第2講轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想

1、一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想第第2講轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想講轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想轉(zhuǎn)化化歸思想的基本內(nèi)涵是：人們在解決數(shù)學(xué)問題時，轉(zhuǎn)化化歸思想的基本內(nèi)涵是：人們在解決數(shù)學(xué)問題時，常常將待解決的數(shù)學(xué)問題常常將待解決的數(shù)學(xué)問題A，通過某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另，通過某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一問題一問題B，而問題，而問題B是相對較容易解決的或已經(jīng)有固定解決是相對較容易解決的或已經(jīng)有固定解決模式的問題，且通過問題模式的問題，且通過問題B的解決可以得到原問題的解決可以得到原問題A的的解用框圖

2、可直觀地表示為：解用框圖可直觀地表示為：一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想思想概述思想概述一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化，等價轉(zhuǎn)化前后是充要條件，轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化，等價轉(zhuǎn)化前后是充要條件，所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價性，等價轉(zhuǎn)化策略就是把未知解所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價性，等價轉(zhuǎn)化策略就是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法通過不斷地轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題想方法通過不斷地轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式化、

3、簡單的問題在不得已的情轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式化、簡單的問題在不得已的情況下，進(jìn)行不等價轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價性，況下，進(jìn)行不等價轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價性，或?qū)λ媒Y(jié)論進(jìn)行必要的驗證或?qū)λ媒Y(jié)論進(jìn)行必要的驗證預(yù)測預(yù)測2014年高考對轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查的基本類型和重點(diǎn)年高考對轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查的基本類型和重點(diǎn)為：為：(1)常量與變量的轉(zhuǎn)化：如分離變量，求范圍等；常量與變量的轉(zhuǎn)化：如分離變量，求范圍等；(2)數(shù)與數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化：如解析幾何中的斜率、函數(shù)中的單調(diào)性等；形的互相轉(zhuǎn)化：如解析幾何中的斜率、函數(shù)中的單調(diào)性等；(3)數(shù)學(xué)各分支的轉(zhuǎn)化：函數(shù)與立體幾何、向量與解析幾何等

4、數(shù)學(xué)各分支的轉(zhuǎn)化：函數(shù)與立體幾何、向量與解析幾何等的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想【例例1】 已知已知f()sin2sin2()sin2()，問是否存，問是否存在常數(shù)在常數(shù)，滿足，滿足0，使得，使得f()為與為與無關(guān)的定無關(guān)的定值值類型講解類型講解類型一類型一 具體與抽象、特殊與一般的轉(zhuǎn)化具體與抽象、特殊與一般的轉(zhuǎn)化一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想規(guī)律方法規(guī)律方法 (1)由于題目中的參數(shù)和變量較多，所以直接由于題目中的參數(shù)和變量較多，所以直接求

5、解難以入手，因此對參數(shù)求解難以入手，因此對參數(shù)取特殊值，進(jìn)行推理求解取特殊值，進(jìn)行推理求解(2)當(dāng)問題難以入手時，可以先對特殊情況或簡單情形進(jìn)當(dāng)問題難以入手時，可以先對特殊情況或簡單情形進(jìn)行觀察、分析，發(fā)現(xiàn)問題中特殊的數(shù)量或關(guān)系結(jié)構(gòu)或部行觀察、分析，發(fā)現(xiàn)問題中特殊的數(shù)量或關(guān)系結(jié)構(gòu)或部分元素，然后推廣到一般情形，并加以證明分元素，然后推廣到一般情形，并加以證明一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想解解假設(shè)存在適合條件的假設(shè)存在適合條件的m，由由f(x)是是R上的奇函數(shù)可得上的奇函數(shù)可得f(0)0.又在又在0，)上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，故故f(x)在在R上為增函數(shù)上為

6、增函數(shù)類型二類型二 換元及常量與變量的轉(zhuǎn)化換元及常量與變量的轉(zhuǎn)化一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想由題設(shè)條件可得由題設(shè)條件可得f(cos 23)f(4m2mcos )0.又由又由f(x)為奇函數(shù)，可得為奇函數(shù)，可得f(cos 23)f(2mcos 4m)，cos 232mcos 4m，即即cos2mcos 2m20.一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想規(guī)律方法規(guī)律方法 (1)本題正確求解的關(guān)鍵有三點(diǎn)：本題正確求解的關(guān)鍵有三點(diǎn)：去對應(yīng)法去對應(yīng)法則則“f”，將，將“cos ”用用“t”代換，將較復(fù)雜的三角函數(shù)不代換，將較復(fù)雜的三角函

7、數(shù)不等式化為二次不等式，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求最值等式化為二次不等式，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求最值(2)在求解過程中，切記注意在求解過程中，切記注意t0，1，分離參數(shù)注，分離參數(shù)注意不等式的性質(zhì)，不要弄錯不等號的方向?qū)τ谛问捷^意不等式的性質(zhì)，不要弄錯不等號的方向?qū)τ谛问捷^復(fù)雜的式子，我們常通過更換某個復(fù)雜的式子，我們常通過更換某個(或某部分或某部分)變量的方法變量的方法轉(zhuǎn)化為相對簡單易解的問題轉(zhuǎn)化為相對簡單易解的問題一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想(1)A1C平面平面AB1D；(2)BC1平面平面AB1D.證明證明(1)連接連接A1B，設(shè)，設(shè)A1B與與AB1交于交于E

8、，連接，連接DE.點(diǎn)點(diǎn)D是是BC中點(diǎn)，點(diǎn)中點(diǎn)，點(diǎn)E是是A1B中點(diǎn)，中點(diǎn)，DEA1C，A1C 平面平面AB1D，DE平面平面AB1D，A1C平面平面AB1D.類型三類型三 命題的等價轉(zhuǎn)化與化歸命題的等價轉(zhuǎn)化與化歸一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想規(guī)律方法規(guī)律方法 (1)根據(jù)問題的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化命題，使原問題轉(zhuǎn)化根據(jù)問題的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化命題，使原問題轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)，易于解決的新問題，是我們解決數(shù)學(xué)問題為與之相關(guān)，易于解決的新問題，是我們解決數(shù)學(xué)問題的常用思路的常用思路(2)本題把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題

9、，三維降為本題把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，三維降為二維，難度降低，易于解答二維，難度降低，易于解答一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想 分類討論的思想是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解分類討論的思想是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分或分割割)成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略對問題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)解決原問題的思想策略對問題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題等于增加一個已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題(或綜或綜合性問題合性問題)分解為小問

10、題分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題或基礎(chǔ)性問題)，優(yōu)化解題思路，降，優(yōu)化解題思路，降低問題難度低問題難度分類討論的常見類型：分類討論的常見類型：二、分類討論思想二、分類討論思想思想概述思想概述一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身就是分類的，如由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身就是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的定理、公由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如

11、等比式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調(diào)性等項和公式、函數(shù)的單調(diào)性等(3)由數(shù)學(xué)運(yùn)算和字母參數(shù)變化引起分類；如偶次方根非負(fù)，對由數(shù)學(xué)運(yùn)算和字母參數(shù)變化引起分類；如偶次方根非負(fù)，對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)的限制，方程數(shù)的底數(shù)與真數(shù)的限制，方程(不等式不等式)的運(yùn)算與根的大小比的運(yùn)算與根的大小比較，含參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同等較，含參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同等(4)由圖形的不確定性引起的分類：有的圖形的形狀、位置關(guān)系由圖形的不確定性引起的分類：有的圖形的形狀、位置關(guān)系需討論，如二次函數(shù)圖象的開口方向，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)需討論，如二次函數(shù)圖

12、象的開口方向，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，曲線系方程中的參數(shù)與曲線類型等系，曲線系方程中的參數(shù)與曲線類型等分類討論思想，在近年高考試題中頻繁出現(xiàn)，涉及各種題型，分類討論思想，在近年高考試題中頻繁出現(xiàn)，涉及各種題型，已成為高考的熱點(diǎn)考查的重點(diǎn)是含參數(shù)函數(shù)性質(zhì)、不等式已成為高考的熱點(diǎn)考查的重點(diǎn)是含參數(shù)函數(shù)性質(zhì)、不等式(方程方程)問題，與等比數(shù)列的前問題，與等比數(shù)列的前n項和有關(guān)的計算推理，點(diǎn)、項和有關(guān)的計算推理，點(diǎn)、線、面的位置以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系不定問題等線、面的位置以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系不定問題等一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想類型講解類型講解類型一

13、類型一 數(shù)學(xué)概念與運(yùn)算引起的分類討論數(shù)學(xué)概念與運(yùn)算引起的分類討論一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想規(guī)律方法規(guī)律方法 (1)分段函數(shù)在自變量不同取值范圍內(nèi)，對應(yīng)分段函數(shù)在自變量不同取值范圍內(nèi)，對應(yīng)關(guān)系不同，必需進(jìn)行討論由數(shù)學(xué)定義引發(fā)的分類討論關(guān)系不同，必需進(jìn)行討論由數(shù)學(xué)定義引發(fā)的分類討論一般由概念內(nèi)涵所決定，解決這類問題要求熟練掌握并一般由概念內(nèi)涵所決定，解決這類問題要求熟練掌握并理解概念的內(nèi)涵與外延理解概念的內(nèi)涵與外延(2)在數(shù)學(xué)運(yùn)算中，有時需對不同的情況作出解釋，就需在數(shù)學(xué)運(yùn)算中，有時需對不同的情況作出解釋，就需要進(jìn)行討論，如解二次不等式涉及到兩根的大小等要

14、進(jìn)行討論，如解二次不等式涉及到兩根的大小等一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想類型二類型二 由圖形或圖象位置不同引起的分類討論由圖形或圖象位置不同引起的分類討論一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想規(guī)律方法規(guī)律方法 (1)本題中直角頂點(diǎn)的位置不定，影響邊長關(guān)本題中直角頂點(diǎn)的位置不定，影響邊長關(guān)系，需按直角頂點(diǎn)不同的位置進(jìn)行討論系，需按直角頂點(diǎn)不同的位置進(jìn)行討論(2)涉及幾何問題時，由于幾何元素的形狀、位置變化的涉及幾何問題時，由于幾何元素的形狀、位置變化的不確定性，需要根據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類討論不確定性，需要根據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類討

15、論一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想【例例3】 已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的前的前3項和為項和為6，前，前8項和為項和為4.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式；(2)設(shè)設(shè)bn(4an)qn1(q0，nN*)，求數(shù)列，求數(shù)列bn的前的前n項項和和Sn.類型三類型三 由定理、性質(zhì)、公式等引起的分類討論由定理、性質(zhì)、公式等引起的分類討論一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想規(guī)律方法規(guī)律方法 (1)利用等比數(shù)列的前利用等比數(shù)列的前n項和公式時，需要分公項和公式

16、時，需要分公比比q1和和q1兩種情況進(jìn)行討論，這是由等比數(shù)列的前兩種情況進(jìn)行討論，這是由等比數(shù)列的前n項和公式?jīng)Q定的一般地，在應(yīng)用帶有限制條件的公式項和公式?jīng)Q定的一般地，在應(yīng)用帶有限制條件的公式時要小心，根據(jù)題目條件確定是否進(jìn)行分類討論時要小心，根據(jù)題目條件確定是否進(jìn)行分類討論(2)由性質(zhì)、定理、公式等引起的討論，主要是應(yīng)用的范由性質(zhì)、定理、公式等引起的討論，主要是應(yīng)用的范圍受限時，存在多種可能性圍受限時，存在多種可能性一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想【例例4】 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)x3x2ax(aR)(1)當(dāng)當(dāng)a0時，求與直線時，求與直線xy100平行，且與曲線平行，且與曲線yf(x)相切的直線方程；相切的直線方程；類型四類型四 由字母參數(shù)引起的分類討論由字母參數(shù)引起的分類討論一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、分類討論思想二、分類討論思想由于由于(x)在在(1，)上是增函數(shù)上是增函數(shù)(x)(1)3a.當(dāng)當(dāng)a3時，時，(x)0，則，則g(x)0.g(x)的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)增區(qū)間為(1，)，當(dāng)當(dāng)a3時，時，(1)0.(x)的一個零點(diǎn)小于的一個零點(diǎn)小于1，另一個零點(diǎn)，另一個零點(diǎn)大于大于1.由由(x)0.一、轉(zhuǎn)化與化歸思想一、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、