第5章 隨機過程通過線性系統(tǒng)(1)

1、第五章第五章 隨機過程通過線性系統(tǒng)隨機過程通過線性系統(tǒng) 確定信號通過線性時不變系統(tǒng)，我們已經(jīng)很熟悉。確定信號通過線性時不變系統(tǒng)，我們已經(jīng)很熟悉。例如：例如： 確知信號確知信號x(t), 線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)h(t)：n時域：時域： 非因果系統(tǒng)：非因果系統(tǒng)： 因果系統(tǒng)：因果系統(tǒng)： dtxhty)()()( dtxhty 0)()()()(th)(tx)(ty 頻域：頻域： 若若 物理可實現(xiàn)，且物理可實現(xiàn)，且x(t)有界，則有：有界，則有： 。 所以對于確定信號，總可以用數(shù)學式或列表形式給定其所以對于確定信號，總可以用數(shù)學式或列表形式給定其時域的描述，或用變換的方式給出其時域的描述，或用變

2、換的方式給出其“頻域頻域”的表述，而且的表述，而且對于其通過線性時不變系統(tǒng)的表述為：對于其通過線性時不變系統(tǒng)的表述為：問題：問題：隨機信號通過線性系統(tǒng)情況如何呢？其輸入、輸出以隨機信號通過線性系統(tǒng)情況如何呢？其輸入、輸出以及與系統(tǒng)函數(shù)間的關(guān)系如何？及與系統(tǒng)函數(shù)間的關(guān)系如何？ dtth)()()( Hth)()( Xtx)()()()()()( HXYthtxty )()()( XHY 隨機信號隨機信號函數(shù)值無法用數(shù)學式或列表形式確切的表述。函數(shù)值無法用數(shù)學式或列表形式確切的表述。其原因是：其原因是： 1.1.隨機性隨機性，即任何時刻點上的取值不能預先確定。因為，即任何時刻點上的取值不能預先確定

3、。因為隨機過程（信號）是隨機過程（信號）是隨時間或依時序組成的隨時間或依時序組成的每個時間點上每個時間點上的的隨機變量隨機變量的集合，所以隨機信號每個時間點上對應的函的集合，所以隨機信號每個時間點上對應的函數(shù)值都是一個數(shù)值都是一個隨機變量隨機變量。即便通過一個具體的實驗所得到。即便通過一個具體的實驗所得到的確定的確定函數(shù)函數(shù)，也只能是該隨機過程的一個樣本，也只能是該隨機過程的一個樣本函數(shù)函數(shù) ，它也它也無法表征整個隨機過程的行為無法表征整個隨機過程的行為 。 2.2.波及性波及性，隨機過程可以認為是某個隨機系統(tǒng)中某一個，隨機過程可以認為是某個隨機系統(tǒng)中某一個端口的輸出，各時間點上隨機變量的取值

4、往往具有前后的端口的輸出，各時間點上隨機變量的取值往往具有前后的波及影響，既不同時間點上隨機變量間的關(guān)聯(lián)性。這種波波及影響，既不同時間點上隨機變量間的關(guān)聯(lián)性。這種波及或關(guān)聯(lián)性是由隨機系統(tǒng)的各種及或關(guān)聯(lián)性是由隨機系統(tǒng)的各種慣性慣性決定的。決定的。),(itx 針對隨機信號所具有的隨機性和波及性，可針對隨機信號所具有的隨機性和波及性，可用統(tǒng)計方法來描述其隨時間變化的函數(shù)關(guān)系：用統(tǒng)計方法來描述其隨時間變化的函數(shù)關(guān)系： 1. 對于每一時間點上的函數(shù)值是隨機變量的對于每一時間點上的函數(shù)值是隨機變量的特征，可用一維統(tǒng)計特性來描述：特征，可用一維統(tǒng)計特性來描述： 函數(shù)值的概率密度、均值、方差等；函數(shù)值的概率

5、密度、均值、方差等； 2. 對于各時間點隨機變量的波及性，用多維對于各時間點隨機變量的波及性，用多維統(tǒng)計特性來描述：統(tǒng)計特性來描述： 函數(shù)值的多維概率密度、相關(guān)函數(shù)等。函數(shù)值的多維概率密度、相關(guān)函數(shù)等。隨機過程通過線性時不變系統(tǒng)的表示隨機過程通過線性時不變系統(tǒng)的表示 隨機過程的一個樣本隨機過程的一個樣本 , 若若 是有界的，則對于是有界的，則對于線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng) ：n 時域表示：時域表示： 非因果系統(tǒng)：非因果系統(tǒng)： 因果系統(tǒng)：因果系統(tǒng)：即，系統(tǒng)輸出即，系統(tǒng)輸出 也只能是隨機過程的一個樣本且有界。也只能是隨機過程的一個樣本且有界。其無法代表系統(tǒng)輸出隨機過程的全體。只有當每個輸入樣本其

6、無法代表系統(tǒng)輸出隨機過程的全體。只有當每個輸入樣本 都是有界的，才有都是有界的，才有 dtxhtyii),()(),( ),(itx dtxhtyii),()(),(0 ),(ity ),(itx )(th),( tx dtXhtY)()()( 頻域表示：頻域表示： 隨機過程隨機過程 是無限時寬，無限能量，非周期的是無限時寬，無限能量，非周期的, , 的付氏變換、的付氏變換、Z Z變換以及付氏級數(shù)都不存在，變換以及付氏級數(shù)都不存在，故不能用頻譜表述。故不能用頻譜表述。 但是，若隨機過程是平穩(wěn)的，則但是，若隨機過程是平穩(wěn)的，則其頻域特性可用功率其頻域特性可用功率譜來描述。譜來描述。平穩(wěn)隨機過程通

7、過平穩(wěn)隨機過程通過線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)：平穩(wěn)條件：平穩(wěn)條件： = 常數(shù)；常數(shù)；)(tXE )(2tXE)(tX 122121),()()(),(ttRtxtxEttRXX )(tXn 由此可知：由此可知：隨機過程只能用統(tǒng)計的方法來表征，不存隨機過程只能用統(tǒng)計的方法來表征，不存 在頻譜，但可用功率譜描述。在頻譜，但可用功率譜描述。 問題的提出：用統(tǒng)計的方法如何來具體地表征隨機過問題的提出：用統(tǒng)計的方法如何來具體地表征隨機過程通過線性時不變系統(tǒng)的行為，從中我們能獲得什么結(jié)程通過線性時不變系統(tǒng)的行為，從中我們能獲得什么結(jié)論？論？由于隨機過程的自相關(guān)函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)絕對可積，由于隨機過程的自

8、相關(guān)函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)絕對可積，故其存在故其存在Z變換，或付氏變換。變換，或付氏變換。物理解釋：物理解釋：能量無限的信號，一般功率有限。能量無限的信號，一般功率有限。一、平穩(wěn)隨機過程通過線性時不變系統(tǒng)的時域分析一、平穩(wěn)隨機過程通過線性時不變系統(tǒng)的時域分析n1系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出Y(t)的均值的均值: ，其中，其中 輸出過程的均值輸出過程的均值=輸入過程的均值輸入過程的均值H(0)常數(shù)。常數(shù)。n2. 系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出Y(t) 的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù):輸出過程輸出過程 RY() 只與時間差只與時間差 有關(guān)，而與時間起點有關(guān)，而與時間起點 t 無關(guān)。無關(guān)。)0()()(HmdhmtYEXX )0()(

9、Hdh )()()()()()()()()()(),( YXYRddRhhddtXtXEhhtYtYEttR dtXhtY )()()(由由 EY(t) 常數(shù)和常數(shù)和 RY() 可知：可知： 平穩(wěn)隨機過程通過線性時不變系統(tǒng)的輸出過程也是平穩(wěn)的。平穩(wěn)隨機過程通過線性時不變系統(tǒng)的輸出過程也是平穩(wěn)的。且有：且有：)0()(HmtYEX )()()()( hhRRXY)()()( )()()()()()()()()()( XXXXYRhhdRhhddRhhddRhhR n3. 系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù): dhRdhtXtXEdtXhtXEtYtXEttRXXY)()

10、()()()()()()()()(),(_ 同理可證，同理可證，)()()()()( hRhRRXXYX)()()()()()()()( hRhRhhRRYXXYXY )()()( hRRXXY 當當X(t)為白噪聲，即為白噪聲，即 時，則時，則)() 2/()(0tNRX )() 2/()()() 2/()()()(00 hNhNhRRXXY 即有即有 )(2)(0 XYRNh 該式說明：該式說明：如果能用互相關(guān)函數(shù)測量設(shè)備測得如果能用互相關(guān)函數(shù)測量設(shè)備測得 ，則可用功率譜密度為則可用功率譜密度為 的白噪聲激勵線性系統(tǒng)來估計的白噪聲激勵線性系統(tǒng)來估計該線性系統(tǒng)的沖擊響應。該線性系統(tǒng)的沖擊響應

11、。)( XYR2/0N)(th)(tX)(tY相相關(guān)關(guān)器器)( XYR)(2)(0 NRX 4物理可實現(xiàn)物理可實現(xiàn)(因果因果)系統(tǒng)的響應系統(tǒng)的響應n 物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的條件：物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的條件： 因果性因果性 將該條件代入上述關(guān)系式，可得將該條件代入上述關(guān)系式，可得 注意：卷積關(guān)系不再成立。注意：卷積關(guān)系不再成立。0,0)( tth)0()()(0HmdhmtYEXX ddRhhRXY)()()()(00 dhRRXXY)()()(0 n平穩(wěn)隨機過程通過線性時不變系統(tǒng)的時域分析小結(jié)：平穩(wěn)隨機過程通過線性時不變系統(tǒng)的時域分析小結(jié)：X(t)：平穩(wěn)隨機過程：平穩(wěn)隨機過程h(t)：線性時不變系統(tǒng)的沖擊

12、響應：線性時不變系統(tǒng)的沖擊響應 )()()();()()()()()()()()()()()0()( hRRhRRhRhRhhRRHmtYEXYXXXYYXXYXYX 注意：物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的條件。注意：物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的條件。)(th)(tX)(tY二、平穩(wěn)隨機過程通過線性時不變系統(tǒng)的頻域分析二、平穩(wěn)隨機過程通過線性時不變系統(tǒng)的頻域分析1系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出Y(t)的功率譜密度的功率譜密度 deRhhdddeRGjXjYY 00)()()()()(令 ，則 ,dd ，令：令： ，則，則其中，其中，|H()|2稱為稱為系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)。系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)。所以，所以， 系統(tǒng)的輸出功率系統(tǒng)的輸出功率=

13、系統(tǒng)的輸入功率系統(tǒng)的輸入功率 |H()| 2 2。 )()()()()(*)()()()(200 XXjXjjYGHGHHdeRdehdehG 系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出Y(t)的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)系統(tǒng)的輸出的均方值或平均功率系統(tǒng)的輸出的均方值或平均功率 deGHdeGRjXjYY)()(21)(21)(2 dGHRtYEXY)()(21)0()(222. 系統(tǒng)輸入與輸出之間的互譜密度系統(tǒng)輸入與輸出之間的互譜密度 )()()( hRRXXY )()()( hRRXYX 由付氏變換性質(zhì)可得由付氏變換性質(zhì)可得:)()()( HGGXXY )()()( HGGXYXv 當當X(t)為白噪聲，即為白噪聲，即

14、GX()=N0/2時時，則，則)(2)(0 HNGXY ，或，或 )(2)(0 HNGYXn上式說明：上式說明：如果能設(shè)法獲得如果能設(shè)法獲得GXY() 或或GYX() ，則可估計，則可估計 線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù) H() 。n平穩(wěn)隨機過程通過線性時不變系統(tǒng)的頻域分析小結(jié)：平穩(wěn)隨機過程通過線性時不變系統(tǒng)的頻域分析小結(jié)：GX() ：輸入平穩(wěn)隨機過程輸入平穩(wěn)隨機過程X(t)的功率譜密度的功率譜密度;H() ： 線性時不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù)線性時不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù);|H()|2 ：線性時不變系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)：線性時不變系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù);GY() ：輸出平穩(wěn)隨機過程：輸出平穩(wěn)隨機過程Y(t

15、)的功率譜密度；的功率譜密度；)(tX)(tY)(H )(GX )(GY GXY() ：輸入：輸入X(t)與輸出平穩(wěn)隨機過程與輸出平穩(wěn)隨機過程Y(t)的互譜密度。的互譜密度。 )()()()()()()()(21)0()()()(21)()()()(2222 HGGHGGdGHRtYEdeGHRGHGXYXXXYXYjXYXY三、多個隨機過程之和通過線性系統(tǒng)三、多個隨機過程之和通過線性系統(tǒng)設(shè)設(shè) X1(t) 和和 X2(t)單獨平穩(wěn)，且聯(lián)合平穩(wěn)，單獨平穩(wěn)，且聯(lián)合平穩(wěn)，則線性系統(tǒng)的輸則線性系統(tǒng)的輸出出Y(t)的特性為：的特性為：1輸出輸出Y(t)的均值的均值21)(YYYmmtYEm )t (h)

16、t (X)t (X)t (X21 )t (Y)t (Y)t (Y21 2輸出輸出Y(t)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度 )()()()()()()()()()()(122121122121 hhRRRRRRRRRXXXXXXYYYYYYY 2)()()()()()(122121 HGGGGGXXXXXXY 推論：推論： 若若X1(t) 和和 X2(t)互不相關(guān)互不相關(guān)，則則 )()(2)()()(2121 hhmmRRRXXXXY 2)()(4)()()(2121 HmmGGGXXXXY 若若X1(t) 和和 X2(t)互不相關(guān)，且均值為零，則互不相關(guān)，且均值為零，則3輸入輸

17、入X(t) 與輸出與輸出Y(t) 的互相關(guān)函數(shù)和互譜密度的互相關(guān)函數(shù)和互譜密度 )()()()()()()(2121 YYXXYRRhhRRR )()()()()(22122111 YXYXYXYXXYRRRRR )()()()()()(21212 YYXXYGGHGGG )()()()()(22122111 YXYXYXYXXYGGGGG 四、白噪聲通過線性系統(tǒng)四、白噪聲通過線性系統(tǒng) 設(shè)白噪聲的功率譜密度為設(shè)白噪聲的功率譜密度為 ， 線性時不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為線性時不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為 ，則系統(tǒng)輸出，則系統(tǒng)輸出 的的功率譜密度為功率譜密度為:),(,)(2)(20 HNGY)( H)(tY，

18、。 雙邊功率譜密度雙邊功率譜密度， 。 單邊功率譜密度單邊功率譜密度 系統(tǒng)輸出功率譜密度不再是均勻的，其完全取決于系統(tǒng)輸出功率譜密度不再是均勻的，其完全取決于 系統(tǒng)的頻率特性系統(tǒng)的頻率特性H()。系統(tǒng)輸出。系統(tǒng)輸出Y(t)也不再是白噪聲。也不再是白噪聲。 ), 0(,)()(20 HNFY),(, 2/)(0 NGX 02020)(2)(221)0( dHNdHNRY GY()、 RY()的求解都需要知道的求解都需要知道|H()|，因此，因此 |H()|越復雜，越復雜， GY()和和 RY()的計算就越困難。的計算就越困難。系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出Y(t) 的平均功率為的平均功率為:1等效噪聲帶寬等效

19、噪聲帶寬n等效思想：等效思想：對于對于理想系統(tǒng)和實際系統(tǒng)，當輸入相同的理想系統(tǒng)和實際系統(tǒng)，當輸入相同的白噪聲時，用輸出噪聲平均功率相等的方法，尋求一白噪聲時，用輸出噪聲平均功率相等的方法，尋求一個在頻帶中心的功率傳輸函數(shù)值與實際系統(tǒng)相等的，個在頻帶中心的功率傳輸函數(shù)值與實際系統(tǒng)相等的，且具有矩形傳輸函數(shù)特性的理想系統(tǒng)來代替實際系統(tǒng)。且具有矩形傳輸函數(shù)特性的理想系統(tǒng)來代替實際系統(tǒng)。以簡化系統(tǒng)分析中的運算。以簡化系統(tǒng)分析中的運算。 設(shè)理想低通線性系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)為設(shè)理想低通線性系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)為 eeIHH ,0,)0()(22則實際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬則實際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬 定義為定義為e

20、202)0()(HdHe 2)( H e 0e 設(shè)理想帶通線性系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)為設(shè)理想帶通線性系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)為 2/,02/,)()(00202eeIHH 其中，其中， 為帶通線性系統(tǒng)的中心頻率，則實際系統(tǒng)的等效為帶通線性系統(tǒng)的中心頻率，則實際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為噪聲帶寬為e 2002)()( HdHe e 表示：表示：系統(tǒng)對噪聲功率譜的選擇性系統(tǒng)對噪聲功率譜的選擇性。0 2)( H e o 0o 線性系統(tǒng)通頻帶的一般定義：線性系統(tǒng)通頻帶的一般定義：系統(tǒng)頻率特性曲線半功系統(tǒng)頻率特性曲線半功率點的通頻帶寬率點的通頻帶寬 （也稱為三分貝帶寬）。其表示系（也稱為三分貝帶寬）。其表示系統(tǒng)對有用信

21、號的選擇性。統(tǒng)對有用信號的選擇性。 因為因為 ， 都取決于系統(tǒng)的傳輸函數(shù)都取決于系統(tǒng)的傳輸函數(shù) ，所以一旦所以一旦 確定，則確定，則 和和 也就確定了，因而也就確定了，因而 和和 必然有確定的關(guān)系。不同結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)必然有確定的關(guān)系。不同結(jié)構(gòu)的系統(tǒng) 和和 的關(guān)系如下：的關(guān)系如下： e )( H)( H e e e 窄帶單調(diào)諧電路系統(tǒng)：窄帶單調(diào)諧電路系統(tǒng)： ；雙調(diào)諧電路系統(tǒng)：雙調(diào)諧電路系統(tǒng)： ；高斯頻率特性的電路系統(tǒng)：高斯頻率特性的電路系統(tǒng)： ；級聯(lián)調(diào)諧電路越多的電路系統(tǒng)，級聯(lián)調(diào)諧電路越多的電路系統(tǒng)， 和和 兩者越接近。兩者越接近。 57.12e 22. 1e 05. 1e e 線性系統(tǒng)的通頻帶寬與

22、等效噪聲帶寬線性系統(tǒng)的通頻帶寬與等效噪聲帶寬 的關(guān)系的關(guān)系e 2白噪聲通過理想線性系統(tǒng)白噪聲通過理想線性系統(tǒng) 有了等效噪聲帶寬的概念，就可以用帶寬為等效噪有了等效噪聲帶寬的概念，就可以用帶寬為等效噪聲帶寬的理想系統(tǒng)來等效或逼近實際系統(tǒng)。聲帶寬的理想系統(tǒng)來等效或逼近實際系統(tǒng)。v 白噪聲通過理想白噪聲通過理想低通低通線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) 理想低通線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)正半軸部分為：理想低通線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)正半軸部分為： 2/, 02/0,)(0 KH系統(tǒng)輸入白噪聲系統(tǒng)輸入白噪聲單邊單邊功率譜密度為：功率譜密度為：,)(0XNF ), 0( 系統(tǒng)輸出特性如下：系統(tǒng)輸出特性如下：1) 輸出單邊功率譜密度輸出

23、單邊功率譜密度 2/, 02/0,)()(20020 KNHNFY2) 輸出相關(guān)函數(shù)輸出相關(guān)函數(shù) 22sin4cos)(21)(2000 KNdFRYY3) 輸出平均功率輸出平均功率 4)0(200 KNRY4) 輸出輸出Y(t)的的自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù) 22sin)0()()0()()( YYYYYRRCC5) 輸出輸出Y(t)的的相關(guān)時間相關(guān)時間 0002122sin)(fddY 輸出隨機過程的相關(guān)時間與系統(tǒng)的帶寬成反比。輸出隨機過程的相關(guān)時間與系統(tǒng)的帶寬成反比。 ，輸出過程隨時間變化越快；反之則越慢。，輸出過程隨時間變化越快；反之則越慢。 0 fv 白噪聲通過理想白噪聲通過理想帶通帶通線

24、性系統(tǒng)線性系統(tǒng)理想帶通線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)正半軸部分為：理想帶通線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)正半軸部分為： 2/, 02/,)(000 KH若系統(tǒng)輸入白噪聲單邊功率譜密度為：若系統(tǒng)輸入白噪聲單邊功率譜密度為：0)(NFY ， ), 0( 則系統(tǒng)輸出特性如下：則系統(tǒng)輸出特性如下： 輸出單邊功率譜密度輸出單邊功率譜密度 2/, 02/,)()(0020020 KNHNFY 若系統(tǒng)滿足條件若系統(tǒng)滿足條件 時，則該系統(tǒng)稱為時，則該系統(tǒng)稱為窄帶窄帶 系統(tǒng)系統(tǒng)； 若隨機過程的功率譜密度滿足條件若隨機過程的功率譜密度滿足條件 時，時， 則該隨機過程稱為則該隨機過程稱為窄帶過程窄帶過程。0 0 2) 輸出相關(guān)函數(shù)輸出相關(guān)

25、函數(shù) 0200222000cos2sincos21cos)(21)(00 KNdKNdFRYY令令 )2(4222sin422sin)(200200200 SaKNKNKNa則則 。 0cos)()(aRY 由于由于)( a的變化只與的變化只與 有關(guān)，因此若滿足有關(guān)，因此若滿足02/ 條件，條件，則則)( a的變化將比的變化將比 0cos的變化慢得多。一般的變化慢得多。一般)( a為為 0cos的包絡(luò)。的包絡(luò)。 稱稱).2(4cos)(21)(2000 SaKNdFRYY且且低通低通輸出相關(guān)函數(shù)為輸出相關(guān)函數(shù)為 當當 時，則時，則 。其除了差一個系數(shù)。其除了差一個系數(shù)2外，外，與低通系統(tǒng)輸出相

26、關(guān)函數(shù)完全一樣。與低通系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)完全一樣。這說明，這說明，一個窄帶系一個窄帶系統(tǒng)（滿足統(tǒng)（滿足 ）輸出平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)等于相應的等）輸出平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)等于相應的等效低通系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)效低通系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù) 與與 的乘積。的乘積。00 )()( aRY 3) 輸出平均功率輸出平均功率 2)0(200KNRY 4) 輸出輸出 的自相關(guān)系數(shù)的自相關(guān)系數(shù) 0cos)2()0()()0()()( SaRRCCYYYYY)(tY0 )( a 0cos自相關(guān)系數(shù)也可以分成快、慢變化兩部分。自相關(guān)系數(shù)也可以分成快、慢變化兩部分。窄帶系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)窄帶系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)=2等效低通系統(tǒng)輸出相關(guān)

27、函數(shù)等效低通系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù) cos05) 輸出輸出Y(t)的相關(guān)時間的相關(guān)時間 00021)2()(fdSadY 注意：注意：上式利用窄帶過程的條件，由上式利用窄帶過程的條件，由 的包絡(luò)定義的包絡(luò)定義相關(guān)時間。相關(guān)時間。因此因此 反映的是窄帶過程包絡(luò)的相關(guān)時間。反映的是窄帶過程包絡(luò)的相關(guān)時間。輸出隨機過程的相關(guān)時間與系統(tǒng)的帶寬成反比。則由此輸出隨機過程的相關(guān)時間與系統(tǒng)的帶寬成反比。則由此可知可知 ，輸出過程，輸出過程包絡(luò)包絡(luò)隨時間變化越快；反之則隨時間變化越快；反之則越慢。越慢。)( Y0 0 f白噪聲通過具有高斯頻率特性的線性系統(tǒng)白噪聲通過具有高斯頻率特性的線性系統(tǒng)高斯頻率特性線性系統(tǒng)的傳

28、輸函數(shù)正半軸部分為：高斯頻率特性線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)正半軸部分為： 0,00,)(2202)(0 eKH若系統(tǒng)輸入白噪聲若系統(tǒng)輸入白噪聲單邊單邊功率譜密度為：功率譜密度為：0)(NFY ， ), 0( 則則系統(tǒng)輸出特性如下：系統(tǒng)輸出特性如下：1） 輸出單邊功率譜密度輸出單邊功率譜密度 0,00,)()(220)(20020 eKNHNFY2) 輸出相關(guān)函數(shù)輸出相關(guān)函數(shù) 00200coscos)(212cos)()( dHNaRLY 0420000200cos2coscos2122222 eKNdeKN2202202002)(0)( eKeKHL其中，其中， 為等效低通傳輸函數(shù)。為等效低通傳輸函數(shù)

29、。窄帶系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)窄帶系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)=2 cos0 等效低通系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)等效低通系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)4) 輸出輸出Y(t)的自相關(guān)系數(shù)的自相關(guān)系數(shù) 04cos)0()()0()()(22 eRRCCYYYYY5) 輸出輸出Y(t)的等效噪聲帶寬的等效噪聲帶寬 00)(2022/)()(220 dedHHe3) 輸出平均功率輸出平均功率 2)0(200KNRY 五、線性系統(tǒng)輸出隨機過程的概率分布五、線性系統(tǒng)輸出隨機過程的概率分布一般情況一般情況: 很難從理論上找到一般的求解輸出隨機過程很難從理論上找到一般的求解輸出隨機過程 的概率分布。多采用實驗估計方法。的概率分布。多采用實驗估計方法。特

30、殊情況：特殊情況：1）輸入為高斯過程，輸出也是高斯過程；）輸入為高斯過程，輸出也是高斯過程； 2）輸入為非高斯過程，但輸入過程的帶寬）輸入為非高斯過程，但輸入過程的帶寬 遠大于線性系統(tǒng)的帶寬。則線性系統(tǒng)輸遠大于線性系統(tǒng)的帶寬。則線性系統(tǒng)輸 出隨機過程的概率分布都服從高斯過程。出隨機過程的概率分布都服從高斯過程。 1高斯過程通過線性系統(tǒng)的輸出過程高斯過程通過線性系統(tǒng)的輸出過程Y(t)的分布的分布若若X(t)是一高斯過程，則是一高斯過程，則Y(t)也是一高斯過程。也是一高斯過程。 kkkkhtXdtXhtYk )()(lim)()()(000 由于由于X(t)是高斯過程，故是高斯過程，故 亦為高斯

31、隨機變量。亦為高斯隨機變量。)(ktX 因為因為 為一時刻點，而為一時刻點，而 為確知量，所以為確知量，所以 kt kkh )(kkkkhtXtYk )()(lim)(00 表示：表示：任一時刻任一時刻 t 的的Y(t)是無限多個高斯隨機變量是無限多個高斯隨機變量 的和。而多維高斯隨機變量的線性組合仍的和。而多維高斯隨機變量的線性組合仍為多維高斯隨機變量，故高斯過程為多維高斯隨機變量，故高斯過程X(t)通過線性系統(tǒng)的輸出通過線性系統(tǒng)的輸出Y(t)也是一高斯過程。也是一高斯過程。但是必須注意：但是必須注意：雖然輸出過程是高斯過程，但其數(shù)字特征已雖然輸出過程是高斯過程，但其數(shù)字特征已改變。改變。k

32、kkhtX )()( 2寬帶非高斯過程通過窄帶線性系統(tǒng)輸出過程的分布寬帶非高斯過程通過窄帶線性系統(tǒng)輸出過程的分布 若輸入非高斯過程若輸入非高斯過程X(t)的功率譜帶寬的功率譜帶寬 與與線性系統(tǒng)帶寬線性系統(tǒng)帶寬 滿足：滿足： 則系統(tǒng)輸出則系統(tǒng)輸出Y(t) 的概率分布趨于高斯分布。的概率分布趨于高斯分布。kkkkthXtYk )()(lim)(00 由中心極限定理可知，大量統(tǒng)計獨立的隨機變量之和的由中心極限定理可知，大量統(tǒng)計獨立的隨機變量之和的概率分布趨于高斯分布。概率分布趨于高斯分布。Xf ffX f 的統(tǒng)計獨立性的統(tǒng)計獨立性 Xf 10 ，當當 足夠大，以使足夠大，以使 ，則可認為輸入過程各，

33、則可認為輸入過程各取樣值取樣值 相互統(tǒng)計獨立。相互統(tǒng)計獨立。)(kX Xf k 0)(kX 構(gòu)成構(gòu)成y(t)的累加性的累加性 系統(tǒng)的對輸入信號的響應（建立）時間系統(tǒng)的對輸入信號的響應（建立）時間 ty與系統(tǒng)的與系統(tǒng)的 帶寬帶寬f 也也 成反比關(guān)系，即成反比關(guān)系，即 fty /1 當當f 足夠窄，以使響應時間足夠窄，以使響應時間 ，則可認為輸出，則可認為輸出 過程過程y(t)由輸入過程各取樣值由輸入過程各取樣值 經(jīng)足夠長的時間累加經(jīng)足夠長的時間累加 構(gòu)成。構(gòu)成。)(kX kyt )(kX 綜上所述，當滿足綜上所述，當滿足 條件時，條件時，Y(t)的概率分布的概率分布將趨于高斯分布。由將趨于高斯分

34、布。由 可知，可知，Y(t)的概率分布趨于高的概率分布趨于高斯分布的條件為：斯分布的條件為： 。即，即，線性系統(tǒng)輸入隨機過程線性系統(tǒng)輸入隨機過程X(t)的功率譜帶寬的功率譜帶寬fX 遠大于遠大于系統(tǒng)帶寬系統(tǒng)帶寬f 時，輸出隨機過程時，輸出隨機過程Y(t)的概率分布將趨于高的概率分布將趨于高斯分布，而與輸入隨機過程是否為高斯分布無關(guān)。斯分布，而與輸入隨機過程是否為高斯分布無關(guān)。0 kyt0 ytffX 六、隨機序列通過離散線性系統(tǒng)六、隨機序列通過離散線性系統(tǒng)*其中：其中：x(n)、y(n)分別為系統(tǒng)的輸入與輸出，分別為系統(tǒng)的輸入與輸出， H(z)為系統(tǒng)傳輸函數(shù)。為系統(tǒng)傳輸函數(shù)。1離散線性系統(tǒng)的分

35、類離散線性系統(tǒng)的分類)(zH)(nh)(nx)()()(nhnxny qllpiilnxbknyany01)()()(1 z1 z1 z 0b1b2bqb)n(x)n( x1 )n(x2 )qn(x 1 z1 z1 zpa1a2a)pn(y )n(y1 )n( y2 )n( y由由Z Z變換可得其模型傳遞函數(shù)為：變換可得其模型傳遞函數(shù)為： )()(1)()()(10zAzBzazbzXzYzHpiiiqlll 該模型稱為該模型稱為自回歸滑動平均（自回歸滑動平均（ARMAARMA：Autoregresive Autoregresive Moving AverageMoving Average）模

36、型）模型。如果如果 ，則，則 qlllnxbny0)()()()()()(0zBzbzXzYzHqlll 該模型稱為該模型稱為滑動平均（滑動平均（MAMA：Moving AverageMoving Average）模型）模型.), 2, 1( , 0piai 1 z1 z1 z 0b1b2bqb)n( x)n( x1 )n( x2 )qn( x qll)ln( xb)n( y0如果如果 ，而，而 ，則，則10 b.), 2, 1(, 0qlbl (y1 0b)n(x1 z1 z1 z)pn(y )n)n(y2 )n(y1a2apa)()()(1nxinyanypii )(111)()()(1z

37、AzazXzYzHpiii 該模型稱為該模型稱為自回歸（自回歸（ARAR：AutoregresiveAutoregresive）模型。）模型。2隨機序列通過離散線性系統(tǒng)的時域分析隨機序列通過離散線性系統(tǒng)的時域分析 若離散線性系統(tǒng)的輸入是隨機序列若離散線性系統(tǒng)的輸入是隨機序列X(n)，則上述三，則上述三種系統(tǒng)種系統(tǒng)模型的輸出分別為：模型的輸出分別為：ARMAARMA模型：模型： qllpiilnXbinYanY01)()()( ；)()(1)()()(10zAzBzazbzXzYzHpiiiqlll ARAR模型：模型： )()()(1nXinYanYpii ；)(111)()()(1zAzazXzYzHpiii MAMA模型：模型： qlllnXbnY0)()()()()()(0zBzbzXzYzHqlll MAMA模型模型 qlllnXbnY0)()(的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù) qwwqllYwknXblnXbEknYnYEkR00)()()()()( qlqwwlwknXlnXEbb00 )()( qlqwXwlwlkRbb00)( 若若X(n)為白序列，則為白序列，則)()(2kkRXX kqlkllXqlqwXwlYbbwlkRbbkR0200)()(