第9章應力應變分析及應力應變關系

1、19.1 變形固體靜力學的任務變形固體靜力學的任務 9.2 變形固體的基本假設變形固體的基本假設 9.3 桿件變形的基本形式桿件變形的基本形式 9.3.1 構件的分類構件的分類 9.3.2 構件的計算簡圖構件的計算簡圖 9.3.3 桿件變形的基本形式桿件變形的基本形式9.4 變形固體靜力學的發(fā)展變形固體靜力學的發(fā)展9.5 一般桿件的內力分析一般桿件的內力分析 9.5.1 一般桿件的內力及其分類一般桿件的內力及其分類 9.5.2 一般桿件的內力方程和內力圖一般桿件的內力方程和內力圖補充補充13.2、 13.3作業(yè)作業(yè) 9.3 9.4 9.5 13.27學時2力的變形效應（內效應）力的變形效應（內

2、效應）剛體是理想化的模型，假設固體受力后不變形。在外力作用下，固體發(fā)生或大或小的變形變形（包括尺寸和形狀尺寸和形狀的變形），即所謂的力的變形效應（內效應）變形效應（內效應）。本章主要內容本章主要內容(1) 變形固體靜力學的任務、研究對象及其發(fā)展情況；(2) 變形固體的基本假設；(3) 桿件變形的4種基本形式；(4) 外力作用下，一般桿件的內力分析。39.1 變形固體靜力學的任務變形固體靜力學的任務變形固體靜力學和工程實際有著密切的聯(lián)系，其理論廣泛應用于各種機械設備和工程建筑之中。構件構件工程實際中，構件受到載荷作用，要保證構件能正常、安全地工作，必須解決以下3個問題：機械或工程結構的各組成部分

3、，統(tǒng)稱為構件。構件。例如：軸、梁、柱、桿。機床的軸、汽車的疊板彈簧、房屋的梁和柱、桁架結構中的桿等。41. 強度強度2. 剛度剛度3. 穩(wěn)定性穩(wěn)定性變形固體靜力學要解決變形固體靜力學要解決3 3個方面的問題個方面的問題指構件承受外力而不發(fā)生破壞的能力。例如：房屋倒塌、飛機墜落、高壓容器爆破等都是由于強度不夠所導致。指構件抵抗變形的能力。若變形過大，即使構件沒有破壞，但也不能正常工作。例如：機床主軸變形過大，會影響加工精度。指構件保持原有平衡形式的能力。例如：千斤頂?shù)穆輻U，應保持原有的直線平衡形式，若載荷過大，突然變彎，為失穩(wěn)，喪失承載能力。5安全與經濟的矛盾安全與經濟的矛盾為使構件具有足夠的強

4、度、剛度和穩(wěn)定性，可以加大構件的截面尺寸、選用優(yōu)質材料，可以提高承載能力，但材料質量增加，成本提高，浪費材料。安全與經濟的矛盾。構件的截面形狀與承載能力也有關系。設想若截面面積不變，將自行車大梁做成實心圓柱，其強度、剛度、穩(wěn)定性都會減小很多。變形固體靜力學的任務變形固體靜力學的任務研究構件的破壞準則與變形規(guī)律，了解材料的力學性能，從而建立構件滿足強度、剛度和穩(wěn)定性要求所需要的條件，為既安全有經濟地設計構件（選用材料，確定截面形狀、尺寸）提供必要的理論基礎和計算方法。69.2 變形固體的基本假設變形固體的基本假設變形固體的性質很多，研究的角度不同，側重面也不同。變形固體靜力學從宏觀角度研究問題忽

5、略微觀上的差異變形固體靜力學的力學模型，對變形固體作如下假設：變形固體靜力學的力學模型，對變形固體作如下假設：1. 連續(xù)性假設連續(xù)性假設組成固體的物質毫無空隙地充滿整個固體的體積，即認為固體是連續(xù)介連續(xù)介質質。根據(jù)這一假設，可以用連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)來描述構件內部的力和變形的有關規(guī)律。2. 均勻性假設均勻性假設固體內各點處各點處的力學性質力學性質（機械性質）是相同相同的。根據(jù)這一假設，可用試件的局部局部材料性質取代整個整個構件，也可以將整個整個構件的材料性質代以微小的部分微小的部分。73. 各向同性假設各向同性假設4. 小變形假設小變形假設固體沿任何方向任何方向的力學性質力學性質都是相同的相同的。

6、例如：金屬、玻璃、塑料等。沿不同方向力學性質不同的材料稱為各向異性材料各向異性材料。例如：竹子、木材、疊層板等。構件的變形極其微小。變形的尺寸構件的最小原始尺寸，不考慮變形前后的幾何尺寸變化。89.3.1 構件的分類構件的分類9.3 桿件變形的基本形式桿件變形的基本形式工程中，構件的幾何形狀是多種多樣的，可分為以下3種：一維桿； 二維板殼； 三維塊體。桿件桿件凡長度方向（縱向）尺寸遠大于橫向（垂直于長度方向）尺寸的構件，稱為桿件桿件。桿件的橫截面、軸線是兩個主要的幾何特征。橫截面：橫截面：垂直于桿件長度方向的截面稱為橫截面橫截面。軸線：軸線：各橫截面形心的連線稱為軸線軸線。直桿：直桿：軸線為直

7、線的桿件稱為直桿直桿。曲桿：曲桿：軸線為曲線的桿件稱為曲桿曲桿。等截面桿：等截面桿：橫截面尺寸和形狀不變的桿件稱為等截面桿等截面桿。變截面桿：變截面桿：橫截面沿桿長變化的桿件稱為變截面桿變截面桿。9工程實際中的許多構件都可以簡化為桿件，如：連桿、銷釘、傳動軸、梁、柱等。還有些構件（如曲軸的軸頸）不是典型的桿件，但在近似計算或進行定性分析時也常簡化為桿。桿件是工程中最常用的構件，變形固體靜力學的研究對象就是桿件。109.3.2 構件的計算簡圖構件的計算簡圖計算簡圖（力學模型）計算簡圖（力學模型）研究某一構件的強度、剛度和穩(wěn)定性時，首先要弄清楚構件所受的載荷（外力）載荷（外力）約束約束構件的形狀和

8、尺寸構件的形狀和尺寸用一個簡化圖形表示出來，以便進行分析和計算。這種簡化后的圖形，稱為計算簡圖（力學模型）計算簡圖（力學模型）。載荷的分類及其簡圖載荷的分類及其簡圖(1) 根據(jù)載荷隨時間的變化情況分為根據(jù)載荷隨時間的變化情況分為靜載荷：靜載荷： 載荷的大小由零開始緩慢地增加到某一數(shù)值后，保持不變，則稱為靜載荷。變形固體靜力學研究的是靜載荷的情況。動載荷：動載荷： 載荷隨時間而變化，或物體在載荷作用下處于運動狀態(tài)，其內各點速度發(fā)生顯著變化，這類問題稱為動載荷問題。（在本教材第22章中研究。）11(2) 根據(jù)載荷的作用方式分為根據(jù)載荷的作用方式分為分布載荷：分布載荷：連續(xù)地作用于構件上的載荷稱為分

9、布載荷。作用在桿件上的分布載荷用沿桿軸線的分布規(guī)律來表示，如圖所示)(xq分布集度：分布集度：作用于單位長度上的載荷稱為分布集度，用q(x) 表示。當q(x) = const 時，稱為均布載荷。1長度力量綱單位 N/m，N/mmq例如橫梁的自重，如圖。例如擋水堤壩所受到的水的壓力沿水深方向為線性分布，如圖。0q12集中力：集中力： 若載荷分布范圍遠小于桿件軸線的長度，則可看作是作用于一點的集中力。例如：火車輪對鋼軌的壓力；車刀對工件的切削力等。集中力偶：集中力偶：作用于構件上的載荷可簡化為作用于某一位置的力偶，此力偶稱為集中力偶，用M 表示，量綱為力長度，單位：Nm，kNm。注意：注意：支座的

10、約束力支座的約束力和約束力偶約束力偶都屬于作用于構件上的外力。外力。集中載荷用 F 表示，量綱為力力；單位：N，kN。繪制簡圖的原則繪制簡圖的原則有了上面的知識，便可對實際構件畫出計算簡圖。繪制簡圖的原則為(1) 忽略構件外形，以其軸線代替構件；(2) 將實際載荷簡化為某種載荷（分布載荷、集中力、集中力偶），對次要因素可以忽略不計；(3) 將桿件的實際約束簡化為相應的支座。139.3.3 桿件變形的基本形式桿件變形的基本形式外力作用下，桿件的變形是多種多樣的，各不相同的。4種基本變形種基本變形軸向拉壓軸向拉壓、剪切剪切、扭轉扭轉和彎曲彎曲。在實際中，桿件的變形，可以是4種基本變形之一（簡單變形

11、簡單變形），也可以是某幾種基本變形的組合（組合變形組合變形）。(1) 軸向拉伸或壓縮軸向拉伸或壓縮作用于直桿上的外力若能簡化為沿桿的軸線方向軸線方向的平衡力系，則桿件的主要變形是長度的改變變形是長度的改變，這種變形形式稱為軸向拉伸或軸向壓縮軸向拉伸或軸向壓縮。例如： 起吊重物的鋼索；千斤頂?shù)穆輻U；緊固螺栓；廠房中的立柱等，都產生軸向拉壓變形。(2) 剪切剪切沿外力作用方向發(fā)生相對錯動，這種變形形式稱為剪切剪切。例如： 機械中起連接作用的鍵、銷釘、螺釘?shù)龋籍a生剪切變形。14(3) 扭轉扭轉F2F2FmnpqF2F2F作用于桿件上的是繞桿軸旋轉的互相平行的外力偶，桿件的任意兩個橫截面都發(fā)生繞軸線

12、的相對轉動，這種變形形式稱為扭轉扭轉。產生扭轉變形的桿件，工程上常作為傳動軸傳動軸。ABAB15(4) 彎曲彎曲作用于桿件上的外力是垂直于桿件軸線的集中力、分布力或是包含桿軸的縱向平面內的力偶，則桿件的主要變形是直桿的軸線彎曲線，這種變形形式稱為彎曲彎曲。以彎曲為主要變形形式的桿件稱為梁梁。)(xqM1F2F例如： 橋式起重機的大梁等?；咀冃闻c組合變形基本變形與組合變形工程中常見的構件的變形多數(shù)是以上4種基本變形形式的組合，純屬一種變形的情況很少見。若以一種基本變形形式為主，其他屬于次要變形時，則可按這一種基本變形形式計算。若幾種變形形式不分主次，則屬于組合變形問題，可分別按每一種基本變形形

13、式計算，再將其計算結果組合（疊加）在一起，詳見第14章。169.4 變形固體靜力學的發(fā)展變形固體靜力學的發(fā)展工程力學問題的研究不斷深入，出現(xiàn)了許多分之學科。它們都是以變形固體靜力學為基礎的。例如：結構力學彈性力學塑性力學板殼理論 巖土力學實驗力學斷裂力學損傷力學(材料非連續(xù)性)計算力學復合材料(材料不均勻，各向異性，可根據(jù)其承力或對磁、電等方面的要求，設計組成材料的微觀參數(shù)，以制造出符合特定要求的材料)為了反映一些當代固體力學的新發(fā)展，本教材在相關章節(jié)中開設了一些窗口和接口，簡要介紹塑性分析、復合材料力學、矩陣位移法、斷裂力學及損傷力學等內容。17C9.5 一般桿件的內力分析一般桿件的內力分析

14、9.5.1 一般桿件的內力及其分類一般桿件的內力及其分類內力內力在桿件的某一截面上，桿在截面一側部分對截面另一側部分的相互作用力稱為桿件在某一截面上的內力內力。例如：桁架的桿件的內力，二力桿，內力沿各桿件的軸向，且內力與截面位置無關。ABACBCACBCMMFF18內力的分類內力的分類建立直角坐標系Cxyz（C為橫截面形心）ACBCxyzxyzNFNFzFSzFSyFSyFSyMyMzMzMTT軸力軸力NF沿垂直于橫截面的x軸方向上的內力 的分量稱為軸力。F剪力剪力zyFFSS,)(SSSzyFFF在橫截面內由內力 在y軸和z軸方向上的分量稱為剪力。F扭矩扭矩T沿x軸方向的內力偶矩 的分量稱為

15、扭矩（其作用面為桿件的橫截面）。M19彎矩彎矩zyMM ,沿y軸和z軸方向上的內力偶矩分量稱為彎矩（其作用面分別為xz和xy平面）。)(zyMMM軸力、剪力、扭矩、彎矩四種內力分別對應于變形體靜力學中的所研究的桿件的四種基本形式，軸向拉壓、剪切、扭轉、彎曲。在變形體靜力學中，對這些內力分量不需要進行矢量運算，強調的是它們的變形效應，所以只需用其在自身方向上的投影表示即可。209.5.1 一般桿件的內力方程和內力圖一般桿件的內力方程和內力圖內力方程內力方程為了對桿件進行系統(tǒng)化的內力分析，需要了解桿件的各個內力分量隨橫截面位置不同而變化的情況。一般來說，桿件各個內力分量都是橫截面位置坐標x的函數(shù)，

16、即)(NNxFF )(xTT )(SSxFF )(xMM ) 1 . 9(通常將上述這些函數(shù)表達式稱為內力方程?？刂泼婵刂泼娈敆U件上的不同位置作用有多個外力或外力偶時，需要根據(jù)外力或外力偶作用的位置將桿件分段，分段點所在的橫截面稱為控制面控制面。分段分別寫出各內力分量的內力方程。內力圖內力圖各內力方程的函數(shù)圖形稱為內力圖內力圖。工程上為了更直接地描述各個內力分量隨橫截面位置的變化，常需要繪制桿件的內力圖。21繪制內力圖的方法繪制內力圖的方法(1) 繪制各內力分量的內力圖內力圖時，取x軸軸平行于桿件軸線，用x坐標表示橫橫截面位置截面位置；(2) 根據(jù)內力方程內力方程的分段確定各段內力的區(qū)間，求出

17、每段內力圖在兩端控制面上的內力值內力值，以確定該段內力圖兩端的控制點；(3) 再根據(jù)每段內力方程的函數(shù)形式確定該段內力圖的曲線形狀曲線形狀，并根據(jù)繪圖需要在該段曲線上選取若干代表點（如：最大最大、最小值最小值點及曲線曲線的拐點的拐點）計算出內力值；(4) 最后將各點用確定形狀曲線連接起來，標明內力的“+，-”號號及各控制點、代表點的內力絕對值內力絕對值，并在圖內打上垂直于垂直于x軸方向的平行線軸方向的平行線，即繪制得到所需的內力圖。22a. 軸力方程軸力方程 軸力圖軸力圖(1) 軸力方程的分段原則軸力方程的分段原則以桿件上沿軸線方向的集中外力作用的橫截面或沿軸線方向分布外力集度有突變的橫截面為

18、控制面分段，對每一段列寫軸力方程。(2) 列寫軸力方程列寫軸力方程假想用坐標為x的橫截面將桿件截成兩部分，任意取其中一部分為分離體，對其列寫沿軸線方向的力的平衡方程。在所切開的橫截面上，軸力分量軸力分量 的符號規(guī)定的符號規(guī)定：)(NxF與截面的外法線方向一致的軸力為“+”；與截面的外法線方向相反的軸力為“-”，即拉伸為拉伸為“+”，壓縮為壓縮為“-”。在列寫平衡方程時，一般假設所切開截面處的軸力 為“+”，即拉力。)(NxF由平衡方程可得出該段軸力方程的表達式 ，)(NNxFF 若軸力表達式為“+”，假設的軸力方向正確；若軸力表達式為“-”，假設的軸力方向不正確，該截面的軸力實際為壓力。對每一

19、段桿件分別列寫軸力方程后，可繪制出軸力沿x軸變化的函數(shù)圖形，即軸力圖。例題23b. 扭矩方程扭矩方程 扭矩圖扭矩圖(1) 扭矩方程的分段原則扭矩方程的分段原則以桿件上作用面為橫截面的集中外力偶或分布外力偶矩集度有突變的橫截面為控制面分段，對每一段列寫扭矩平衡方程。(2) 列寫扭矩方程列寫扭矩方程假想用坐標為x的橫截面將桿件截成兩部分，任意取其中一部分為分離體，對其列寫x方向的力矩的平衡方程。扭矩分量扭矩分量 的符號規(guī)定的符號規(guī)定：)(xT與截面的外法線方向一致的扭矩為“+”；與截面的外法線方向相反的扭矩為“-”。在所切開的橫截面上，按右手螺旋法則右手螺旋法則，扭矩矢量方向在列寫扭矩平衡方程時，

20、假設所切開截面處的扭矩 為正向，列寫平衡方程后，可得出該段扭矩方程的表達式 ，其結果的符號正好是扭矩的符號所規(guī)定的。)(xT)(xTT 對每一段桿件分別列寫扭矩方程后，可繪制出扭矩沿x軸變化的函數(shù)圖形，即扭矩圖。24(3) 外力偶矩與轉速外力偶矩與轉速n及傳輸功率及傳輸功率P的關系的關系作用于桿件上的外力偶矩的大小是由桿件繞軸線轉動的轉速 n 和傳輸?shù)墓β?P 給出的（例如各種傳動軸）。已知：軸每分鐘的轉數(shù)為n（單位r/min）在軸上某一位置處所傳輸?shù)墓β蕿镻（kW）則作用于軸上該位置處的外力偶矩（單位Nm）的大小為 minrkWmNt9549nPM)2 . 9( minrmNt7024nPM

21、馬力smN5 .735馬力smN1000kW主動力偶矩主動力偶矩 阻力偶矩阻力偶矩在輸入功率處或主動輪處，軸所受的外力偶矩為主動力偶矩主動力偶矩，其轉向與軸的轉動方向一致。在輸出功率處或從動輪處，作用的外力偶矩為阻力偶矩阻力偶矩，其轉向與軸的轉動方向相反。例題25在所切開的橫截面上，使得該截面所在的桿件微段有順時針轉動趨勢的剪力方向為“+”，反之為“-”。c. 剪力方程剪力方程 彎矩方程彎矩方程 剪力圖剪力圖 彎矩圖彎矩圖平面力系的載荷分量平面力系的載荷分量當作用于桿件的外力系為桿件軸線所在平面內的平面力系時，取y軸位于外力系作用平面內，取z軸位于桿件橫截面內，則橫截面內的內力分量中，剪力分量

22、只沿y軸方向；彎矩分量只沿z軸方向。(1) 剪力方程和彎矩方程的分段原則剪力方程和彎矩方程的分段原則以桿件上作用集中外力、集中外力偶或分布外力集度、分布外力偶集度有突變的橫截面為控制面分段，對每一段列寫剪力平衡方程和彎矩平衡方程。(2) 列寫剪力方程和彎矩方程列寫剪力方程和彎矩方程假想用坐標為x的橫截面將桿件截成兩部分，任意取其中一部分為分離體，對其列寫y方向力的平衡方程及z方向力矩的平衡方程。剪力分量剪力分量 的符號規(guī)定的符號規(guī)定：)(SxF26SFSFSFSFSFSFSFSF剪力為“+”剪力為“-”在所切開的橫截面上，使得該截面所在的桿件微段彎曲變形凹面朝上為“+”，反之為“-”。彎矩分量

23、彎矩分量 的符號規(guī)定的符號規(guī)定：)(xM彎矩為“+”彎矩為“-”MMMMMMMM27對每一段桿件分別列寫剪力方程和彎矩方程后，可繪制出剪力和彎矩沿x軸變化的函數(shù)圖形，即剪力圖、彎矩圖。在列寫剪力方程和彎矩方程時，假設所切開截面上的剪力 和彎矩 都為正向，列寫平衡方程后，可得出該段剪力方程 和彎矩方程 ，其結果的符號正好是剪力和彎矩的符號所規(guī)定的。)(SxF)(xM)(SSxFF )(xMM 例題289.6 載荷集度載荷集度 、剪力、剪力 與彎矩與彎矩 的微分關系的微分關系梁的平衡微分方程梁的平衡微分方程)(xq)(SxF)(xM一般情況下，梁上作用有任意分布載荷任意截面上的剪力任意截面上的彎矩

24、)(xq)(SxF)(xM三者函數(shù)表達式存在確定的關系?？疾炝褐腥我庖晃⑿《?dx ， 設分布載荷集度向上為“+”，（對微段dx來說，可設其上無集中力和集中力偶，且微段dx 上的分布載荷為均布）。)(xqFCMxxxd29)(xqFCMxxxd)(xqxdC)(SxF)(d)(SSxFxF)(xM)(d)(xMxM:0yF0d)()(d)()(SSSxxqxFxFxF:0CM02dd)(d)()(d)()(SxxxqxxFxMxMxM高階小量，略去)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM)2 .13() 3 .13()(d)(dd)(d)2 .13(S)3 .13(22xqxxFxxM

25、)4 .13(直梁的平衡微分方程直梁的平衡微分方程以上三式表示了 、 、 三個函數(shù)的微分關系。)(xq)(SxF)(xM30注意：注意：上述微分關系是在如下前提前提得出的(1) 規(guī)定分布載荷 向上為“+”；)(xq(2) 規(guī)定剪力 使研究對象有順時轉動趨勢為“+”；)(SxF(3) 規(guī)定彎矩 使研究對象有“上壓下拉”的彎曲為“+”；)(xM(4) x軸向右為“+”。如果規(guī)定有所改變，則會出現(xiàn)“+，-”號的差別，但微分關系的實質不改變。319.7 利用載荷集度利用載荷集度 、剪力、剪力 與彎與彎矩矩 的微分關系繪制剪力圖和彎矩圖的微分關系繪制剪力圖和彎矩圖)(xq)(SxF)(xM梁的平衡微分方

26、程)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM)2 .13() 3 .13()(d)(dd)(d)2 .13(S)3 .13(22xqxxFxxM)4 .13(表明：(1) 截面上某點x處的剪力圖的斜率剪力圖的斜率=該點處載荷集度的大小該點處載荷集度的大??；(2) 截面上某點x處的彎矩圖的斜率彎矩圖的斜率=該點處剪力的大小該點處剪力的大?。?3) 截面上某點x處的彎矩圖的曲率彎矩圖的曲率=該點處載荷集度的大小該點處載荷集度的大小。由此可以推斷梁上各段剪力圖和彎矩圖的曲線形狀。同時再利用截面法將各段曲線兩端（控制面）上的剪力和彎矩數(shù)值確定下來。由此梁的整個剪力圖和彎矩圖曲線就完全確定了。32具體分析如下：具體分析如下：(1) 在某段梁上，若無分布載荷0)(xq由 可知，該段內0)(d)(dd)(dS22xqxxFxxM(