了重要的信息。在現(xiàn)實中，我們常常已經(jīng)知道了期權(quán)價格，這時我們就可以利用期權(quán)價格來倒推出其中隱含的波動率信息。所謂的隱含波動率，即根據(jù)B-S-M期權(quán)定價公式，將公式中除了波動率以外的參數(shù)和市場上的期權(quán)報價代入，計算得到的波動率數(shù)據(jù)，然后用于其它條件類似的期權(quán)定價、風(fēng)險管理等。顯然，這里計算得到的波動率可以看作是市場對未來波動率的預(yù)期。整理ppt36 對于有收益標(biāo)的資產(chǎn)的歐式期權(quán)，在收益已知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收

16、益的現(xiàn)值部分和一個有風(fēng)險部分。當(dāng)期權(quán)到期時，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風(fēng)險部分的證券價格。表示風(fēng)險部分遵循隨機過程的波動率，就可直接套用公式:分別計算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值。)()(12)(dSNdNXeptTr)()(2)(1dNXedSNctTr13.12.1有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價公式（有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價公式（1） 13.12 股息股息 Dividend整理ppt37 因此，當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用（SI）代替S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。 當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計算的固定收

17、益率q（單位為年）時，我們只要將 代替S就可求出)(tTqSe支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。 一般來說，期貨期權(quán)、股指期權(quán)和外匯期權(quán)都可以看作標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)復(fù)利收益率的期權(quán)。其中，歐式期貨期權(quán)可以看作一個支付連續(xù)紅利率為r的資產(chǎn)的歐式期權(quán)；股指期權(quán)則是以市場平均股利支付率為收益率，外匯期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的連續(xù)紅利率為該外匯在所在國的無風(fēng)險利率。有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價公式（有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價公式（2） 整理ppt38整理ppt39 ()12()()r T tCSN dXeN d13.12.2 美式期權(quán)美式期權(quán)無收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)的定價公式無收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)的

18、定價公式在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下，美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行是不合理的，因此因此C=cC=c，無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價公式同樣同樣是：整理ppt40 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時有收益時，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價較為復(fù)雜，布萊克提出了一種近似處理方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理，若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在 提前執(zhí)行可能是合理的，則要分分別別計算在T時刻和 時刻到期的歐式看漲期權(quán)的價格，然后將二者之中的較大者較大者作為美式期權(quán)的價格。在大多數(shù)情況下，這種近似效果都不錯。nt nt有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)的定價公式有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)的定價公式 整理ppt4113.12.2 美式期權(quán)美式期權(quán)最后一個最后一個除息日除息日持有者持有者行權(quán)行權(quán)的收入：的收入：持有者持有者不行權(quán)不行權(quán)的條件：的條件：整理ppt42倒數(shù)第二個除息日倒數(shù)第二個除息日持有者行權(quán)的收入：持有者行權(quán)的收入：持有者不行權(quán)的持有者不行權(quán)的條件條件：整理ppt43任意一個除息日任意一個除息日持有者不行權(quán)的條件：持有者不行權(quán)的條件：整理ppt44 美式看跌期權(quán)無論標(biāo)的資產(chǎn)有無收益都有提前執(zhí)行的可能，而且與其對應(yīng)的看漲期權(quán)也不存也不存在精確的平價關(guān)系在精確的平價關(guān)系，因此我們一般通過數(shù)值方法數(shù)值方法來求美式看跌期權(quán)的價值。美式看跌期權(quán)的定價美